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  • 2021-06-16 发布

上海教育高中数学一下反函数的概念

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‎4.5反函数的概念 一、教学内容分析 ‎“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系,通过对这一节课的学习,既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法,又可使学生加深对函数基本概念的理解,还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用 二、教学目标设计 ‎(1)理解反函数的概念,并能判定一个函数是否存在反函数;‎ ‎ (2)掌握求反函数的基本步骤,并能理解原函数和反函数之间的内在联系;‎ ‎(3)通过反函数概念的引入;函数及其反函数图像特征的主动探索,初步学会自主地学习、独立地探究问题;掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法;体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐,激发学习热情.‎ 三、教学重点与难点:‎ 反函数的概念及求法;反函数的图像特征;反函数定义域的确定.‎ 四、教学流程设计 引导探索研究 例题巩固概念 创设情景引入 练习巩固反馈 总结归纳提升 五、教学过程设计 ‎1、设置情境,引出概念[来 引例:在两种温度度量制摄氏度()和华氏度()相互转化时会发现,有时两人选用相同的数据,如下表,所建立的函数关系和作出的图像完全不同,这是为什么呢? ‎ ‎0[‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎100‎ ‎115‎ ‎32‎ ‎68[‎ ‎95‎ ‎212‎ ‎239‎ 教师点拨:指导学生观察上面两个函数的异同,引出反函数的定义.介绍反函数的记号;了解表示反函数的符号,表示对应法则. ‎ ‎2、 探索研究,深化概念 ‎①探求反函数成立的条件.‎ 例1(1)()的反函数是 ‎ ‎ (2)()的反函数是 ‎ ‎ (3)()的反函数是 ‎ 学生活动:讨论函数反函数成立的条件(理论根据为函数的定义):对值域中任意一个值,在定义域中总有唯一确定的值与它对应,即与必须一一对应.‎ ‎②探求求反函数的方法.(课本例题)‎ 例2.求下列函数的反函数:‎ ‎(1)(2)(3)‎ ‎(4)‎ ‎[说明]:学生分四组完成,教师巡视,把典型错误及正确解法投影.‎ 学生活动:探求求反函数的方法.‎ (1) 变形:解方程得;‎ (2) 互换:互换的位置,得;‎ ‎(3)写出定义域:注明反函数的定义域 ‎③观察反函数的图像,探讨互为反函数的两个函数的关系.‎ 例3:在同一坐标下,画出例2中的函数及其反函数的图像.(在几何画板中显示)‎ ‎ ‎ 教师点拨:指导学生观察函数及其反函数的图像,结合反函数的定义,探讨函数及其反函数之间的关系.‎ 学生活动:探讨互为反函数的两个函数的关系.‎ ‎①从函数角度看:若函数有反函数,则 的反函数是,即和互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.‎ ‎②从函数图像看:原函数和反函数图像关于对称.‎ ‎③从单调性来看:原函数和反函数均为单调函数,他们具有相同的单调性. ‎ ‎3、例题分析,巩固方法:‎ ‎(1)课本练习4.5‎ ‎(2)补充练习:‎ ‎1、给出下列几个函数:①;② ‎ ‎③ ④其中不存在反函数的函数序号是 ②、④  [来 ‎2、若指数函数的反函数的图像经过点(2,-1),则此指数函数为  ( A )‎ ‎  (A)  (B) (C)  (D)‎ ‎3、设,则 ( D ) ‎ ‎ (A)在(上是增函数 (B)在(上是减函数 ‎ ‎ (C)在上是减函数    (D)在(上是增函数 ‎4、若函数是函数的反函数,则的图像为 ( B )‎ ‎ ‎x x x x y y y y O O O O ‎ A B C D ‎5、反函数是 ( B )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎6、若有反函数且它的反函数就是本身,求应满足的条件.‎ 解:由,得.由,知.‎ 所以函数的反函数为.‎ 由于函数的反函数就是函数本身,即有 ‎,且.‎ 于是,解得,或,为任意实数.‎ 教师点拨:提出两个问题:①什么样的一次函数,它的反函数正好是它本身?②除了一次函数外,是否还存在其它函数,满足反函数就是它本身?(等)‎ ‎4、课堂小结 ①反函数的概念及求法; ‎ ②函数及其反函数的关系;‎ ‎5、作业布置 练习册‎4.5 A组 六、教学设计说明 ‎1.反函数概念比较抽象,不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同,得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数,这样使学生对反函数有一个初步的认识.‎ ‎2.在此基础上,引出反函数的一般概念,使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数的反函数存在的条件——“对值域中任意一个值,在定义域中总有唯一确定的值与它对应”.‎ ‎3.通过学生对课本例题的练习,发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评,让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数有反函数,则的反函数是,即和互为反函数,并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.‎ ‎4.通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像,让学生掌握互换的几何意义,了解原函数和反函数图像关于对称,从而巩固对反函数概念的理解.‎