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- 2021-06-16 发布
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课时分层作业(二十三)
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是( )
A.-=1 B.-=1(x≥4)
C.-=1 D.-=1(x≥3)
D [由题意知,轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,
∴M点的轨迹方程为-=1(x≥3).]
2.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是( )
A.双曲线,焦点在x轴上
B.双曲线,焦点在y轴上
C.椭圆,焦点在x轴上
D.椭圆,焦点在y轴上
B [因为ab<0,方程可化为+y2=1,∴<0,方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线,故选B.]
3.已知双曲线的中心在原点,两个焦点F1,F2分别为(,0)和(-,0),点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
C [由
⇒(|PF1|-|PF2|)2=16,
即2a=4,解得a=2,又c=,所以b=1,故选C.]
4.双曲线-=1上的点P到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )
A.22或2 B.7
C.22 D.2
A [根据双曲线的方程得2a=2×5=10,由定义知||PF|-12|=10,可解得|PF|=22或2,故选A.]
5.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
D [因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).
因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).
因为P是C上一点,
所以4-=1,解得yP=±3,
所以P(2,±3),|PF|=3.
又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,
所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.故选D.]
二、填空题
6.若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围为________.
(-3,2)∪(3,+∞) [依题意有或解得-3<m<2或m>3.所以实数m的取值范围是(-3,2)∪(3,+∞).]
7.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,那么△ABF2的周长是________.
26 [根据双曲线定义知,|AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8.∴|AF2|+|BF2
|=16+|AF1|+|BF1|=16+|AB|=16+5=21.所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.]
8.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.
x2-=1 [设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
由题意得B(2,0),C(2,3),
所以解得
所以双曲线的标准方程为x2-=1.]
三、解答题
9.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值,分别指出方程所表示的曲线类型.
[解] (1)当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线;
(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆;
(3)当k<0时,方程为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线;
(4)当0<k<1时,方程为+=1,表示焦点在x轴上的椭圆;
(5)当k>1时,方程为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.
10.已知双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;
(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?
(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.
[解] 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,因为S=r1r2sin θ,
θ已知,所以只要求r1r2即可,
因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识,求出r1r2.
(1)当θ=90°时,S=r1r2sin θ=r1r2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=,
由双曲线定义,得|r1-r2|=2a=4,
两边平方,得r+r-2r1r2=16,
又r+r=|F1F2|2,
即|F1F2|2-4S=16,
也即52-16=4S,求得S=9.
(2)若∠F1MF2=120°,在△MF1F2中,
|F1F2|2=r+r-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,
求得S=r1r2sin 120°=3.
同理,可求得若∠F1MF2=60°,S=9.
(3)由以上结果可见,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.
证明如下:
由双曲线定义及余弦定理,得
②-①,得r1r2=,
所以S=r1r2sin θ==b2cot .
因为0<θ<π,所以0<<,
在内,cot 是减函数.
因此当θ增大时,S=b2cot 减小.
11.(多选题)设θ是三角形的一个内角,对于方程+=1的说法正确的是( )
A.当0<θ<时,方程表示椭圆
B.当θ=时,方程不表示任何图形
C.当<θ<时,方程表示焦点在x轴上的双曲线
D.当<θ<π时,方程表示焦点在y轴上的双曲线
BC [当0<θ<时,sin θ>0,cos θ>0,但当θ=时,sin θ=cos θ>0表示圆,故A错误;当θ=时,cos θ=0,方程无意义,所以不表示任何图形,故B正确;当<θ<π时,sin θ>0,cos θ<0,所以不论<θ<还是<θ<π时,方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以C正确,D错误,故选BC.]
12.(多选题)已知方程+=1表示的曲线为C.给出以下判断,正确的是( )
A.当1<t<4时,曲线C表示椭圆
B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t<
D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4
BCD [A错误,当t=时,曲线C表示圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t
-1>0,
∴1<t<;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4.]
13.(一题两空)已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,则|AB|=________.又三个内角A,B,C满足关系式sin B-sin A=sin C.则点C的轨迹方程为________.
4 x2-=1(x>1) [将椭圆方程化为标准形式为+y2=1.
∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4,
则A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.
又∵sin B-sin A=sin C,∴由正弦定理得
|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|=4,
即动点C到两定点A,B的距离之差为定值.
∴动点C的轨迹是双曲线的右支,并且c=2,a=1,
∴所求的点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).]
14.过双曲线-=1的一个焦点作x轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________.
, [因为双曲线方程为-=1,所以c==13,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则F1(-13,0),F2(13,0).设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(-13,y)(y>0),则=-1=,
所以y=,即|AF1|=.又|AF2|-|AF1|=2a=24,
所以|AF2|=24+=.即所求距离分别为,.]
15.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,F(,0),且P为L上动点.求||MP-|FP||的最大值.
[解] (1)两圆的圆心分别为A(-,0),B(,0),半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2或|CA|=r+2,|CB|=r-2,两式相减得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4.
则圆C的圆心轨迹为双曲线,其中2a=4,c=,b2=1,
∴圆C的圆心轨迹L的方程为-y2=1.
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点,如图,连接MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.
又|MF|==2,
∴||MP|-|FP||的最大值为2.
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