2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章 微专题5　与指数函数、对数函数有关的复合函数 3页

微专题 5 与指数函数、对数函数有关的复合函数 指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函 数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想， 把复杂的复合函数化成简单的初等函数． 一、判断复合函数的单调性 例 1 (1)函数 2 2 11( ) 2 x x f x         的单调增区间为________． 答案 (－∞，1) 解析 令 t＝x2－2x－1， 所以函数 t＝x2－2x－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又 y＝ 1 2 t是 R 上的减函数， 故 2 2 11( ) 2 x x f x         在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)已知函数 f(x)＝loga(a－ax)(a>1)，判断并证明 f(x)的单调性． 解 f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 由 f(x)＝loga(a－ax)(a>1)， 得 a－ax>0，即 x<1. 所以 f(x)的定义域为(－∞，1)． 任取 1>x1>x2，因为 a>1， 所以 1 2x xa a a  ， 所以 1 20 x xa a a a － － ， 所以 1 2log l( ) )g (ox x a aa a a a－ － ， 即 f(x1)1 时，y＝logaf(x)的单 调性与 y＝f(x)的单调性保持一致，当 00在 x∈(－∞， 2)上恒成立， 即 2≤a 2 ， g 2＝ 22－ 2a＋a≥0， ∴2 2≤a≤2( 2＋1)， 故所求 a 的取值范围是[2 2，2 2＋2]． 三、求复合函数的值域 例 3 求下列函数的值域： (1) 212 xy －＝ ； (2) 2 1 2 log (3 2 ).y x x   解 (1)∵1－x2≤1，∴ 212 x－ ≤21＝2，∴00，∴0 x2＝|x|≥x， 所以 1＋x2－x>0， 所以 f(x)的定义域为 R， 又 f(－x)＋f(x)＝lg( 1＋x2＋x)＋lg( 1＋x2－x) ＝lg[( 1＋x2＋x)( 1＋x2－x)] ＝lg(1＋x2－x2) ＝lg 1＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数．