高中数学人教a版选修1-1章末综合测评3word版含解析 11页

章末综合测评(三) 导数及其应用 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若函数 f(x)＝α2－cos x，则 f′(α)等于( ) A．sin α B．cos α C．2α＋sin α D．2α－sin α 【解析】 f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当 x＝α时，f′(α)＝sin α. 【答案】 A 2．若曲线 y＝1 x 在点 P 处的切线斜率为－4，则点 P 的坐标是( ) A. 1 2 ，2 B. 1 2 ，2 或 －1 2 ，－2 C. －1 2 ，－2 D. 1 2 ，－2 【解析】 y′＝－1 x2，由－1 x2＝－4，得 x2＝1 4 ，从而 x＝±1 2 ，分 别代入 y＝1 x ，得 P 点的坐标为 1 2 ，2 或 －1 2 ，－2 . 【答案】 B 3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得： 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数， 则 g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 【解析】 观察可知，偶函数 f(x)的导函数 g(x)是奇函数，所以 g(－x)＝－g(x)． 【答案】 D 4．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝( ) A．－1 B．－2 C．2 D．0 【解析】 由 f(x)＝ax4＋bx2＋c 得 f′(x)＝4ax3＋2bx，又 f′(1) ＝2，所以 4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选 B. 【答案】 B 5．已知函数 f(x)＝xln x，若 f(x)在 x0 处的函数值与导数值之和等 于 1，则 x0 的值等于( ) A．1 B．－1 C．±1 D．不存在 【解析】 因为 f(x)＝xln x，所以 f′(x)＝ln x＋1，于是有 x0ln x0 ＋ln x0＋1＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－1(舍去)，故选 A. 【答案】 A 6．过点(0,1)且与曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线垂直的直线方程 为( ) 【导学号：26160104】 A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0 【解析】 y′＝ x＋1 x－1 ′＝x－1－x＋1 x－12 ＝ －2 x－12 ， ∴y′|x＝3＝－1 2 ，故与切线垂直的直线斜率为 2， 所求直线方程为 y－1＝2x， 即 2x－y＋1＝0.故选 D. 【答案】 D 7.已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图 1 所示，则 y ＝f(x)( ) 图 1 A．在(－∞，0)上为减函数 B．在 x＝0 处取得极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在 x＝2 处取极大值 【解析】 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故 f(x)在(－∞，0)上为增 函数，A 错；在 x＝0 处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在 x＝0 处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C 对； 在 x＝2 处取极小值，D 错． 【答案】 C 8．若函数 f(x)＝ax3－x2＋x－5 在(－∞，＋∞)上单调递增，则 a 的取值范围是( ) A．a＞1 3 B．a≥1 3 C．a＜1 3 D．a≤1 3 【解析】 f′(x)＝3ax2－2x＋1 在(－∞，＋∞)上恒非负，故 a＞0， Δ＝4－12a≤0， 解得 a≥1 3. 【答案】 B 9．以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的 最大值为( ) A．10 B．15 C．25 D．50 【解析】 设内接矩形的长为 x， 则宽为 25－x2 4 ， ∴S2＝x2· 25－x2 4 ＝y， ∴y′＝50x－x3. 令 y′＝0，得 x2＝50 或 x＝0(舍去)， ∴S2max＝625，即 Smax＝25. 【答案】 C 10．函数 y＝ln x x 的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D.10 3 【解析】 y′＝ln x′x－ln x·x′ x2 ＝1－lnx x2 ，令 y′＝0，得 x＝ e. 当 x>e 时，y′<0；当 00. 故 y 极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以 ymax＝e －1. 【答案】 A 11．对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则 必有( ) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1) C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1) 【解析】 ①若 f′(x)不恒为 0，则当 x>1 时，f′(x)≥0，当 x<1 时，f′(x)≤0， 所以 f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减． 所以 f(2)>f(1)，f(1)2f(1)． ②若 f′(x)＝0 恒成立，则 f(2)＝f(0)＝f(1)， 综合①②，知 f(0)＋f(2)≥2f(1)． 【答案】 D 12．若函数 f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足 f(x)＞－xf′(x)，则 一定有( ) A．函数 F(x)＝fx x 在(0，＋∞)上为增函数 B．函数 F(x)＝fx x 在(0，＋∞)上为减函数 C．函数 G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数 D．函数 G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数 【解析】 设 G(x)＝xf(x)，则 G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故 G(x) ＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选 C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填 在题中的横线上) 13．函数 f(x)＝ln x－x 的单调递增区间为________． 【解析】 令 f′(x)＝1 x －1＞0，解不等式即可解得 x＜1，注意 定义域为(0，＋∞)．所以 0＜x＜1. 【答案】 (0,1) 14．设函数 f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1， x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为________． 【解析】 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a. 由已知 f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而 x1x2＝2a 18 ＝1，所以 a＝9. 【答案】 9 15．若函数 f(x)＝ln|x|－f′(－1)x2＋3x＋2，则 f′(1)＝________. 【解析】 当 x>0 时，f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x＋2， ∴f′(x)＝1 x －2f′(－1)x＋3， ∴f′(1)＝1－2f′(－1)＋3. 当 x<0 时，f(x)＝ln(－x)－f′(－1)x2＋3x＋2， ∴f′(x)＝－ 1 －x －2f′(－1)x＋3＝1 x －2f′(－1)x＋3， ∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3， ∴f′(－1)＝－2， ∴f′(1)＝8. 【答案】 8 16．当 x∈[－1,2]时，x3－x2－x2. 【答案】 (2，＋∞) 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知曲线 y＝x3＋x－2 在点 P0 处的切线 l1 与直线 l：4x－y－1＝0 平行，且点 P0 在第三象限． (1)求点 P0 的坐标； 【导学号：26160105】 (2)若直线 l2⊥l1，且 l2 也过点 P0，求直线 l2 的方程． 【解】 (1)由 y＝x3＋x－2，得 y′＝3x2＋1. 令 3x2＋1＝4，解得 x＝±1. 当 x＝1 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝－4. 又点 P0 在第三象限， ∴切点 P0 的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线 l2⊥l1，l1 的斜率为 4， ∴直线 l2 的斜率为－1 4. ∵l2 过切点 P0，点 P0 的坐标为(－1，－4)， ∴直线 l2 的方程为 y＋4＝－1 4(x＋1)，即 x＋4y＋17＝0. 18．(本小题满分 12 分)(2015·重庆高考)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a ∈R)在 x＝－4 3 处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性． 【解】 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x， 因为 f(x)在 x＝－4 3 处取得极值， 所以 f′ －4 3 ＝0， 即 3a·16 9 ＋2· －4 3 ＝16a 3 －8 3 ＝0，解得 a＝1 2. (2)由(1)得，g(x)＝ 1 2x3＋x2 ex， 故 g′(x)＝ 3 2x2＋2x ex＋ 1 2x3＋x2 ex ＝ 1 2x3＋5 2x2＋2x ex ＝1 2x(x＋1)(x＋4)ex. 令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4. 当 x<－4 时，g′(x)<0，故 g(x)为减函数； 当－40，故 g(x)为增函数； 当－10 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数． 综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1) 和(0，＋∞)内为增函数． 19．(本小题满分 12 分)设 f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)，求 g(x) 的单调区间和最小值． 【解】 由题意知 f′(x)＝1 x ，g(x)＝ln x＋1 x ， ∴g′(x)＝x－1 x2 . 令 g′(x)＝0，得 x＝1. 当 x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是 g(x)的单调减区间． 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是 g(x)的单调增区间． 因此，x＝1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值 点． 所以 g(x)的最小值为 g(1)＝1. 20．(本小题满分 12 分)(2014·重庆高考)已知函数 f(x)＝x 4 ＋a x －ln x －3 2 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y ＝1 2x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值． 【解】 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝1 4 －a x2－1 x ， 由 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1 2x 知 f′(1)＝－3 4 －a＝－2，解得 a＝5 4. (2)由(1)可知 f(x)＝x 4 ＋ 5 4x －ln x－3 2 ， 则 f′(x)＝x2－4x－5 4x2 . 令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5. 因 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去． 当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；当 x∈(5，＋ ∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值 f(5)＝－ln 5，无极大值． 21．(本小题满分 12 分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品 每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ a x－3 ＋10(x－6)2.其中 3