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- 2021-06-16 发布
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4.5反函数的概念
一、教学内容分析
“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系,通过对这一节课的学习,既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法,又可使学生加深对函数基本概念的理解,还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用
二、教学目标设计
(1)理解反函数的概念,并能判定一个函数是否存在反函数;
(2)掌握求反函数的基本步骤,并能理解原函数和反函数之间的内在联系;
(3)通过反函数概念的引入;函数及其反函数图像特征的主动探索,初步学会自主地学习、独立地探究问题;掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法;体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐,激发学习热情.
三、教学重点与难点:
反函数的概念及求法;反函数的图像特征;反函数定义域的确定.
四、教学流程设计
引导探索研究
例题巩固概念
创设情景引入
练习巩固反馈
总结归纳提升
五、教学过程设计
1、设置情境,引出概念[来
引例:在两种温度度量制摄氏度()和华氏度()相互转化时会发现,有时两人选用相同的数据,如下表,所建立的函数关系和作出的图像完全不同,这是为什么呢?
0[
20
35
100
115
32
68[
95
212
239
教师点拨:指导学生观察上面两个函数的异同,引出反函数的定义.介绍反函数的记号;了解表示反函数的符号,表示对应法则.
2、 探索研究,深化概念
①探求反函数成立的条件.
例1(1)()的反函数是
(2)()的反函数是
(3)()的反函数是
学生活动:讨论函数反函数成立的条件(理论根据为函数的定义):对值域中任意一个值,在定义域中总有唯一确定的值与它对应,即与必须一一对应.
②探求求反函数的方法.(课本例题)
例2.求下列函数的反函数:
(1)(2)(3)
(4)
[说明]:学生分四组完成,教师巡视,把典型错误及正确解法投影.
学生活动:探求求反函数的方法.
(1) 变形:解方程得;
(2) 互换:互换的位置,得;
(3)写出定义域:注明反函数的定义域
③观察反函数的图像,探讨互为反函数的两个函数的关系.
例3:在同一坐标下,画出例2中的函数及其反函数的图像.(在几何画板中显示)
教师点拨:指导学生观察函数及其反函数的图像,结合反函数的定义,探讨函数及其反函数之间的关系.
学生活动:探讨互为反函数的两个函数的关系.
①从函数角度看:若函数有反函数,则 的反函数是,即和互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.
②从函数图像看:原函数和反函数图像关于对称.
③从单调性来看:原函数和反函数均为单调函数,他们具有相同的单调性.
3、例题分析,巩固方法:
(1)课本练习4.5
(2)补充练习:
1、给出下列几个函数:①;②
③ ④其中不存在反函数的函数序号是 ②、④ [来
2、若指数函数的反函数的图像经过点(2,-1),则此指数函数为 ( A )
(A) (B) (C) (D)
3、设,则 ( D )
(A)在(上是增函数 (B)在(上是减函数
(C)在上是减函数 (D)在(上是增函数
4、若函数是函数的反函数,则的图像为 ( B )
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
A B C D
5、反函数是 ( B )
(A) (B)
(C) (D)
6、若有反函数且它的反函数就是本身,求应满足的条件.
解:由,得.由,知.
所以函数的反函数为.
由于函数的反函数就是函数本身,即有
,且.
于是,解得,或,为任意实数.
教师点拨:提出两个问题:①什么样的一次函数,它的反函数正好是它本身?②除了一次函数外,是否还存在其它函数,满足反函数就是它本身?(等)
4、课堂小结
①反函数的概念及求法;
②函数及其反函数的关系;
5、作业布置
练习册4.5 A组
六、教学设计说明
1.反函数概念比较抽象,不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同,得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数,这样使学生对反函数有一个初步的认识.
2.在此基础上,引出反函数的一般概念,使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数的反函数存在的条件——“对值域中任意一个值,在定义域中总有唯一确定的值与它对应”.
3.通过学生对课本例题的练习,发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评,让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数有反函数,则的反函数是,即和互为反函数,并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.
4.通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像,让学生掌握互换的几何意义,了解原函数和反函数图像关于对称,从而巩固对反函数概念的理解.
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