人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（十二）2-2-1双曲线及其标准方程探究导学课型word版含答案 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(十二) 双曲线及其标准方程 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.(2015·福建高考)若双曲线 E： - =1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上， 且|PF1|=3，则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 【解析】选 B.因为 =2a， 所以 - =±6， 所以 =9 或-3(舍去). 【补偿训练】设点 P 是双曲线 - =1 上任意一点，F1，F2 分别是左、右焦点，若|PF1|=10， 则|PF2|=________. 【解析】由双曲线方程，得 a=3，b=4，c=5. 当点 P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|-|PF1|=6，所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16； 当点 P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 故|PF2|=4 或|PF2|=16. 答案：4 或 16 2.一动圆 P 过定点 M(-4，0)，且与已知圆 N：(x-4)2+y2=16 相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程 是 ( ) A. - =1(x≥2) B. - =1(x≤2) C. - =1 D. - =1 【解析】选 C.由已知 N(4，0)，内切时，定圆 N 在动圆 P 的内部，有|PN|=|PM|-4， 外切时，有|PN|=|PM|+4，故||PM|-|PN||=4，因此 2a=4，2c=8，所以 b2=12， 点 P 的轨迹是双曲线 - =1. 【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选 A 或 B. 3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0，3)，则 k 的值为 ( ) A.1 B.-1 C. D.- 【解析】选 B.将双曲线方程化为 kx2- y2=1，即 - =1.因为一个焦点是(0，3)， 所以焦点在 y 轴上，所以 c=3，a2=- ，b2=- ，所以 a2+b2=- - =- =c2=9.所以 k=-1. 【误区警示】本题有两处易错：一是 a2，b2 确定错误，应该是 a2=- ，b2=- ；二是 a，b，c 的关系式用错.在双曲线中应为 c2=a2+b2. 4.设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P,Q,F2 为双曲线的右焦点.若 |PQ|=7,则△F2PQ 的周长为 ( ) A.19 B.26 C.43 D.50 【解析】选 B.如图,由双曲线的定义 可得 将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a, 所以△F2PQ 的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ| =4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26. 5.(2015·开封高二检测)双曲线 - =1 上一点 P 到点(5，0)的距离为 15，那么该点到(-5， 0)的距离为 ( ) A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 【解析】选 D.由题知 a2=16，b2=9，所以 c2=25. 又焦点在 x 轴上，所以焦点为 F1(-5，0)，F2(5，0)， ||PF1|-|PF2||=2a=8，||PF1|-15|=8， 所以|PF1|-15=8 或|PF1|-15=-8， 所以|PF1|=23 或|PF1|=7. 【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点 ①若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果； ②若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|-|PF2||=2a 求解，注意对所求结果进行必要 的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于 c-a). 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6.已知△ABC 的顶点 B(-2，0)，C(2，0)，并且 sinC-sinB= sinA，则顶点 A 的轨迹方程是 ________. 【解析】设△ABC 外接圆半径为 R，则由： sinC-sinB= sinA，得： - = · ， 即|AB|-|AC|=2. 所以点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点. 因为 2a=2，c=2，所以 a2=1，b2=c2-a2=3. 故点 A 的轨迹方程为 x2- =1(x>1). 答案：x2- =1(x>1) 7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=9 的切线，切点 为 T ， 延 长 FT 交 双 曲 线 右 支 于 P 点 ， 若 M 为 线 段 FP 的 中 点 ，O 为 坐 标 原 点 ， 则 |MO|-|MT|=________. 【解析】设 F2 为椭圆右焦点，则|OM|= |PF2|， |PF|-|PF2|=6. 因为 FT 是☉O 的切线，所以|FT|=4， 所以|MT|=|MF|-|FT|= |PF|-4， 所以|MO|-|MT|= |PF2|- |PF|+4 =4- (|PF|-|PF2|)=1. 答案：1 【补偿训练】若双曲线 - =1(m>0，n>0)和椭圆 + =1(a>b>0)有相同的焦点 F1，F2，M 为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________. 【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF1|-|MF2|=±2 ， ① |MF1|+|MF2|=2 ， ② ②2-①2 得，4|MF1|·|MF2|=4a-4m， 所以|MF1|·|MF2|=a-m. 答案：a-m 8.已知双曲线上两点 P1，P2 的坐标分别为(3，-4 )， ，则双曲线的标准方程为 ________. 【解析】若曲线的焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为： - =1(a>0，b>0) 依题意得 令 m= ，n= ，则方程组化为： 解这个方程组得 即 a2=16，b2=9，所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 若焦点在 x 轴上，设所求双曲线方程为 - =1(a>0，b>0)，依题意得 此时无解. 综上可得，所求双曲线的标准方程为 - =1. 答案： - =1 【一题多解】设所求双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0)， 依题意得 解得 故所求双曲线方程为- + =1 即 - =1. 答案： - =1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.(2015·洛阳高二检测)已知曲线 C： + =1(t≠0，t≠±1). (1)求 t 为何值时，曲线 C 分别为椭圆、双曲线. (2)求证：不论 t 为何值，曲线 C 有相同的焦点. 【解析】(1)当|t|>1 时，t2>0，t2-1>0，曲线 C 为椭圆； 当 0<|t|<1 时，t2-1<0，曲线 C 为双曲线. (2)当|t|>1 时，t2-1>0，曲线 C 是椭圆，且 t2>t2-1， 因而 c2=t2-(t2-1)=1. 所以焦点为 F1(-1，0)，F2(1，0). 当 0<|t|<1 时，双曲线 C 的方程为 - =1. 因为 c2=t2+(1-t2)=1， 所以焦点为 F1(-1，0)，F2(1，0). 综上所述，无论 t 为何值，曲线 C 有相同的焦点. 10.(2015·漳州高二检测)已知双曲线 - =1 的两焦点为 F1，F2. (1)若点 M 在双曲线上，且 · =0，求 M 点到 x 轴的距离. (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3 ，2)，求双曲线 C 的方程. 【解析】(1)如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴 的距离为 h， · =0， 则 MF1⊥MF2， 设|MF1|=m，|MF2|=n， 由双曲线定义知，m-n=2a=8，① 又 m2+n2=(2c)2=80，② 由①②得 m·n=8， 所以 mn=4= |F1F2|·h， 所以 h= . (2)设所求双曲线 C 的方程为 - =1(-4<λ<16)， 由于双曲线 C 过点(3 ，2)， 所以 - =1， 解得λ=4 或λ=-14(舍去). 所以所求双曲线 C 的方程为 - =1. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1.设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△ PF1F2 的面积为 ( ) A.6 B.12 C.12 D.24 【解析】选 B.由已知得 2a=2,不妨设 P 为双曲线右支上一点,又由双曲线的定义得, |PF1|-|PF2|=2, 又|PF1|∶|PF2|=3∶2, 所以|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 . 由余弦定理得 cos∠F1PF2= =0. 所以三角形为直角三角形. = |PF1|·|PF2|=12. 2.(2015·武威高二检测)已知向量 a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且 a∥b,则点 P(x,y)的轨迹不 可能是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.双曲线 【解析】选 C.依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故 x2+ky2=1,当 k=1 时,点 P(x,y)的轨迹为圆; 当 k>0,且 k≠1 时,点 P(x,y)的轨迹为椭圆;当 k<0 时,点 P(x,y)的轨迹为双曲线.当 k=0 时, 点 P(x,y)的轨迹为两条直线 x=±1,故选 C. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3.(2015·武汉高二检测)已知双曲线 - =1 的一个焦点是(0，2)，椭圆 - =1 的焦距 等于 4，则 n=________. 【解析】因为双曲线的焦点为(0，2)， 所以焦点在 y 轴， 所以双曲线的方程为 - =1， 即 a2=-3m，b2=-m，所以 c2=-3m-m=-4m=4，解得 m=-1，所以椭圆方程为 +x2=1，且 n>0，椭 圆的焦距为 4，所以 c2=n-1=4 或 1-n=4，解得 n=5 或-3(舍去). 答案：5 4.(2015·盐城高二检测)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上 的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________. 【解析】设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|， 所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|. 所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点 A，P，F1 共线时，满 足|PF1|+|PA|最小，易求得最小值为|AF1|=5，故所求最小值为 9. 答案：9 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 5.焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 ,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲 线的标准方程. 【解析】因为双曲线焦点在 x 轴上, 所以设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0). 因为双曲线过点 P(4 ,-3),所以 - =1.① 又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 所以 · =0,即-c2+25=0. 解得 c2=25.② 又 c2=a2+b2,③ 所以由①②③可解得 a2=16 或 a2=50(舍去).所以 b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是 - =1. 6.(2015·益阳高二检测)双曲线 -y2=1 的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且满足： ∠F1PF2=90°，求△F1PF2 的面积. 【解题指南】利用双曲线的定义结合勾股定理表示三角形面积. 【解析】如图，由双曲线方程 -y2=1，可知：a2=4，b2=1，c2=a2+b2=5. 即 a=2，c= . 由双曲线定义，有|PF2|-|PF1|=2a， 所以|PF2|=4+|PF1|. 由∠F1PF2=90°，在直角△F1PF2 中， |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， 即|PF1|2+(4+|PF1|)2=(2 )2， 即|PF1|2+4|PF1|-2=0，由|PF1|>0， 所以|PF1|= -2，可得|PF2|= +2， 所以 Rt△F1PF2 的面积 S= |PF1|·|PF2|=1. 关闭 Word 文档返回原板块