2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9讲幂函数课件 26页

第 9 讲　幂函数 课标要求 考情风向标 从多年的高考试题来看，幂函数 一般不单独命题，而常与指数函 数、对数函数交汇命题，重点考 查函数的单调性 ( 比较大小 ). 命 题形式一般为选择题、填空题 1. 幂函数的定义 一般地，形如 y ＝ x α ( α ∈ R ) 的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量， α 是常数 . 2. 幂函数的图象 象，如图 2-9-1. 图 2-9-1 3. 幂函数 y ＝ x α 的图象 在第一象限内，直线 x ＝ 1 的右侧，图象由下至上，指数 α 由小到大； y 轴和直线 x ＝ 1 之间，图象由上至下，指数 α 由小 到大 . 幂函数 y ＝ x y ＝ x 2 y ＝ x 3 y ＝ x － 1 定义域 R R R ________ ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 值域 R [0 ，＋ ∞ ) R [0 ，＋ ∞ ) __________ __________ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 在 ( － ∞ ， 0) 上， 单调 递减； 在 (0 ，＋ ∞ ) 上， 单调递增 单调 递增 单调递增 在 ( － ∞ ， 0) 上， 单调 递减； 在 (0 ，＋ ∞ ) 上， ______ __ __ 定点 (0,0) ， (1,1) (1,1) 性质 [0 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 0)∪ (0 ，＋ ∞ ) 单调递减 ) 1. 所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是 ( A.(0,0) B.(0,1) C.(1,1) D.( － 1 ，－ 1) A B C D C B 3. 若幂函数 y ＝ f ( x ) 的图象过点 (4,2) ，则幂函数 y ＝ f ( x ) 的图 象是 ( ) C A B C D 图 2-9-2 c 4 ， c 2 ， c 3 ， c 1 考点 1 幂函数的概念 答案： C ) 则它的单调递增区间是 ( A.(0 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，＋ ∞ ) B.[0 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ， 0) 答案： D A.1 或 3 B.1 C.3 D.2 答案： B 【 规律方法 】 (1) 幂函数 y ＝ x α 的特点： ① 系数必须为 1 ； ② 指数必须为常数 . (2) 第 (3) 小题求出 m ＝ 1 或 m ＝ 3 后，再根据幂函数为增函 数可知 m ＝ 3 不符合题意 . 考点 2 幂函数的图象 例 2 ： (1) 请把如图 2-9-3 所示的幂函数图象的代号填入下面 的表格内 . A E B F C G D H 图 2-9-3 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号 答案： E C A G B D H F (2) 下面给出 4 个幂函数的图象 ( 如图 2-9-4) ，则图象与函数 的大致对应是 ( ) 图 2-9-4 答案： B 【 规律方法 】 (1) 探讨幂函数图象的分布规律，应先观察图 象是否过原点，过原点时 α >0 ，否则 α <0 ；若 α >0 ，再观察图象 是上凸还是下凸，上凸时 0< α <1 ，下凸时 α >1 ；最后由 x >1 时， α 的值按逆时针方向依次增大得出结论 . α <0 0< α <1 α >1 p ， q 都是 奇数 p 为奇数， q 为偶数 p 为偶数， q 为奇数 (2) 幂函数 y ＝ x α ( α ∈ R ) 的图象如下表： 考点 3 比较大 小 答案： A 答案： C 【 规律方法 】 本题表面是考查零点存在性定理，其实质是 而底数不 同 ( 即底数为变量 ) ，此时利用幂函数的单调性来比较 大小；如果底数相同而指数不同 ( 即指数为变量 ) ，此时利用指 数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同， 此时需要引入中间变量，常用的中间变量有 0,1 或由一个幂的 底数和另一个幂的指数组成的幂 . 注意：指数函数 a >1 时单调递 增， 0< a <1 时单调递减；而幂函数 α >0 时在第一象限单调递增， α <0 时在第一象限单调递减 . 【 跟踪训练 】 C 设 a ＝ 0.6 0.6 ， b ＝ 0.6 1.5 ， c ＝ 1.5 0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系 是 ( ) A. a < b < c C. b < a < c B. a < c < b D. b < c < a 解析： ∵函数 y ＝ 0.6 x 是减函数， 0<0.6<1.5 ，∴ 1>0.6 0.6 >0.6 1.5 ， 即 b < a <1. ∵函数 y ＝ x 0.6 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， 1<1.5 ， ∴ 1.5 0.6 >1 0.6 ＝ 1 ，即 c >1. 综上所述， b < a < c . 故选 C. 易错、易混、易漏 ⊙ 对幂函数 y ＝ x 0 理解不透彻 1. 幂函数 y ＝ x α 的性质是分 α ＞ 0 和 α ＜ 0 两种情况来讨论的 . 2. 要注意幂函数与指数函数的区别，从它们 的解析式上有 如下区别： (1) 幂函数 —— 底 数是自变量，指数是常数； (2) 指数函数 —— 指数是自变量，底数是常数 . 3. 比较两个幂的大小，如果同指数而不同底数，此时利用 幂函数的单调性来比较大小；如果同底数而不同指数，此时利 用指数函数的单调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不 同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有 0,1 或由一个 幂的底数和另一个幂的指数组成的幂 . 4. 幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在 第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性， 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性 就可作出幂函数在定义域内完整的图象 .