2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4 49页

4.4.3 　不同函数增长的差异 必备知识 · 自主学习 三种函数的性质及增长速度比较 导思 1. 指数函数、对数函数、一元一次函数的增长速度哪一个最快？ 2. 为什么指数增长叫做呈爆炸性增长？ 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 y=a x (a>1) y=log a x(a>1) y=kx(k>0) 单调性 在 (0 ， +∞) 上单调递增 图象 ( 随 x 的增大 ) 趋向于和 x 轴 _____ 趋向于和 x 轴 _____ 呈直线上升 垂直 平行 指数函数 对数函数 一元一次函数 增长速度 ( 随 x 的增大 ) y 的增长速度越来越 ___ y 的增长速度越来越 ___ y 的增长速度 _____ 归 纳 总 结 总会存在一个 x 0 ，当 x>x 0 时， ___________ 快 慢 不变 a x >kx>log a x (1) 本质：通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异 . (2) 应用：根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律 . 【 思考 】 在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个 x 0 ” ？ 提示： 因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加 . 使函数值相等的值可视为临界点就是 x 0 ，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现 x 0 . 当然 x 0 不唯一，比 x 0 大的任意一个实数也可以作为 x 0 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 函数 y= x 的衰减速度越来越慢 . ( 　　 ) (2) 增长速度不变的函数模型是一次函数模型 . ( 　　 ) (3) 对应任意 x∈(0 ， +∞) ，总有 2 x >x 2 . ( 　　 ) 提示： (1)√. 由函数 y= x 的图象可知其衰减速度越来越慢 . (2)√. 增长速度不变时图象为直线，故是一次函数 . (3)×. 当 x=2 时， 2 2 =2 2 . 2. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A. 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D. 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B. 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 有一组实验数据如表所示： 下列所给函数模型较适合的是 ( 　　 ) A.y=log a x(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax 2 +b(a>0) D.y=a +b(a>0) x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 【 解析 】 选 C. 通过所给数据可知 y 随 x 增大，其增长速度越来越快，而 A ， D 中的函数增长速度越来越慢， B 中的函数增长速度保持不变 . 关键能力 · 合作学习 类型一　函数增长速度的差异 ( 数学抽象、直观想象 ) 【 题组训练 】 1. 下列函数中，增长速度最快的是 ( 　　 ) A.y=2 020x B.y=2 020 x C.y=log 2 020 x D.y=2 020 2. 在某实验中，测得变量 x 和变量 y 之间对应数据，如表 . 则 x ， y 最合适的函数是 ( 　　 ) A.y=2 x B.y=x 2 -1 C.y=2x-2 D.y=log 2 x x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -1.01 0.01 0.98 2.00 3. 下列各项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是 _______.  ①y=3×1.04 x ； ② y=20+x 10 ； ③ y=40+lg (x+1) ； ④ y=80. 【 解析 】 1. 选 B. 指数函数的增长速度最快 . 2. 选 D. 根据 x=0.50 ， y=-1.01 ，代入计算，可以排除 A ；根据 x=2.01 ， y=0.98 ，代入计算，可以排除 B 、 C ；由于随着 x 的增大， y 的增长比较缓慢，符合 y=log 2 x 模型 . 3. 结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填① . 答案： ① 【 解题策略 】 常见的函数模型及增长特点 (1) 线性函数模型：线性函数模型 y=kx+b(k>0) 的增长特点是直线上升，其增长速度不变 . (2) 指数函数模型：指数函数模型 y=a x (a>1) 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸” . (3) 对数函数模型：对数函数模型 y=log a x(a>1) 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓 . (4) 幂函数模型：幂函数 y=x n (n>0) 的增长速度介于指数增长和对数增长之间 . 特别提醒：函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上 . 类型二　函数增长速度的比较 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 典例 】 1.( 多选题 ) 如图，能使得不等式 log 2 x2 B.x>4 C.04 时，符合不等式 log 2 xf(x) ； 当 x∈(x 1 ， x 2 ) 时， g(x)f(x) ； 当 x=x 1 或 x 2 时， g(x)=f(x). 综上，当 x=x 1 或 x 2 时， g(x)=f(x) ； 当 x∈(x 1 ， x 2 ) 时， g(x)f(x). 【 解题策略 】 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 　根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数 . 【 跟踪训练 】 在同一坐标系中，画出函数 y=x+5 和 y=2 x 在 (0 ， +∞) 上的图象，并比较 x+5 与 2 x 的大小 . 【 解析 】 函数 y=x+5 与 y=2 x 的图象如图所示： 当 02 x ，当 x=3 时， x+5=2 x ， 当 x>3 时， x+5<2 x . 【 补偿训练 】 　　函数 f(x)=1.1 x ， g(x)=ln x+1 ， h(x)= 的图象如图所示，试分别指出各 曲线对应的函数，并比较三者的增长差异 ( 以 1 ， a ， b ， c ， d ， e 为分界点 ). 【 解析 】 由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可明显得出曲线 C 1 对应 的函数是 f(x)=1.1 x ，曲线 C 2 对应的函数是 h(x)= ，曲线 C 3 对应的函数是 g(x)=ln x+1. 由图象可得：当 x<1 时， f(x)>h(x)>g(x) ； 当 1g(x)>h(x) ；当 ef(x)>h(x) ； 当 ah(x)>f(x) ；当 bg(x)>f(x) ； 当 cf(x)>g(x) ；当 x>d 时， f(x)>h(x)>g(x). 类型三　函数增长速度的应用 ( 数学建模、直观想象 ) 　角度 1 　利用曲线描述函数变化规律  【 典例 】 当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中，当溶液注入容器 ( 设单位时间内流入的溶液量相同 ) 时，溶液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象， A 对应 _______ ； B 对应 _______ ； C 对应 _______ ； D 对应 _______.  【 思路导引 】 由容器的形状，判断溶液高度变化的快慢，从而选择对应的曲线 . 【 解析 】 A 容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与 (4) 对应； B 容器为球形，溶液高度变化为快 — 慢 — 快，应与 (1) 对应； C ， D 容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但 C 容器细， D 容器粗，故溶液高度的变化为 C 容器快，与 (3) 对应， D 容器慢，与 (2) 对应 . 答案： (4) 　 (1) 　 (3) 　 (2) 【 变式探究 】 若将溶液注入如图所示的容器，试作出容器内溶液高度的变化曲线 . 【 解析 】 容器内溶液的变化曲线为： 角度 2 　实际问题中的增长模型  【 典例 】 为净化湖水的水质，市环保局于 2019 年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快， 2020 年经两次实地测量得到表中的数据 月份 x/ 月 1 2 3 4 5 植物面积 y/m 2 24 36 现有两个函数模型 y=ka x (k>0 ， a>1) 与 y=mx 2 +n(m>0) 可供选择 . (1) 分别求出两个函数模型的解析式 . (2) 若市环保局在 2019 年年底投放了 11 m 2 的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由 . (3) 经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合 (2) 中所选函数模型的增长特点 . 但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右 . 试用所学的知识解释这些现象的成因 . 你从中得到了什么启示？ 【 思路导引 】 (1) 利用表中的数据，待定系数法求系数 . (2) 利用投放的植物面积检验模型 . (3) 利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因 . 【 解析 】 (1) 由已知得 ⇒ 所以 y= 由已知得 ⇒ 所以 y= (2) 若用模型 y= 则当 x=0 时， y 1 = ， 若用模型 y= ，则当 x=0 时， y 2 = ， 易知，使用模型 y= 更为合适 . (3) 刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快 . 当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内 . 从中可以得到以下启示： 数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题 .( 答案不唯一 ) 【 解题策略 】 1. 关于曲线的选择 首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓 . 2. 关于函数模型的选择 选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证 . 【 题组训练 】 1. 明清时期，古镇河口因水运而繁华 . 若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为 x( 小时 ) 、货船距石塘的距离为 y( 千米 ) ，则下列各图中，能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是 ( 　　 ) 2. 某公司为了研究年宣传费 x( 单位：千元 ) 对销售量 y( 单位：吨 ) 和年利润 z( 单位：千元 ) 的影响，搜集了近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i (i=1 ， 2 ， … ， 8) 的数据： i 1 2 3 4 5 6 7 8 x 38 40 44 46 48 50 52 56 y 45 55 61 63 65 66 67 68 (1) 请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断 y=a+bx 与 y=c+d 中哪一个更 适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数解析式？ ( 给出判断即可，不必说明 理由 ) (2) 若 (1) 中的 a=7 ， b=1.2 ， c=4.2 ， d=0.07 ，且产品的年利润 z 与 x ， y 的关系 为 z=200y-x(32≤x≤64) ，为使年利润值最大，投入的年宣传费 x 应为何 值？ 【 解析 】 1. 选 A. 由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前， y 随 x 增大而增大；停留一段时间内， y 随 x 增大而不变；解除故障到河口这段时间， y 随 x 增大而增大；从河口到返回石塘这段时间， y 随 x 增大而减小 . 2.(1) 补齐的图如图： 由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取 y=c+d 更适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数解析式 . (2) 依题意得， z=200×(4.2+0.07 )-x(32≤x≤64) ， 化简得 z=840+14 -x(32≤x≤64) ， 设 t= (4 ≤t≤8) ， 则有 z=-t 2 +14t+840 ， z=-(t-7) 2 +889. 故当 t=7 即投入的年宣传费 x=49 千元时，年利润取到最大值 . 课堂检测 · 素养达标 1. 下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是 ( 　　 ) A.y=100 B.y=100x C.y=1.01 x D.y=log 2 x 【 解析 】 选 C. 结合函数 y=100 ， y=100x ， y=1.01 x 及 y=log 2 x 的图象可知，随着 x 的增大，增长速度最快的是 y=1.01 x . 2. 如图，点 M 为▱ ABCD 的边 AB 上一动点，过点 M 作直线 l 垂直于 AB ，且直线 l 与▱ ABCD 的另一边交于点 N. 当点 M 从 A→B 匀速运动时，设点 M 的运动时间为 t ，△ AMN 的面积为 S ，能大致反映 S 与 t 的函数关系的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 假设∠ A=45° ， AD=2 ， AB=4 ，点 M 的速度为 1 ，则当 0≤t≤ 2 时， AM=MN=t ，则 S= t 2 ，为二次函数；当 2≤t≤4 时， S=t ，为一次函数 . 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 三个变量 y 1 ， y 2 ， y 3 随着变量 x 的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于 x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( 　　 ) A.y 1 ， y 2 ， y 3 B.y 2 ， y 1 ， y 3 C.y 3 ， y 2 ， y 1 D.y 1 ， y 3 ， y 2 【 解析 】 选 C. 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢， y 3 随 x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快， y 2 随 x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， y 1 随 x 的变化符合此规律 . 4. 函数 y=x 2 与函数 y=xlg x 在区间 (0 ， +∞) 上增长较快的一个是 _______.  【 解析 】 当 x 变大时， x 比 lg x 增长要快， 所以 x 2 要比 xlg x 增长的要快 . 答案： y=x 2 5. 某电脑公司六年来电脑年产量 y( 台 ) 与生产时间 x( 年 ) 的函数关系如图 . 有下列说法：①前三年产量增长速度越来越快；②前三年产量增长速度越来越慢；③后三年这种产品停止生产；④后三年产量保持不变 . 其中说法正确的是 _______.( 填序号 )   【 解析 】 结合图象的增长趋势易得出②④正确 . 答案： ②④