人教版高中数学必修二检测：第四章圆与方程单元质量评估（四）含解析 10页

单元质量评估(四) (第四章) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.(2016·平顶山高一检测)圆(x+2)2+y2=5 关于 y 轴对称的圆的方程为 ( ) A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 【解析】选 A.由题意知所求圆的圆心为(2，0)，半径为 ，故所求圆 的方程为(x-2)2+y2=5. 2.直线 l：y=k 与圆 C：x2+y2=1 的位置关系是 ( ) A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切 D.相交 【解析】选 D.圆 C 的圆心(0，0)到直线 y=k 的距离 d= ， 因为 d2= <<1，所以位置关系为相交. 【一题多解】选 D.直线 l：y=k 过定点 ，而点 在 圆 C：x2+y2=1 内部，故直线 l 与圆 C 相交. 3.(2015·广东高考)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的 方程是 ( ) A.2x-y+ =0 或 2x-y- =0 B.2x+y+ =0 或 2x+y- =0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 【解析】选 D.设所求切线方程为 2x+y+c=0，依题有 = ，解得 c=±5，所以所求的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 4.若直线 ax+by=4 与圆 x2+y2=4 有两个不同的交点，则点 P(a，b)与圆的 位置关系是 ( ) A.点 P 在圆外 B.点 P 在圆上 C.点 P 在圆内 D.不能确定 【解析】选 A.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径， <2，即 a2+b2>4，所以点 P(a，b)在圆 x2+y2=4 的外部. 【延伸探究】若本题条件换为“直线 ax+by=4 与圆 x2+y2=4 相切”则结 论又如何呢？ 【解析】选 B.由题意知 =2，即 a2+b2=4.则点 P 在圆上..Com] 5.(2016·成都高一检测)圆 O1：x2+y2-2x=0 与圆 O2：x2+y2-4y=0 的位置 关系是 ( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 【解析】选 B.圆 O1(1，0)，r1=1，圆 O2(0，2)，r2=2， |O1O2|= = <1+2，且 >2-1，故两圆相交. 6.(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距 离为 1,则 a= ( ) A.- B.- C. D.2 【解析】选 A.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4, 故圆心为(1,4),d= =1, 解得 a=-. 7.以点(3，-1)为圆心且与直线 3x+4y=0 相切的圆的方程是 ( ) A.(x+3)2+(y-1)2=1 B.(x+3)2+(y-1)2=2 C.(x-3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y+1)2=2 【解析】选 C.由已知，r=d= =1，故选 C. 8.空间直角坐标系中，点 A(-3，4，0)和 B(x，-1，6)的距离为 ， 则 x 的值为 ( ) A.2 B.-8 C.2 或-8 D.8 或-2 【解析】选 C.由空间两点间距离公式得 = ， 解得 x=2 或-8. 9.(2016·南昌高一检测)直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x+b 将单位圆 C：x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= ( ) A. B.2 C.1 D.3 【解析】选 B.依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的 长度都是圆周的，即 = ， =1×cos45°= ，所以 a2=b2=1，故 a2+b2=2. 10.(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上 的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切，则圆 C 面积的最 小值为 ( ) A.π B.π C.(6-2 )π D.π 【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时的情况即可. 【解析】选 A.由题意得，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆 的面积最小， 此时圆的半径为× = ， 圆的面积为 S=π = . 11.已知直线 l 过点(-2，0)，当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时，其 斜率 k 的取值范围是 ( ) A.(-2 ，2 ) B.(- ， ) C. - ， D. -， 【解析】选 C.易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是 1，直线 l 的方程是 y=k(x+2)，即 kx-y+2k=0，根据点到直线的距离公式得 <1，即 k2<， 解得- 0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则 r 的值是________. 【解题指南】根据 A∩B 中有且仅有一个元素，说明两圆相切，注意分 外切和内切，分别求 r 的值. 【解析】因为 A∩B 中有且仅有一个元素，所以两圆相切.当两圆外切时， 2+r=5，即 r=3；当两圆内切时，r-2=5，即 r=7.所以 r 的值是 3 或 7. 答案：3 或 7 16.方程 x2+y2+2ax-2ay=0 表示的圆，①关于直线 y=x 对称；②关于直线 x+y=0 对称；③其圆心在 x 轴上，且过原点；④其圆心在 y 轴上，且过 原点，其中叙述正确的是______________. 【解析】将已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)，圆心坐标为(-a， a)，它在直线 x+y=0 上，所以已知圆关于直线 x+y=0 对称.故②正确. 答案：② 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)(2016·北京高一检测)求经过两点 A(-1，4)，B(3，2)且圆 心 C 在 y 轴上的圆的方程. 【解析】因为 AB 的中点是(1，3)，kAB= =-， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y-3=2(x-1)， 即 2x-y+1=0. 令 x=0，得 y=1， 即圆心 C(0，1). 所以所求圆的半径为|AC|= = . 所以所求圆的方程为 x2+(y-1)2=10. 18.(12 分)在三棱柱 ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱 OO′⊥平面 OAB，OA=OB=OO′=2.若 C 为线段 O′A 的中点，在线段 BB′上求一点 E， 使|EC|最小. 【解析】如图所示，以三棱柱的 O 点为坐标原点，以 OA，OB，OO′所在 的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. 由 OA=OB=OO′=2，得 A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2， 0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2). 由 C 为线段 O′A 的中点得 C 点坐标为(1，0，1)， 设 E 点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得 |EC|= = ， 故当 z=1 时，|EC|取得最小值为 ，此时 E(0，2，1)为线段 BB′的中 点. 19.(12 分)(2016·大连高一检测)已知圆 C：(x-1) 2+y2=9 内有一点 P(2， 2)，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A，B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程. (2)当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程. 【解析】(1)已知圆 C：(x-1)2+y2=9 的圆心为 C(1，0)，因直线 l 过点 P， C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y=2(x-1)，即 2x-y-2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时，l⊥PC，直线 l 的方程为 y-2=-(x-2)，即 x+2y-6=0. 20.(12 分)已知圆 O：x2+y2=1 与直线 l：y=kx+2. (1)当 k=2 时，求直线 l 被圆 O 截得的弦长. (2)当直线 l 与圆 O 相切时，求 k 的值. 【解析】(1)当 k=2 时，直线 l 的方程为 2x-y+2=0. 设直线 l 与圆 O 的两个交点分别为 A，B， 过圆心 O(0，0)作 OD⊥AB 于点 D， 则|OD|= = ， 所以|AB|=2|AD|=2 = . (2)当直线 l 与圆 O 相切时，即圆心到直线的距离等于圆的半径. 所以 =1，即 =2，解得 k=± . 【一题多解】(1)当 k=2 时，联立方程组 消去 y，得 5x2+8x+3=0， 解得 x=-1 或 x=-，代入 y=2x+2，得 y=0 或 y=， 设直线 l 与圆 O 的两个交点分别为 A，B， 则 A(-1，0)和 B ， 所以|AB|= = . (2)联立方程组 消去 y，得(1+k2)x2+4kx+3=0， 当直线 l 与圆 O 相切时，即上面关于 x 的方程只有一个实数根. 则Δ=(4k)2-4×3(1+k2)=0， 即 4k2-12=0，k2=3，所以 k=± . 21.(12 分)(2016·长春高一检测)已知圆 C：x2+y2-2x+4y-4=0. (1)写出圆 C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小. (2)是否存在斜率为 1 的直线 m，使 m 被圆 C 截得的弦为 AB，且 OA⊥OB(O 为坐标原点).若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，说明理由. 【解题指南】(1)由圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)得其圆心 -，-，半径为 ，从而可得圆 C 的标准方程，此题也可 以通过配方法直接得到圆C的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径. (2)首先根据题意设出 m 的方程，然后与圆的方程联立消 y 得关于 x 的 一元二次方程，运用根与系数的关系得到两根的和及积的关系，然后再 根据 OA⊥OB 不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线 m 的方程. 【解析】(1)根据圆的一般方程结合已知得：D=-2，E=4，F=-4，则 -=- =1，-=-=-2， = =3， 即圆心 C 的坐标为(1，-2)，半径为 3，所以圆 C 的标准方程为： (x-1)2+(y+2)2=9. (2)根据题意可设直线 m：y=x+b，代入圆的方程得： 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0， 因为直线与圆相交，所以 b2+6b-9<0， x1+x2=-b-1，x1x2= ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1=x1+b，y2=x2+b，由 OA⊥OB 得： · =-1⇒ =-1⇒(x1+b)(x2+b)+x1x2=0， 2x1x2+b(x1+x2)+b2=0⇒b2+3b-4=0，得 b=-4 或 b=1， 均满足 b2+6b-9<0，故所求直线 m 存在，且方程为 y=x-4 或 y=x+1. 22.(12 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数， 且与直线 4x+3y-29=0 相切. (1)求圆的方程. (2)设直线 ax-y+5=0(a>0)与圆相交于 A，B 两点，求实数 a 的取值范围. (3)在(2)的条件下，是否存在实数 a，使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(-2，4)？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)设圆心为 M(m，0)(m∈Z). 由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切，且半径为 5，所以 =5，即 |4m-29|=25.因为 m 为整数，故 m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25. (2) 把 直 线 ax-y+5=0 即 y=ax+5 代 入 圆 的 方 程 ， 消 去 y 整 理 ， 得 (a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A，B 两点， 故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0. 即 12a2-5a>0，由于 a>0，解得 a> ，所以实数 a 的取值范围是 . (3)假设符合条件的实数 a 存在，由于 a≠0，则直线 l 的斜率为-，l 的 方程为 y=-(x+2)+4，即 x+ay+2-4a=0.由于 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M(1， 0)必在 l 上. 所以 1+0+2-4a=0，解得 a=. 由于∈ ，故存在实数 a=，使得过点 P(-2，4)的直线 l 垂直平 分弦 AB.