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  • 2021-06-16 发布

高考卷 普通高等学校招生全国统一考试 数学 (重庆理)

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c b a 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (重庆理) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. (1)若等差数列{ na }的前三项和 93 S 且 11 a ,则 2a 等于( ) A.3 B.4 C. 5 D. 6 【答案】:A 【分析】:由 3 13 3 3 3 9S a d d     可得 2.d  2 1 3.a a d    (2)命题“若 12 x ,则 11  x ”的逆否命题是( ) A.若 12 x ,则 1x 或 1x B.若 11  x ,则 12 x C.若 1x 或 1x ,则 12 x D.若 1x 或 1x ,则 12 x 【答案】:D 【分析】:其逆否命题是:若 1x 或 1x ,则 12 x 。 (3)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分成( ) A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 【答案】:C 【分析】:可用三线 , ,a b c 表示三个平面,如图,将空间分成 7 个部分。 (4)若 n xx )1(  展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 【答案】:B 【分析】: 6 6 2 1 6 62 64 6. .n r r r r r rn T C x x C x          3 4 66 2 0 3 20.r r T C        (5)在 ABC 中, ,75,45,3 00  CAAB 则 BC =( ) A. 33  B. 2 C.2 D. 33  【答案】:A 【分析】: 0 03, 45 , 75 ,AB A C   由正弦定理得: 3, ,sin sin sin 45 sin 75 6 2 4 a c BC AB A C       3 3.BC   (6)从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张, 则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( ) A. 4 1 B. 120 79 C. 4 3 D. 24 23 【答案】:C 【分析】:可从对立面考虑,即三张价格均不相同, 1 1 1 5 3 2 3 10 31 .4 C C CP C     (7)若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 ||2|| 2 ba ab  的最大值为( ) A. 15 52 B. 4 2 C. 5 5 D. 2 2 【答案】:B 【分析】:a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 2 2 2 21 4 4 1 4 | |.a b a b ab      1| | .4ab  2 2 24 (| | 2 | |) 4 | | 1.a b a b ab     22 2 2 | | 4( ) | | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | | ab ab ab ab a b abab ab       2 2 4 4 4 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab      1 1| | 4,4 | |ab ab    2 4 2max .| | 2 | | 32 4 ab a b   (8)设正数 a,b 满足 4)( 2 2 lim   baxx x , 则       nn nn n ba aba 21 11 lim ( ) A.0 B. 4 1 C. 2 1 D.1 【答案】:B 【分析】: 2 2 1( ) 4 4 2 4 2 .2limx ax ax b a b a b b            1 1 1 1 1( ) ( ) 12 2 .1 1 12 4( ) 2 ( ) 22 lim lim lim n n n n n n n nn n n a aa aa ab b b aa b a b a              D C B A (9)已知定义域为 R 的函数 f(x)在 ),8(  上为减函数,且函数 y=f(x+8)函数为偶函数, 则( ) A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 【答案】:D 【分析】:y=f(x+8)为偶函数, ( 8) ( 8).f x f x     即 ( )y f x 关于直线 8x  对称。 又 f(x)在 ),8(  上为减函数,故在 ( ,8) 上为增函数, 检验知选 D。 (10)如图,在四边形 ABCD 中,| | | | | | 4, 0,AB BD DC AB BD BD DC                 4|||||||| DCBDBDAB ,则   ACDCAB )( 的值为( ) A.2 B. 22 C.4 D. 24 【答案】:C 【分析】: 2( ) ( ) ( ) (| | | |) .AB DC AC AB DC AB BD DC AB DC                   | | | | | | 4, | | | | 2. | |(| | | |) 4, AB BD DC AB DC BD AB DC                    ( ) 4.AB DC AC        二、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,把答案填写在答题卡相应位置上 (11)复数 32 2 i i  的虚部为________. 【答案】: 4 5 【分析】: 3 2 2 2 (2 ) 2 4 2 4 .2 2 5 5 5 5 i i i i i ii i          (12)已知 x,y 满足       1 42 1 x yx yx , 则函数 z = x+3y 的最大值是________. 【答案】:7 【分析】:画出可行域,当直线过点(1,2)时, max 1 6 7.z    (13)若函数 f(x) = 2 22 1x ax a   的定义域为 R,则 a 的取值范围为_______. 【答案】: 1 0 , 【分析】: 2 2 02 1 2x ax a    恒成立, 2 2 0x ax a    恒成立, 2(2 ) 4 0 ( 1) 0 1 0.a a a a a           (14)设{ na }为公比 q>1 的等比数列,若 2004a 和 2005a 是方程 24 8 3 0x x   的两根, 则  20072006 aa __________. 【答案】:18 【分析】: 2004a 和 2005a 是方程 24 8 3 0x x   的两根,故有: 2004 2005 1 2 3 2 a a     或 2004 2005 3 2 1 2 a a     (舍)。 3.q  2 2 2006 2007 2005 3( ) (3 3 ) 18.2a a a q q       (15)某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选, 则不同的选课方案有___________种。(以数字作答) 【答案】:25 【分析】:所有的选法数为 4 7C ,两门都选的方法为 2 2 2 5C C 。 故共有选法数为 4 2 2 7 2 5 35 10 25.C C C    (16)过双曲线 422  yx 的右焦点 F 作倾斜角为 0105 的直线,交双曲线于 P、Q 两点, 则|FP| |FQ|的值为__________. 【答案】: 8 3 3 【分析】: (2 2,0),F 0tan105 (2 3).k     : (2 3)( 2 2).l y x     代入 422  yx 得: 2(6 4 3) 4 2(7 4 3) 60 32 3 0.x x      设 1 1 2 2 1 2 1 2 4 2(7 4 3) 60 32 3( , ), ( , ). , . 6 4 3 6 4 3 P x y Q x y x x x x        又 2 2 1 2| | 1 | 2 2 |,| | 1 | 2 2 |,FP k x FQ k x      2 1 2 1 2| | | | (1 ) | 2 2( ) 8| 60 32 3 16(7 4 3)(8 4 3) | 8| 6 4 3 6 4 3 (8 4 3)( 4) 8 3 .36 4 3 FP FQ k x x x x                   三、解答题:本大题共6小题,共 76 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 13 分)设 f (x) = xx 2sin3cos6 2  (1)求 f(x)的最大值及最小正周期; (9 分) (2)若锐角 满足 323)( f ,求 tan  5 4 的值。(4 分) 解:(Ⅰ) 1 cos2( ) 6 3sin 22 xf x x  3cos2 3sin 2 3x x   3 12 3 cos2 sin 2 32 2x x        2 3 cos 2 36x       . 故 ( )f x 的最大值为 2 3 3 ;最小正周期 2 2T    . (Ⅱ)由 ( ) 3 2 3f    得 2 3 cos 2 3 3 2 36         ,故 cos 2 16        . 又由 0 2    得 26 6 6        ,故 2 6     ,解得 5 12    . 从而 4tan tan 35 3    . (18)(本小题满分 13 分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司 缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元 的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率 分别为 1 1 1, , ,9 10 11 且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (1)获赔的概率;(4 分) (2)获赔金额 的分别列与期望。(9 分) 解:设 kA 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, 1 2 3k  ,,.由题意知 1A , 2A , 3A 独立, 且 1 1( ) 9P A  , 2 1( ) 10P A  , 3 1( ) 11P A  . (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为 1 2 3 1 2 3 8 9 10 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 9 10 11 11P A A A P A P A P A        . (Ⅱ) 的所有可能值为 0 ,9000 ,18000 , 27000 . 1 2 3 1 2 3 8 9 10 8( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 11 11P P A A A P A P A P A        , 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 9000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A     1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A   1 9 10 8 1 10 8 9 1 9 10 11 9 10 11 9 10 11          242 11 990 45   , 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 18000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A     1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A   1 1 10 1 9 1 8 1 1 9 10 11 9 10 11 9 10 11          27 3 990 110   , 1 2 3 1 2 3( 27000) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A    1 1 1 1 9 10 11 990     . 综上知, 的分布列为  0 9000 18000 27000 P 8 11 11 45 3 110 1 990 求 的期望有两种解法: 解法一:由 的分布列得 8 11 3 10 9000 18000 2700011 45 110 990E         29900 2718.1811  ≈ (元). 解法二:设 k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, 1 2 3k  ,,, 则 1 有分布列 1 0 9000 P 8 9 1 9 故 1 19000 10009E    . 同理得 2 19000 90010E    , 3 19000 818.1811E    . 综上有 1 2 3 1000 900 818.18 2718.18E E E E          (元). (19)(本小题满分 13 分)如图,在直三棱柱 ABC— 111 CBA 中, 1 2,AA  AB = 1, 090ABC  ;点 D、E 分别在 D、ABB 11 上,且 DAEB 11  , 四棱锥 1ABDAC  与直三棱柱的体积之比为 3:5。 (1)求异面直线 DE 与 11CB 的距离;(8 分) (2)若 BC = 2 ,求二面角 111 BDCA  的平面角的正切值。(5 分) 解法一:(Ⅰ)因 1 1 1 1B C A B ,且 1 1 1B C BB ,故 1 1B C  面 1 1A ABB , 从而 1 1 1B C B E ,又 1B E DE ,故 1B E 是异面直线 1 1B C 与 DE 的公垂线. 设 BD 的长度为 x ,则四棱椎 1C ABDA 的体积 1V 为 11 1 1 1 1( ) ( 2)3 6 6ABDAV S BC DB A A AB BC x BC    · · · · . 而直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 2V 为 2 1 1 1 2ABCV S AA AB BC AA BC  △ · · · . 由已知条件 1 2: 3:5V V  ,故 1 3( 2)6 5x   ,解之得 8 5x  . 从而 1 1 8 22 5 5B D B B DB     . 在直角三角形 1 1A B D 中, 2 2 2 1 1 1 1 2 291 5 5A D A B B D         , 又因 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2A B DS A D B E A B B D △ · · , 故 1 1 1 1 1 2 29 29 A B B DB E A D  · . (Ⅱ)如答(19)图 1,过 1B 作 1 1B F C D ,垂足为 F ,连接 1A F ,因 1 1 1 1A B B C , A B C DE 1B 1C1A 答(19)图 1 F 1 1 1A B B D ,故 1 1A B  面 1 1B DC . 由三垂线定理知 1 1C D A F ,故 1 1A FB 为所求二面角的平面角. 在直角 1 1C B D△ 中, 2 2 2 1 1 1 1 2 3 62 5 5C D B C B D         , 又因 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2C B DS C D B F B C B D △ · · , 故 1 1 1 1 1 2 3 9 B C B DB F C D  · ,所以 1 1 1 1 1 3 3tan 2 A BA FB B F   . 解法二: (Ⅰ)如答(19)图 2,以 B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz ,则 (0 0 0)B ,, , 1(0 0 2)B ,, , (01 0)A ,, , 1(01 2)A ,, ,则 1 (0 0 2)AA  ,, , (0 1 0)AB   , , . 设 1( 0 2)C a,, ,则 1 1 ( 0 0)B C a ,, , 又设 0 0(0 )E y z, , ,则 1 0 0(0 2)B E y z  , , , 从而 1 1 1 0B C B E    ,即 1 1 1B E B C  . 又 1 1B E DA  ,所以 1B E 是异面直线 1 1B C 与 DE 的公垂线. 下面求点 D 的坐标. 设 (0 0 )D z,, ,则 (0 0 )BD z  ,, . 因四棱锥 1C ABDA 的体积 1V 为 11 1 1 1 ( )3 6ABDAV S BC BD AA AB BC          1 ( 2) 16 z BC     . 而直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 2V 为 2 1 1 1 2ABCV S AA AB BC AA BC         △ . 由已知条件 1 2: 3:5V V  ,故 1 3( 2)6 5z   ,解得 8 5z  ,即 80 0 5D     ,, . 从而 1 20 0 5DB       ,, , 1 201 5DA       ,, , 0 0 80 5DE y z      , , . 接下来再求点 E 的坐标. 由 1 1B E DA ,有 1 1 0B E DA    ,即 0 0 2 ( 2) 05y z   (1) A ( )B O C DE 1B 1C1A 答(19)图 2 y x z F 又由 1DA DE  ∥ 得 0 0 8 5 21 5 zy   . (2) 联立(1),(2),解得 0 4 29y  , 0 48 29z  ,即 4 480 29 29E      , , ,得 1 4 100 29 29B E       , , . 故 2 2 1 4 10 2 29 29 29 29B E              . (Ⅱ)由已知 2BC  ,则 1( 2 0 2)C ,, ,从而 1 2( 2 0 )5DC  ,, ,过 1B 作 1 1B F C D , 垂足为 F ,连接 1A F , 设 1 1( 0 )F x z,, ,则 1 1 1( 0 2)B F x z  ,, ,因为 1 1 0B F DC    ,故 1 1 2 42 05 5x z   ……………………………………① 因 1 1 80 5DF x z      ,, 且 1DF DC  ∥ 得 1 1 8 5 22 5 zx   ,即 1 1 2 82 2 05 5x z   ……………………………………② 联立①②解得 1 2 227x  , 1 44 27z  ,即 2 442 027 27F      ,, . 则 1 2 102 127 27A F        , , , 1 2 102 027 27B F       ,, . 2 2 1 2 2 10 2 3| | 27 27 9B F               . 又 1 1 2 10 22 2 ( 1) 0 027 27 5A F DC           ,故 1 1A F DC , 因此 1 1A FB 为所求二面角的平面角.又 1 1 (0 1 0)A B   , , ,从而 1 1 1 0A B B F    , 故 1 1A B  1B F , 1 1A B F△ 为直角三角形,所以 1 1 1 1 1 | | 3 3tan 2| | A BA FB B F     . (20)(本小题满分 13 分) 已知函数 cbxxaxxf  44 ln)( (x>0)在 x = 1 处取得极值–3–c,其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值;(6 分) (2)讨论函数 f(x)的单调区间;(4 分) (3)若对任意 x>0,不等式 22)( cxf  恒成立,求 c 的取值范围。(3 分) 解:(I)由题意知 (1) 3f c   ,因此 3b c c    ,从而 3b   . 又对 ( )f x 求导得 3 4 31( ) 4 ln 4f x ax x ax bxx     3 (4 ln 4 )x a x a b   . 由题意 (1) 0f   ,因此 4 0a b  ,解得 12a  . (II)由(I)知 3( ) 48 lnf x x x  ( 0x  ),令 ( ) 0f x  ,解得 1x  . 当 0 1x  时, ( ) 0f x  ,此时 ( )f x 为减函数; 当 1x  时, ( ) 0f x  ,此时 ( )f x 为增函数. 因此 ( )f x 的单调递减区间为 (01), ,而 ( )f x 的单调递增区间为 (1 ),∞ . (III)由(II)知, ( )f x 在 1x  处取得极小值 (1) 3f c   ,此极小值也是最小值, 要使 2( ) 2f x c≥ ( 0x  )恒成立,只需 23 2c c  ≥ . 即 22 3 0c c  ≥ ,从而 (2 3)( 1) 0c c  ≥ ,解得 3 2c≥ 或 1c ≤ . 所以 c 的取值范围为 3( 1] 2       , , . (21)(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列{ na }的前 n 项和满足 1 1S  ,且 *),2)(1(6 NnaaS nnn  (1)求{ na }的通项公式;(5 分) (2)设数列{ nb }满足 1)12( nb na ,并记 nT 为{ nb }的前 n 项和, 求证: * 2 ),3(log13 NnaT nn  . (7 分) (I)解:由 1 1 1 1 1 ( 1)( 2)6a S a a    ,解得 1 1a  或 1 2a  ,由假设 1 1 1a S  ,因此 1 2a  , 又由 1 1 1 1 1 1( 1)( 2) ( 1)( 2)6 6n n n n n n na S S a a a a           , 得 1 1( )( 3) 0n n n na a a a     , 即 1 3 0n na a    或 1n na a   ,因 0na  ,故 1n na a   不成立,舍去. 因此 1 3n na a   ,从而 na 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 na 的通项为 3 1na n  . (II)证法一:由 (2 1) 1nb na   可解得 2 2 2 1 3log 1 log 3 1n nb a n        ; 从而 1 2 2 3 6 3log 2 5 3 1n n nT b b b n            . 因此 3 2 2 3 6 3 23 1 log ( 3) log 2 5 3 1 3 2n n nT a n n            . 令 33 6 3 2( ) 2 5 3 1 3 2 nf n n n         ,则 3 2 2 ( 1) 3 2 3 3 (3 3) ( ) 3 5 3 2 (3 5)(3 2) f n n n n f n n n n n            . 因 3 2(3 3) (3 5)(3 2) 9 7 0n n n n       ,故 ( 1) ( )f n f n  . 特别地 27( ) (1) 120f n f  ≥ ,从而 2 23 1 log ( 3) log ( ) 0n nT a f n     . 即 23 1 log ( 3)n nT a   . 证法二:同证法一求得 nb 及 nT , 由二项式定理知,当 0c  时,不等式 3(1 ) 1 3c c   成立. 由此不等式有 3 3 3 2 1 1 13 1 log 2 1 1 12 5 3 1nT n                     2 3 3 3log 2 1 1 12 5 3 1n                 2 2 2 5 8 3 2log 2 log (3 2) log ( 3)2 5 3 1 n n n an     ··· · . 证法三:同证法一求得 nb 及 nT . 令 3 6 3 4 7 3 1 2 5 3 1 3 6 3n n n nA Bn n   ,·· · ·· · , 5 8 3 2 4 7 3 1n nC n  ·· · . 因 3 3 1 3 2 3 1 3 3 1 n n n n n n     .因此 2 3 +2 2n n n n nA A B C  . 从而 3 3 2 2 3 6 33 1 log 2 log 22 5 3 1n n nT An        2 2 2log 2 log (3 2) log ( 3)n n n nA B C n a     . 证法四:同证法一求得 nb 及 nT . 下面用数学归纳法证明: 23 1 log ( 3)n nT a   . 当 1n  时, 1 2 273 1 log 4T   , 2 1 2log ( 3) log 5a   , 因此 1 2 13 1 log ( 3)T a   ,结论成立. 假设结论当 n k 时成立,即 23 1 log ( 3)k kT a   . 则当 1n k  时, 1 2 1 1 2 13 1 log ( 3) 3 1 3 log ( 3)k k k k kT a T b a           2 2 1 1log ( 3) log ( 3) 3k k ka a b      3 2 2 (3 3)log (3 5)(3 2) k k k    因 3 2(3 3) (3 5)(3 2) 9 7 0k k k k       .故 3 2 2 (3 3)log 0(3 5)(3 2) k k k    . 从而 1 2 13 1 log ( 3)k kT a    .这就是说,当 1n k  时结论也成立. 综上 23 1 log ( 3)n nT a   对任何 n +N 成立. (22) (本小题满分 12 分)如图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3,0), 右准线 l 的方程为:x = 12。 (1)求椭圆的方程;(4 分) (2)在椭圆上任取三个不同点 321 ,, PPP ,使 133221 FPPFPPFPP  , 证明: || 1 || 1 || 1 321 FPFPFP  为定值,并求此定值。(8 分) 解:(I)设椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   . 因焦点为 (3 0)F , ,故半焦距 3c  . 又右准线l 的方程为 2ax c  ,从而由已知 2 212 36a ac  , , 因此 6a  , 2 2 27 3 3b a c    . 故所求椭圆方程为 2 2 136 27 x y  . (II)记椭圆的右顶点为 A ,并设 i iAFP   (i  1,2,3),不失一般性, 假设 1 20 3  ≤ ,且 2 1 2 3     , 3 1 4 3     . 又设点 iP 在l 上的射影为 iQ ,因椭圆的离心率 1 2 ce a   ,从而有 2 cosi i i i i aFP PQ e c FP ec         1 (9 cos )2 i iFP   ( 1 2 3)i  ,, . 解得 1 2 11 cos9 2 i iFP      ( 1 2 3)i  ,, . 因此 O F 3P 1P x l 2P y 答(22)图 1Q A 1 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 43 cos cos cos9 2 3 3FP FP FP                            , 而 1 1 1 2 4cos cos cos3 3                 1 1 1 1 1 1 3 1 3cos cos sin cos sin 02 2 2 2           , 故 1 2 3 1 1 1 2 3FP FP FP    为定值.