数学北师大版（2019）必修第二册：6-4-1 直线与平面平行 学案与作业 13页

§4 平 行 关 系 4.1 直线与平面平行 (15 分钟 35 分) 1.如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F 分别为底面 ABCD 和底面 A′B′C′D′ 的 中 心 , 则 正 方 体 的 六 个 面 中 与 EF 平 行 的 平 面 有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】选 D.由直线与平面平行的判定定理知,EF 与平面 AB′、平面 BC′、平面 CD′、平面 AD′均平行.故与 EF 平行的平面有 4 个. 【补偿训练】 一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面α内,把这块矩形木板绕 AB 转动,在转动的过程中,AB 的对边 CD 与平面α的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.在平面α内 D.平行或在平面α内 【解析】选 D.在旋转过程中,CD∥AB,易得 CD∥α或 CD⊂α. 2. 在 三 棱 锥 A-BCD 中 ,E,F 分 别 是 AB 和 BC 上 的 点 , 若 AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线 AC 与平面 DEF 的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.直线 AC 在平面 DEF 内 D.不能确定 【解析】选 A.因为 AE∶EB=CF∶FB=2∶5, 所以 EF∥AC. 又 EF⊂平面 DEF,AC⊄平面 DEF, 所以 AC∥平面 DEF. 3.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别在 AD,CD 上,且满足 = ,则直线 EF 与平面 ABC 的位置关系是 ( ) A.EF∥平面 ABC B.EF⊂平面 ABC C.EF 与平面 ABC 相交 D.以上都有可能 【解析】选 A.如图,因为 = ,所以 EF∥AC. 又因为 AC⊂平面 ABC,EF⊄平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC.所以 EF∩平面 ABC=∅. 因而 B,C,D 均错. 4. 已 知 m,n 是 平 面 α 外 的 两 条 直 线 , 给 出 下 列 三 个 论 断:①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论, 写出你认为正确的一个________. 【解析】若 m∥n,m∥α,则 n∥α. 同样,若 m∥n,n∥α,则 m∥α. 答案:①②⇒③(或①③⇒②) 5.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是________. 【解析】在①中由正方体性质得到平面 MNP 与 AB 所在平面平行,所以 AB∥平面 MNP,故①成立; ②若下底面中心为 O,则 NO∥AB,NO∩面 MNP=N,所以 AB 与平面 MNP 不平 行,故②不成立; ③过 P 作与 AB 平行的直线 PO,则 PO 与平面 MNP 相交,所以 AB 与面 MNP 不平行,故③不成立; ④AB 与 PN 平行,所以 AB∥平面 MNP,故④成立. 答案:①④ 6.如图,O 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 底面对角线 AC 与 BD 的交点,求 证:B1O∥平面 A1C1D. 【证明】如图,连接 B1D1 交 A1C1 于点 O1,连接 DO1, 因为 B1B∥D1D,B1B=D1D, 所以四边形 B1BDD1 为平行四边形, 所以 O1B1∥DO,O1B1=DO, 所以 O1B1OD 为平行四边形, 所以 B1O∥O1D, 因为 B1O⊄平面 A1C1D,O1D⊂平面 A1C1D, 所以 B1O∥平面 A1C1D. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,则这样的平面 ( ) A.不存在 B.只能作出 1 个 C.能作出无数个 D.以上都有可能 【解析】选 D.设直线 l 外两点确定直线 AB,①当 AB 与 l 相交时,满足题 意的平面不存在;②当 AB与l 异面时,满足题意的平面只能作一个;③当 AB∥l 时,满足题意的平面有无数多个. 2.若直线 l 不平行于平面α,且 l⊄α,则 ( ) A.α内的所有直线与 l 异面 B.α内不存在与 l 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与 l 平行 D.α内的直线与 l 都相交 【解析】选 B.由题意可得α内不存在与 l 平行的直线.若α内存在直线 m 与 l 平行,由于 l 不在α内,则可得到 l 与α平行,与已知矛盾. 3.在三棱锥 P-ABC 中,点 D 在 PA 上且 PD= DA,过点 D 作平行于底面 ABC 的平面,交 PB,PC 于点 E,F,若△ABC 的面积为 9,则△DEF 的面积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D. 【解析】选 A.如图易知△DEF∽△ABC, 由 PD= DA,知 PD= PA. 所以 = = . 所以 = = . 又 S△ABC=9,所以 S△DEF=1. 【补偿训练】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 P,Q 分别是棱 AA1 与 CC1 的中点,则经过 P,B,Q 三点的截面是 ( ) A.邻边不相等的平行四边形 B.菱形但不是正方形 C.矩形 D.正方形 【解析】选 B.如图所示,设经过 P,B,Q 三点的截面为平面γ, 由平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1, 平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1, 知γ与两组平面的交线平行.所以截面为平行四边形. 又因为△ABP≌△CBQ, 所以 PB=QB,知截面为菱形. 又 PQ≠BD1,知截面不可能为正方形. 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 E,F,G 分别是线段 A1C1 上的点, 且 A1E=EF=FG=GC1.则下列直线与平面 A1BD 平行的是 ( ) A.CE B.CF C.CG D.CC1 【解析】选 B.如图,连接 AC,使 AC 交 BD 于点 O,连接 A1O,CF, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 由于 A1F AC, 又 OC= AC,可得 A1F OC, 即四边形 A1OCF 为平行四边形, 可得 A1O∥CF,又 A1O⊂平面 A1BD,CF⊄平面 A1BD,可得 CF∥平面 A1BD. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则 ( ) A.AC⊥BD B.AC∥平面 PQMN C.AC=BD D.M,N 分别是线段 DC,AD 的中点 【解析】选 AB.由题意知 PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正 确; 由 PQ∥AC 可得 AC∥平面 PQMN,故 B 正确. 6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,则下列四个结论正确的是 ( ) A.直线 A1C1 与 AD1 为异面直线 B.A1C1∥平面 ACD1 C.直线 BD1 与 AC 为异面直线 D.BC∥平面 ACD1 【解析】选 ABC.对于 A,直线 A1C1⊂平面 A1B1C1D1,AD1⊂平面 ADD1A1,D1∉ 直线 A1C1,则易得直线 A1C1 与 AD1 为异面直线,故 A 正确; 对于 B,因为 A1C1∥AC,A1C1⊄平面 ACD1,AC⊂平面 ACD1,所以 A1C1∥平面 ACD1,故 B 正确; 对于 C,直线 AC⊂平面 ABCD,BD1⊂平面 BB1D1D,B∉AC,则直线 AC 与 BD1 为 异面直线,故 C 正确; 对于 D,显然错误. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.如图,在五面体 FE-ABCD 中,四边形 CDEF 为矩形,M,N 分别是 BF,BC 的中点,则 MN 与 CF 的位置关系是________,MN 与平面 ADE 的位置关系 是________. 【解析】因为 M,N 分别是 BF,BC 的中点, 所以 MN∥CF.又四边形 CDEF 为矩形,所以 CF∥DE, 所以 MN∥DE.又 MN⊄平面 ADE,DE⊂平面 ADE,所以 MN∥平面 ADE. 答案:平行 平行 【补偿训练】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,G 分别是 BC,C1D1 的中点,如图,则 EG 与 平面 BDD1B1 的位置关系是________. 【解析】如图,取 BD 的中点 F,连接 EF,D1F.因为 E 为 BC 的中点,所以 EF 为△BCD 的中位线, 则 EF∥DC 且 EF= CD.因为 G 为 C1D1 的中点, 所以 D1G∥CD 且 D1G= CD, 所以 EF∥D1G 且 EF=D1G, 所以四边形 EFD1G 为平行四边形, 所以D1F∥EG,而D1F⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,所以EG∥平面BDD1B1. 答案:平行 8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AA1 中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运 动,当点P满足条件________时A1P∥平面BCD(答案不唯一,填一个满足 题意的条件即可). 【解析】如图,取 CC1 中点 P,连接 A1P. 因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 D 为 AA1 中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运动, 所以当点 P 满足条件 P 是 CC1 中点时 A1P∥CD. 因为 A1P⊄平面 BCD,CD⊂平面 BCD, 所以当点 P 满足条件 P 是 CC1 中点时 A1P∥平面 BCD. 答案:P 是 CC1 中点 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知正方形 ABCD,如图 1.E,F 分别是 AB,CD 的中点,将△ADE 沿 DE 折 起,如图 2 所示,求证:BF∥平面 ADE. 【证明】因为 E,F 分别为 AB,CD 的中点,所以 EB=FD. 又因为 EB∥FD,所以四边形 EBFD 为平行四边形, 所以 BF∥ED. 因为 DE⊂平面 ADE,而 BF⊄平面 ADE, 所以 BF∥平面 ADE. 10.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E,F 分别是棱 AB,BC,A1C1 的中点,求 证:EF∥平面 A1CD. 【证明】连接 DE. 因为 D,E 分别是 AB,BC 的中点,所以 DE∥AC 且 DE= AC. 因为 ABC-A1B1C1 是三棱柱, 所以 AA1∥CC1 且 AA1=CC1, 所以四边形 AA1C1C 是平行四边形, 所以 AC∥A1C1 且 AC=A1C1. 因为 F 是 A1C1 的中点, 所以 A1F∥AC 且 A1F= AC, 所以 DE∥A1F 且 DE=A1F, 所以四边形 A1DEF 是平行四边形, 所以 EF∥A1D. 又 EF⊄平面 A1CD,A1D⊂平面 A1CD, 所以 EF∥平面 A1CD. 1.下列三个说法: ①若直线 a 在平面α外,则 a∥α; ②若直线 a∥b,直线 a⊄α,b⊂α,则 a∥α; ③若 a∥b,b⊂α,则 a 与α内任意直线平行. 其中正确的有________. 【解析】直线 a 在平面α外,包含直线 a 与α相交、直线 a 与α平行两 种情况,①不正确; 由直线与平面平行的判定定理知②正确; ③中 a 与α内的直线可能平行,相交、异面,③不正确. 答案:② 2. 如图所示,已知 P 是▱ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点, 平面 PAD∩平面 PBC=l. 求证:(1)l∥BC; (2)MN∥平面 PAD. 【证明】(1)因为 BC∥AD,BC⊄平面 PAD,AD⊂平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD. 又因为平面 PBC∩平面 PAD=l,BC⊂平面 PBC,所以 BC∥l. (2)如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE, 则 NE∥CD,且 NE= CD, 又因为 AM∥CD,且 AM= CD, 所以 NE∥AM,且 NE=AM. 所以四边形 AMNE 是平行四边形. 所以 MN∥AE. 又因为 AE⊂平面 PAD,MN⊄平面 PAD, 所以 MN∥平面 PAD. 关闭 Word 文档返回原板块