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  • 2021-06-16 发布

人教a版高中数学选修1-1课时提升作业(十二)2-2-1双曲线及其标准方程探究导学课型word版含答案

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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(十二) 双曲线及其标准方程 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·福建高考)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上, 且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 【解析】选 B.因为 =2a, 所以 - =±6, 所以 =9 或-3(舍去). 【补偿训练】设点 P 是双曲线 - =1 上任意一点,F1,F2 分别是左、右焦点,若|PF1|=10, 则|PF2|=________. 【解析】由双曲线方程,得 a=3,b=4,c=5. 当点 P 在双曲线的左支上时,由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=6,所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16; 当点 P 在双曲线的右支上时,由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 故|PF2|=4 或|PF2|=16. 答案:4 或 16 2.一动圆 P 过定点 M(-4,0),且与已知圆 N:(x-4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程 是 ( ) A. - =1(x≥2) B. - =1(x≤2) C. - =1 D. - =1 【解析】选 C.由已知 N(4,0),内切时,定圆 N 在动圆 P 的内部,有|PN|=|PM|-4, 外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PM|-|PN||=4,因此 2a=4,2c=8,所以 b2=12, 点 P 的轨迹是双曲线 - =1. 【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选 A 或 B. 3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),则 k 的值为 ( ) A.1 B.-1 C. D.- 【解析】选 B.将双曲线方程化为 kx2- y2=1,即 - =1.因为一个焦点是(0,3), 所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a2=- ,b2=- ,所以 a2+b2=- - =- =c2=9.所以 k=-1. 【误区警示】本题有两处易错:一是 a2,b2 确定错误,应该是 a2=- ,b2=- ;二是 a,b,c 的关系式用错.在双曲线中应为 c2=a2+b2. 4.设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P,Q,F2 为双曲线的右焦点.若 |PQ|=7,则△F2PQ 的周长为 ( ) A.19 B.26 C.43 D.50 【解析】选 B.如图,由双曲线的定义 可得 将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a, 所以△F2PQ 的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ| =4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26. 5.(2015·开封高二检测)双曲线 - =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,那么该点到(-5, 0)的距离为 ( ) A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 【解析】选 D.由题知 a2=16,b2=9,所以 c2=25. 又焦点在 x 轴上,所以焦点为 F1(-5,0),F2(5,0), ||PF1|-|PF2||=2a=8,||PF1|-15|=8, 所以|PF1|-15=8 或|PF1|-15=-8, 所以|PF1|=23 或|PF1|=7. 【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点 ①若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果; ②若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a 求解,注意对所求结果进行必要 的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于 c-a). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知△ABC 的顶点 B(-2,0),C(2,0),并且 sinC-sinB= sinA,则顶点 A 的轨迹方程是 ________. 【解析】设△ABC 外接圆半径为 R,则由: sinC-sinB= sinA,得: - = · , 即|AB|-|AC|=2. 所以点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线的右支,并去掉顶点. 因为 2a=2,c=2,所以 a2=1,b2=c2-a2=3. 故点 A 的轨迹方程为 x2- =1(x>1). 答案:x2- =1(x>1) 7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线 - =1 的左焦点 F 引圆 x2+y2=9 的切线,切点 为 T , 延 长 FT 交 双 曲 线 右 支 于 P 点 , 若 M 为 线 段 FP 的 中 点 ,O 为 坐 标 原 点 , 则 |MO|-|MT|=________. 【解析】设 F2 为椭圆右焦点,则|OM|= |PF2|, |PF|-|PF2|=6. 因为 FT 是☉O 的切线,所以|FT|=4, 所以|MT|=|MF|-|FT|= |PF|-4, 所以|MO|-|MT|= |PF2|- |PF|+4 =4- (|PF|-|PF2|)=1. 答案:1 【补偿训练】若双曲线 - =1(m>0,n>0)和椭圆 + =1(a>b>0)有相同的焦点 F1,F2,M 为两曲线的交点,则|MF1|·|MF2|等于________. 【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF1|-|MF2|=±2 , ① |MF1|+|MF2|=2 , ② ②2-①2 得,4|MF1|·|MF2|=4a-4m, 所以|MF1|·|MF2|=a-m. 答案:a-m 8.已知双曲线上两点 P1,P2 的坐标分别为(3,-4 ), ,则双曲线的标准方程为 ________. 【解析】若曲线的焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准方程为: - =1(a>0,b>0) 依题意得 令 m= ,n= ,则方程组化为: 解这个方程组得 即 a2=16,b2=9,所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 若焦点在 x 轴上,设所求双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),依题意得 此时无解. 综上可得,所求双曲线的标准方程为 - =1. 答案: - =1 【一题多解】设所求双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0), 依题意得 解得 故所求双曲线方程为- + =1 即 - =1. 答案: - =1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·洛阳高二检测)已知曲线 C: + =1(t≠0,t≠±1). (1)求 t 为何值时,曲线 C 分别为椭圆、双曲线. (2)求证:不论 t 为何值,曲线 C 有相同的焦点. 【解析】(1)当|t|>1 时,t2>0,t2-1>0,曲线 C 为椭圆; 当 0<|t|<1 时,t2-1<0,曲线 C 为双曲线. (2)当|t|>1 时,t2-1>0,曲线 C 是椭圆,且 t2>t2-1, 因而 c2=t2-(t2-1)=1. 所以焦点为 F1(-1,0),F2(1,0). 当 0<|t|<1 时,双曲线 C 的方程为 - =1. 因为 c2=t2+(1-t2)=1, 所以焦点为 F1(-1,0),F2(1,0). 综上所述,无论 t 为何值,曲线 C 有相同的焦点. 10.(2015·漳州高二检测)已知双曲线 - =1 的两焦点为 F1,F2. (1)若点 M 在双曲线上,且 · =0,求 M 点到 x 轴的距离. (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点,且过点(3 ,2),求双曲线 C 的方程. 【解析】(1)如图所示,不妨设 M 在双曲线的右支上,M 点到 x 轴 的距离为 h, · =0, 则 MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义知,m-n=2a=8,① 又 m2+n2=(2c)2=80,② 由①②得 m·n=8, 所以 mn=4= |F1F2|·h, 所以 h= . (2)设所求双曲线 C 的方程为 - =1(-4<λ<16), 由于双曲线 C 过点(3 ,2), 所以 - =1, 解得λ=4 或λ=-14(舍去). 所以所求双曲线 C 的方程为 - =1. (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△ PF1F2 的面积为 ( ) A.6 B.12 C.12 D.24 【解析】选 B.由已知得 2a=2,不妨设 P 为双曲线右支上一点,又由双曲线的定义得, |PF1|-|PF2|=2, 又|PF1|∶|PF2|=3∶2, 所以|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 . 由余弦定理得 cos∠F1PF2= =0. 所以三角形为直角三角形. = |PF1|·|PF2|=12. 2.(2015·武威高二检测)已知向量 a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且 a∥b,则点 P(x,y)的轨迹不 可能是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.双曲线 【解析】选 C.依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故 x2+ky2=1,当 k=1 时,点 P(x,y)的轨迹为圆; 当 k>0,且 k≠1 时,点 P(x,y)的轨迹为椭圆;当 k<0 时,点 P(x,y)的轨迹为双曲线.当 k=0 时, 点 P(x,y)的轨迹为两条直线 x=±1,故选 C. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·武汉高二检测)已知双曲线 - =1 的一个焦点是(0,2),椭圆 - =1 的焦距 等于 4,则 n=________. 【解析】因为双曲线的焦点为(0,2), 所以焦点在 y 轴, 所以双曲线的方程为 - =1, 即 a2=-3m,b2=-m,所以 c2=-3m-m=-4m=4,解得 m=-1,所以椭圆方程为 +x2=1,且 n>0,椭 圆的焦距为 4,所以 c2=n-1=4 或 1-n=4,解得 n=5 或-3(舍去). 答案:5 4.(2015·盐城高二检测)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上 的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________. 【解析】设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|, 所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|. 所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点 A,P,F1 共线时,满 足|PF1|+|PA|最小,易求得最小值为|AF1|=5,故所求最小值为 9. 答案:9 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 ,-3),且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲 线的标准方程. 【解析】因为双曲线焦点在 x 轴上, 所以设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0). 因为双曲线过点 P(4 ,-3),所以 - =1.① 又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 所以 · =0,即-c2+25=0. 解得 c2=25.② 又 c2=a2+b2,③ 所以由①②③可解得 a2=16 或 a2=50(舍去).所以 b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是 - =1. 6.(2015·益阳高二检测)双曲线 -y2=1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且满足: ∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积. 【解题指南】利用双曲线的定义结合勾股定理表示三角形面积. 【解析】如图,由双曲线方程 -y2=1,可知:a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5. 即 a=2,c= . 由双曲线定义,有|PF2|-|PF1|=2a, 所以|PF2|=4+|PF1|. 由∠F1PF2=90°,在直角△F1PF2 中, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+(4+|PF1|)2=(2 )2, 即|PF1|2+4|PF1|-2=0,由|PF1|>0, 所以|PF1|= -2,可得|PF2|= +2, 所以 Rt△F1PF2 的面积 S= |PF1|·|PF2|=1. 关闭 Word 文档返回原板块