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- 2021-06-16 发布
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c
b
a
2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (重庆理)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
(1)若等差数列{ na }的前三项和 93 S 且 11 a ,则 2a 等于( )
A.3 B.4 C. 5 D. 6
【答案】:A
【分析】:由 3 13 3 3 3 9S a d d 可得 2.d 2 1 3.a a d
(2)命题“若 12 x ,则 11 x ”的逆否命题是( )
A.若 12 x ,则 1x 或 1x B.若 11 x ,则 12 x
C.若 1x 或 1x ,则 12 x D.若 1x 或 1x ,则 12 x
【答案】:D
【分析】:其逆否命题是:若 1x 或 1x ,则 12 x 。
(3)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,
则这三个平面把空间分成( )
A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分
【答案】:C
【分析】:可用三线 , ,a b c 表示三个平面,如图,将空间分成 7 个部分。
(4)若 n
xx )1( 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
【答案】:B
【分析】: 6 6 2
1 6 62 64 6. .n r r r r r
rn T C x x C x
3
4 66 2 0 3 20.r r T C
(5)在 ABC 中, ,75,45,3 00 CAAB 则 BC =( )
A. 33 B. 2 C.2 D. 33
【答案】:A
【分析】: 0 03, 45 , 75 ,AB A C 由正弦定理得:
3, ,sin sin sin 45 sin 75 6 2
4
a c BC AB
A C
3 3.BC
(6)从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,
则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( )
A.
4
1 B.
120
79 C.
4
3 D.
24
23
【答案】:C
【分析】:可从对立面考虑,即三张价格均不相同,
1 1 1
5 3 2
3
10
31 .4
C C CP C
(7)若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则
||2||
2
ba
ab
的最大值为( )
A.
15
52 B.
4
2 C.
5
5 D.
2
2
【答案】:B
【分析】:a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 2 2 2 21 4 4 1 4 | |.a b a b ab
1| | .4ab 2 2 24 (| | 2 | |) 4 | | 1.a b a b ab
22 2 2 | | 4( )
| | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | |
ab ab ab ab
a b abab ab
2 2
4 4
4 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab
1 1| | 4,4 | |ab ab
2 4 2max .| | 2 | | 32 4
ab
a b
(8)设正数 a,b 满足 4)( 2
2
lim
baxx
x
, 则
nn
nn
n ba
aba
21
11
lim ( )
A.0 B.
4
1 C.
2
1 D.1
【答案】:B
【分析】: 2
2
1( ) 4 4 2 4 2 .2limx
ax ax b a b a b b
1 1
1
1 1( ) ( ) 12 2 .1 1 12 4( ) 2 ( ) 22
lim lim lim
n n
n n
n n
n nn n n
a aa aa ab b b
aa b
a b a
D
C
B
A
(9)已知定义域为 R 的函数 f(x)在 ),8( 上为减函数,且函数 y=f(x+8)函数为偶函数,
则( )
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
【答案】:D
【分析】:y=f(x+8)为偶函数, ( 8) ( 8).f x f x 即 ( )y f x 关于直线 8x 对称。
又 f(x)在 ),8( 上为减函数,故在 ( ,8) 上为增函数, 检验知选 D。
(10)如图,在四边形 ABCD 中,| | | | | | 4, 0,AB BD DC AB BD BD DC
4|||||||| DCBDBDAB ,则
ACDCAB )( 的值为( )
A.2 B. 22 C.4 D. 24
【答案】:C
【分析】: 2( ) ( ) ( ) (| | | |) .AB DC AC AB DC AB BD DC AB DC
| | | | | | 4, | | | | 2.
| |(| | | |) 4,
AB BD DC AB DC
BD AB DC
( ) 4.AB DC AC
二、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,把答案填写在答题卡相应位置上
(11)复数 32
2
i
i
的虚部为________.
【答案】: 4
5
【分析】: 3
2 2 2 (2 ) 2 4 2 4 .2 2 5 5 5 5
i i i i i ii i
(12)已知 x,y 满足
1
42
1
x
yx
yx
,
则函数 z = x+3y 的最大值是________.
【答案】:7
【分析】:画出可行域,当直线过点(1,2)时,
max 1 6 7.z
(13)若函数 f(x) =
2 22 1x ax a 的定义域为 R,则 a 的取值范围为_______.
【答案】: 1 0 ,
【分析】: 2 2 02 1 2x ax a 恒成立, 2 2 0x ax a 恒成立,
2(2 ) 4 0 ( 1) 0 1 0.a a a a a
(14)设{ na }为公比 q>1 的等比数列,若 2004a 和 2005a 是方程 24 8 3 0x x 的两根,
则 20072006 aa __________.
【答案】:18
【分析】: 2004a 和 2005a 是方程 24 8 3 0x x 的两根,故有:
2004
2005
1
2
3
2
a
a
或
2004
2005
3
2
1
2
a
a
(舍)。 3.q
2 2
2006 2007 2005
3( ) (3 3 ) 18.2a a a q q
(15)某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选,
则不同的选课方案有___________种。(以数字作答)
【答案】:25
【分析】:所有的选法数为 4
7C ,两门都选的方法为 2 2
2 5C C 。
故共有选法数为 4 2 2
7 2 5 35 10 25.C C C
(16)过双曲线 422 yx 的右焦点 F 作倾斜角为 0105 的直线,交双曲线于 P、Q 两点,
则|FP| |FQ|的值为__________.
【答案】: 8 3
3
【分析】: (2 2,0),F 0tan105 (2 3).k : (2 3)( 2 2).l y x
代入 422 yx 得: 2(6 4 3) 4 2(7 4 3) 60 32 3 0.x x
设 1 1 2 2 1 2 1 2
4 2(7 4 3) 60 32 3( , ), ( , ). , .
6 4 3 6 4 3
P x y Q x y x x x x
又 2 2
1 2| | 1 | 2 2 |,| | 1 | 2 2 |,FP k x FQ k x
2
1 2 1 2| | | | (1 ) | 2 2( ) 8|
60 32 3 16(7 4 3)(8 4 3) | 8|
6 4 3 6 4 3
(8 4 3)( 4) 8 3 .36 4 3
FP FQ k x x x x
三、解答题:本大题共6小题,共 76 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 13 分)设 f (x) = xx 2sin3cos6 2
(1)求 f(x)的最大值及最小正周期; (9 分)
(2)若锐角 满足 323)( f ,求 tan
5
4 的值。(4 分)
解:(Ⅰ) 1 cos2( ) 6 3sin 22
xf x x
3cos2 3sin 2 3x x
3 12 3 cos2 sin 2 32 2x x
2 3 cos 2 36x
.
故 ( )f x 的最大值为 2 3 3 ;最小正周期 2
2T .
(Ⅱ)由 ( ) 3 2 3f 得 2 3 cos 2 3 3 2 36
,故 cos 2 16
.
又由 0 2
得 26 6 6
,故 2 6
,解得 5
12
.
从而 4tan tan 35 3
.
(18)(本小题满分 13 分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司
缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元
的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率
分别为 1 1 1, , ,9 10 11
且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:
(1)获赔的概率;(4 分)
(2)获赔金额 的分别列与期望。(9 分)
解:设 kA 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, 1 2 3k ,,.由题意知 1A , 2A , 3A 独立,
且 1
1( ) 9P A , 2
1( ) 10P A , 3
1( ) 11P A .
(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为
1 2 3 1 2 3
8 9 10 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 9 10 11 11P A A A P A P A P A .
(Ⅱ) 的所有可能值为 0 ,9000 ,18000 , 27000 .
1 2 3 1 2 3
8 9 10 8( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 11 11P P A A A P A P A P A ,
1 2 3 1 2 3 1 2 3( 9000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A
1 9 10 8 1 10 8 9 1
9 10 11 9 10 11 9 10 11
242 11
990 45
,
1 2 3 1 2 3 1 2 3( 18000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A
1 1 10 1 9 1 8 1 1
9 10 11 9 10 11 9 10 11
27 3
990 110
,
1 2 3 1 2 3( 27000) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A
1 1 1 1
9 10 11 990
.
综上知, 的分布列为
0 9000 18000 27000
P
8
11
11
45
3
110
1
990
求 的期望有两种解法:
解法一:由 的分布列得
8 11 3 10 9000 18000 2700011 45 110 990E
29900 2718.1811
≈ (元).
解法二:设 k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, 1 2 3k ,,,
则 1 有分布列
1 0 9000
P
8
9
1
9
故 1
19000 10009E .
同理得 2
19000 90010E , 3
19000 818.1811E .
综上有 1 2 3 1000 900 818.18 2718.18E E E E (元).
(19)(本小题满分 13 分)如图,在直三棱柱 ABC— 111 CBA 中, 1 2,AA AB = 1,
090ABC ;点 D、E 分别在 D、ABB 11 上,且 DAEB 11 ,
四棱锥 1ABDAC 与直三棱柱的体积之比为 3:5。
(1)求异面直线 DE 与 11CB 的距离;(8 分)
(2)若 BC = 2 ,求二面角 111 BDCA 的平面角的正切值。(5 分)
解法一:(Ⅰ)因 1 1 1 1B C A B ,且 1 1 1B C BB ,故 1 1B C 面 1 1A ABB ,
从而 1 1 1B C B E ,又 1B E DE ,故 1B E 是异面直线 1 1B C 与 DE 的公垂线.
设 BD 的长度为 x ,则四棱椎 1C ABDA 的体积 1V 为
11 1
1 1 1( ) ( 2)3 6 6ABDAV S BC DB A A AB BC x BC · · · · .
而直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 2V 为 2 1 1
1
2ABCV S AA AB BC AA BC △ · · · .
由已知条件 1 2: 3:5V V ,故 1 3( 2)6 5x ,解之得 8
5x .
从而 1 1
8 22 5 5B D B B DB .
在直角三角形 1 1A B D 中,
2
2 2
1 1 1 1
2 291 5 5A D A B B D
,
又因
1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 2A B DS A D B E A B B D △ · · ,
故 1 1 1
1
1
2 29
29
A B B DB E A D
· .
(Ⅱ)如答(19)图 1,过 1B 作 1 1B F C D ,垂足为 F ,连接 1A F ,因 1 1 1 1A B B C ,
A
B
C
DE
1B 1C1A
答(19)图 1
F
1 1 1A B B D ,故 1 1A B 面 1 1B DC .
由三垂线定理知 1 1C D A F ,故 1 1A FB 为所求二面角的平面角.
在直角 1 1C B D△ 中,
2
2 2
1 1 1 1
2 3 62 5 5C D B C B D
,
又因
1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 2C B DS C D B F B C B D △ · · ,
故 1 1 1
1
1
2 3
9
B C B DB F C D
· ,所以 1 1
1 1
1
3 3tan 2
A BA FB B F
.
解法二:
(Ⅰ)如答(19)图 2,以 B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz ,则 (0 0 0)B ,, ,
1(0 0 2)B ,, , (01 0)A ,, , 1(01 2)A ,, ,则 1 (0 0 2)AA ,, , (0 1 0)AB , , .
设 1( 0 2)C a,, ,则 1 1 ( 0 0)B C a ,, ,
又设 0 0(0 )E y z, , ,则 1 0 0(0 2)B E y z , , ,
从而 1 1 1 0B C B E
,即 1 1 1B E B C .
又 1 1B E DA ,所以 1B E 是异面直线 1 1B C 与 DE 的公垂线.
下面求点 D 的坐标.
设 (0 0 )D z,, ,则 (0 0 )BD z
,, .
因四棱锥 1C ABDA 的体积 1V 为
11 1
1 1 ( )3 6ABDAV S BC BD AA AB BC
1 ( 2) 16 z BC
.
而直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 2V 为 2 1 1
1
2ABCV S AA AB BC AA BC
△ .
由已知条件 1 2: 3:5V V ,故 1 3( 2)6 5z ,解得 8
5z ,即 80 0 5D
,, .
从而 1
20 0 5DB
,, , 1
201 5DA
,, , 0 0
80 5DE y z
, , .
接下来再求点 E 的坐标.
由 1 1B E DA ,有 1 1 0B E DA
,即 0 0
2 ( 2) 05y z (1)
A
( )B O
C
DE
1B 1C1A
答(19)图 2
y x
z
F
又由 1DA DE
∥ 得
0
0
8
5
21
5
zy
. (2)
联立(1),(2),解得 0
4
29y , 0
48
29z ,即 4 480 29 29E
, , ,得 1
4 100 29 29B E
, , .
故
2 2
1
4 10 2 29
29 29 29B E
.
(Ⅱ)由已知 2BC ,则 1( 2 0 2)C ,, ,从而 1
2( 2 0 )5DC ,, ,过 1B 作 1 1B F C D ,
垂足为 F ,连接 1A F ,
设 1 1( 0 )F x z,, ,则 1 1 1( 0 2)B F x z ,, ,因为 1 1 0B F DC
,故
1 1
2 42 05 5x z ……………………………………①
因 1 1
80 5DF x z
,, 且 1DF DC
∥ 得
1
1
8
5
22
5
zx
,即
1 1
2 82 2 05 5x z ……………………………………②
联立①②解得 1
2 227x , 1
44
27z ,即 2 442 027 27F
,, .
则 1
2 102 127 27A F
, , , 1
2 102 027 27B F
,, .
2 2
1
2 2 10 2 3| | 27 27 9B F
.
又 1 1
2 10 22 2 ( 1) 0 027 27 5A F DC
,故 1 1A F DC ,
因此 1 1A FB 为所求二面角的平面角.又 1 1 (0 1 0)A B , , ,从而 1 1 1 0A B B F
,
故 1 1A B 1B F , 1 1A B F△ 为直角三角形,所以 1 1
1 1
1
| | 3 3tan 2| |
A BA FB
B F
.
(20)(本小题满分 13 分)
已知函数 cbxxaxxf 44 ln)( (x>0)在 x = 1 处取得极值–3–c,其中 a,b,c 为常数。
(1)试确定 a,b 的值;(6 分)
(2)讨论函数 f(x)的单调区间;(4 分)
(3)若对任意 x>0,不等式 22)( cxf 恒成立,求 c 的取值范围。(3 分)
解:(I)由题意知 (1) 3f c ,因此 3b c c ,从而 3b .
又对 ( )f x 求导得 3 4 31( ) 4 ln 4f x ax x ax bxx
3 (4 ln 4 )x a x a b .
由题意 (1) 0f ,因此 4 0a b ,解得 12a .
(II)由(I)知 3( ) 48 lnf x x x ( 0x ),令 ( ) 0f x ,解得 1x .
当 0 1x 时, ( ) 0f x ,此时 ( )f x 为减函数;
当 1x 时, ( ) 0f x ,此时 ( )f x 为增函数.
因此 ( )f x 的单调递减区间为 (01), ,而 ( )f x 的单调递增区间为 (1 ),∞ .
(III)由(II)知, ( )f x 在 1x 处取得极小值 (1) 3f c ,此极小值也是最小值,
要使 2( ) 2f x c≥ ( 0x )恒成立,只需 23 2c c ≥ .
即 22 3 0c c ≥ ,从而 (2 3)( 1) 0c c ≥ ,解得 3
2c≥ 或 1c ≤ .
所以 c 的取值范围为 3( 1] 2
, , .
(21)(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列{ na }的前 n 项和满足 1 1S ,且
*),2)(1(6 NnaaS nnn
(1)求{ na }的通项公式;(5 分)
(2)设数列{ nb }满足 1)12( nb
na ,并记 nT 为{ nb }的前 n 项和,
求证: *
2 ),3(log13 NnaT nn . (7 分)
(I)解:由 1 1 1 1
1 ( 1)( 2)6a S a a ,解得 1 1a 或 1 2a ,由假设 1 1 1a S ,因此 1 2a ,
又由 1 1 1 1
1 1( 1)( 2) ( 1)( 2)6 6n n n n n n na S S a a a a ,
得 1 1( )( 3) 0n n n na a a a ,
即 1 3 0n na a 或 1n na a ,因 0na ,故 1n na a 不成立,舍去.
因此 1 3n na a ,从而 na 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列,
故 na 的通项为 3 1na n .
(II)证法一:由 (2 1) 1nb
na 可解得 2 2
2
1 3log 1 log 3 1n
nb a n
;
从而 1 2 2
3 6 3log 2 5 3 1n n
nT b b b n
.
因此
3
2 2
3 6 3 23 1 log ( 3) log 2 5 3 1 3 2n n
nT a n n
.
令
33 6 3 2( ) 2 5 3 1 3 2
nf n n n
,则
3 2
2
( 1) 3 2 3 3 (3 3)
( ) 3 5 3 2 (3 5)(3 2)
f n n n n
f n n n n n
.
因 3 2(3 3) (3 5)(3 2) 9 7 0n n n n ,故 ( 1) ( )f n f n .
特别地 27( ) (1) 120f n f ≥ ,从而 2 23 1 log ( 3) log ( ) 0n nT a f n .
即 23 1 log ( 3)n nT a .
证法二:同证法一求得 nb 及 nT ,
由二项式定理知,当 0c 时,不等式 3(1 ) 1 3c c 成立.
由此不等式有
3 3 3
2
1 1 13 1 log 2 1 1 12 5 3 1nT n
2
3 3 3log 2 1 1 12 5 3 1n
2 2 2
5 8 3 2log 2 log (3 2) log ( 3)2 5 3 1 n
n n an
··· · .
证法三:同证法一求得 nb 及 nT .
令 3 6 3 4 7 3 1
2 5 3 1 3 6 3n n
n nA Bn n
,·· · ·· · , 5 8 3 2
4 7 3 1n
nC n
·· · .
因 3 3 1 3 2
3 1 3 3 1
n n n
n n n
.因此 2 3 +2
2n n n n
nA A B C .
从而
3
3
2 2
3 6 33 1 log 2 log 22 5 3 1n n
nT An
2 2 2log 2 log (3 2) log ( 3)n n n nA B C n a .
证法四:同证法一求得 nb 及 nT .
下面用数学归纳法证明: 23 1 log ( 3)n nT a .
当 1n 时, 1 2
273 1 log 4T , 2 1 2log ( 3) log 5a ,
因此 1 2 13 1 log ( 3)T a ,结论成立.
假设结论当 n k 时成立,即 23 1 log ( 3)k kT a .
则当 1n k 时,
1 2 1 1 2 13 1 log ( 3) 3 1 3 log ( 3)k k k k kT a T b a
2 2 1 1log ( 3) log ( 3) 3k k ka a b
3
2 2
(3 3)log (3 5)(3 2)
k
k k
因 3 2(3 3) (3 5)(3 2) 9 7 0k k k k .故
3
2 2
(3 3)log 0(3 5)(3 2)
k
k k
.
从而 1 2 13 1 log ( 3)k kT a .这就是说,当 1n k 时结论也成立.
综上 23 1 log ( 3)n nT a 对任何 n +N 成立.
(22) (本小题满分 12 分)如图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3,0),
右准线 l 的方程为:x = 12。
(1)求椭圆的方程;(4 分)
(2)在椭圆上任取三个不同点 321 ,, PPP ,使 133221 FPPFPPFPP ,
证明:
||
1
||
1
||
1
321 FPFPFP
为定值,并求此定值。(8 分)
解:(I)设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
.
因焦点为 (3 0)F , ,故半焦距 3c .
又右准线l 的方程为
2ax c
,从而由已知
2
212 36a ac
, ,
因此 6a , 2 2 27 3 3b a c .
故所求椭圆方程为
2 2
136 27
x y .
(II)记椭圆的右顶点为 A ,并设 i iAFP (i 1,2,3),不失一般性,
假设 1
20 3
≤ ,且 2 1
2
3
, 3 1
4
3
.
又设点 iP 在l 上的射影为 iQ ,因椭圆的离心率 1
2
ce a
,从而有
2
cosi i i i i
aFP PQ e c FP ec
1 (9 cos )2 i iFP ( 1 2 3)i ,, .
解得 1 2 11 cos9 2 i
iFP
( 1 2 3)i ,, .
因此
O F
3P
1P
x
l
2P
y
答(22)图
1Q
A
1 1 1
1 2 3
1 1 1 2 1 2 43 cos cos cos9 2 3 3FP FP FP
,
而 1 1 1
2 4cos cos cos3 3
1 1 1 1 1
1 3 1 3cos cos sin cos sin 02 2 2 2
,
故
1 2 3
1 1 1 2
3FP FP FP
为定值.
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