2021届高考数学一轮复习第六章数列第1节数列的概念与简单表示法课件新人教A版 31页

第 1 节　数列的概念与简单表示法 考试要求　 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ) ； 2. 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 . 知 识 梳 理 一定顺序 1. 数列的定义 按照 ____________ 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 . 2. 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 _______ 无穷数列 项数 _______ 项与项 间的大 小关系 递增数列 a n ＋ 1 ____ a n 其中 n ∈ N * 递减数列 a n ＋ 1 ____ a n 常数列 a n ＋ 1 ＝ a n 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 ＞ ＜ 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 __________ 、图象法和 __________ . 4. 数列的通项公式 (1) 通项公式：如果数列 { a n } 的第 n 项 a n 与 __________ 之间的关系可以用一个式子 a n ＝ f ( n ) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 . (2) 递推公式：如果已知数列 { a n } 的第 1 项 ( 或前几项 ) ，且从第二项 ( 或某一项 ) 开始的任一项 a n 与它的前一项 a n － 1 ( 或前几项 ) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 . 列表法 解析法 序号 n 2. 数列是按一定 “ 次序 ” 排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “ 数 ” 有关，而且还与这些 “ 数 ” 的排列顺序有关 . 3. 易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 .( 　　 ) (2)1 ， 1 ， 1 ， 1 ， … ，不能构成一个数列 .( 　　 ) (3) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 .( 　　 ) (4) 如果数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则对任意 n ∈ N * ，都有 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n .( 　　 ) 解析　 (1) 数列： 1 ， 2 ， 3 和数列： 3 ， 2 ， 1 是不同的数列 . (2) 数列中的数是可以重复的，可以构成数列 . (3) 数列可以是常数列或摆动数列 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 答案　 D 3. ( 老教材必修 5P33T5 改编 ) 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 a n ＝ ________. 解析　 由 a 1 ＝ 1 ＝ 5 × 1 － 4 ， a 2 ＝ 6 ＝ 5 × 2 － 4 ， a 3 ＝ 11 ＝ 5 × 3 － 4 ， … ，归纳 a n ＝ 5 n － 4. 答案　 5 n － 4 … 4. (2020· 北京朝阳区月考 ) 数列 0 ， 1 ， 0 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 0 ，－ 1 ， … 的一个通项公式 a n 等于 ( 　　 ) 解析　 令 n ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ，逐一验证四个选项，易得 D 正确 . 答案　 D 6. (2020· 成都诊断 ) 数列 { a n } 中， a n ＝－ n 2 ＋ 11 n ( n ∈ N * ) ，则此数列最大项的值是 ________. 答案　 30 考点一　由 a n 与 S n 的关系求通项 【例 1 】 (1) (2019· 广州质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 2 n 2 － 3 n ，则 a n ＝ ________. 解析　 (1) a 1 ＝ S 1 ＝ 2 － 3 ＝－ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (2 n 2 － 3 n ) － [2( n － 1) 2 － 3( n － 1)] ＝ 4 n － 5 ， 由于 a 1 也适合此等式， ∴ a n ＝ 4 n － 5. 【训练 1 】 (1) 设数列 { a n } 满足 a 1 ＋ 3 a 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) a n ＝ 2 n ，则 a n ＝ ________. (2) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ________. 解析　 (1) 因为 a 1 ＋ 3 a 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) a n ＝ 2 n ， 故当 n ≥ 2 时， a 1 ＋ 3 a 2 ＋ … ＋ (2 n － 3) a n － 1 ＝ 2( n － 1). 又由题设可得 a 1 ＝ 2 ，满足上式， (2) 由 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，得 a 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ，所以 a 1 ＝－ 1. 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n ＋ 1 － (2 a n － 1 ＋ 1) ，得 a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ 数列 { a n } 是首项为－ 1 ，公比为 2 的等比数列 . 考点二　由数列的递推关系求通项　 多维探究 角度 1 　累加法 —— 形如 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ，求 a n A.2 ＋ ln n B.2 ＋ ( n － 1)ln n C.2 ＋ n ln n D.1 ＋ n ＋ ln n 所以 a 2 － a 1 ＝ ln 2 － ln 1 ， a 3 － a 2 ＝ ln 3 － ln 2 ， a 4 － a 3 ＝ ln 4 － ln 3 ， …… a n － a n － 1 ＝ ln n － ln( n － 1)( n ≥ 2). 把以上各式分别相加得 a n － a 1 ＝ ln n － ln 1 ， 则 a n ＝ 2 ＋ ln n ( n ≥ 2) ，且 a 1 ＝ 2 也适合， 因此 a n ＝ 2 ＋ ln n ( n ∈ N * ). 答案　 A 角度 3 　构造法 —— 形如 a n ＋ 1 ＝ Aa n ＋ B ( A ≠ 0 且 A ≠ 1 ， B ≠ 0) ，求 a n 【例 2 － 3 】 (2020· 青岛模拟 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2( n ∈ N * ) ，则数列 { a n } 的通项公式为 ________. 解析　 由 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ，得 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是首项为 2 ，公比为 3 的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·3 n － 1 ， ∴ a n ＝ 2·3 n － 1 － 1. 答案　 a n ＝ 2·3 n － 1 － 1 (2) ( 角度 2) 已知 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 n a n ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (3) ( 角度 3) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 3 ，且点 P n ( a n ， a n ＋ 1 )( n ∈ N * ) 在直线 4 x － y ＋ 1 ＝ 0 上，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (3) 因为点 P n ( a n ， a n ＋ 1 )( n ∈ N * ) 在直线 4 x － y ＋ 1 ＝ 0 上，所以 4 a n － a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 0. 考点三　数列的性质 所以当 2 ≤ n ≤ 4 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 1 ； 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 也满足上式； 当 n ≥ 6 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝－ 2 n ＋ m ， 当 n ＝ 5 时， a 5 ＝ S 5 － S 4 ＝ 5 m － 45 ， 因为 a 5 是 { a n } 中的最大值， 规律方法　 1. 在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性 . 2.(1) 研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值 .(2) 数列的单调性只需判定 a n 与 a n ＋ 1 的大小，常用比差或比商法进行判断 . 因为 d <0 ，所以 a 1 － a 11 ≠ 0 ，所以 a 1 ＋ a 11 ＝ 0 ， 又 2 a 6 ＝ a 1 ＋ a 11 ，所以 a 6 ＝ 0. 因为 d <0 ，所以 { a n } 是递减数列， 所以 a 1 > a 2 > … > a 5 > a 6 ＝ 0> a 7 > a 8 > … ，显然前 5 项和或前 6 项和最大，故选 C. 答案　 (1)D 　 (2)C