2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1 7页

www.ks5u.com 课时分层作业(五)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(　　)‎ A．a＝3，b＝－3　　 B．a＝6，b＝－1‎ C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1‎ C　[根据题意＝(1，－1,3)，＝(a－1，－2，b＋4)，‎ ‎∵与共线，∴＝λ，‎ ‎∴(a－1，－2，b＋4)＝(λ，－λ，3λ)，‎ ‎∴解得故选C.]‎ ‎2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)‎ A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)‎ C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)‎ B　[由题a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，设x＝(w，y，z)‎ 则由b＝x－2a，可得(－4，－3，－2)＝(w，y，z)－2(2,3，－4)＝－(4,6，－8)＝，解得w＝0，y＝6，z＝－20，即x＝(0,6，－20)．]‎ ‎3．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)‎ C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)‎ B　[不妨设向量为b＝(x，y，z)，‎ A．若b＝(－1,1,0)，则cos θ＝＝＝－≠，不满足条件．‎ B．若b＝(1，－1,0)，则cos θ＝＝＝，满足条件．‎ C．若b＝(0，－1,1)，则cos θ＝＝＝－≠，不满足条件．‎ D．若b＝(－1,0,1)，则cos θ＝＝＝－1≠，不满足条件．故选B.]‎ ‎4．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．3 D．－3‎ A　[∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.]‎ ‎5．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若⊥，则λ等于(　　)‎ A．28 B．－28‎ C．14 D．－14‎ D　[＝(－2，－6，－2)，＝(－1，6，λ－3)，‎ ‎∵⊥，∴·＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.]‎ 二、填空题 ‎6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.‎ ‎－1　[∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，‎ ‎∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]‎ ‎7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．‎ ‎120°　[＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ ‎∴θ＝〈，〉＝120°.]‎ ‎8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1‎ 上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．‎ ‎1　[以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，‎ ‎∴＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，若B1E⊥平面ABF，‎ 只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．‎ ‎[解]　(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，‎ 又|a|＝＝，|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.‎ ‎(2)法一：∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，‎ ‎∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－，‎ ‎∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.‎ 法二：由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，‎ ‎∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.‎ ‎10.已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1‎ 分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎(1)求正三棱柱的侧棱长；‎ ‎(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)设正三棱柱的侧棱长为h，‎ 由题意得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，‎ 则＝(，1，h)，＝(－，1，h)，‎ 因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0，‎ 所以h＝.‎ ‎(2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1,0)，‎ 所以·＝－3＋1＝－2.‎ 因为||＝，||＝2，所以cos〈，〉＝＝－.‎ 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.‎ ‎11．(多选题)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是(　　)‎ A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b|‎ AD　[∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，‎ ‎∴|a|＝，|b|＝，‎ a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，‎ cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ 由上知A正确，B不正确，D正确．C显然也不正确．]‎ ‎12．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A．　　　B．　　　C．　　D． C　[建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.]‎ ‎13．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.‎ ‎(－64，－26，－17)　[∵a，b，c两两垂直．‎ ‎∴a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，‎ ‎∴，‎ 解得：x＝－64，y＝－26，z＝－17.‎ 故(x，y，z)＝(－64，－26，－17)．]‎ ‎14．(一题两空)已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当||＝||时，点P的坐标为________；当·＝0取最小值时，点P的坐标为________．‎ 　　[因为P在x轴上，设P(x,0,0)，由||＝||，则( x－1)2＋4＋0＝x2＋1＋1解得x＝.‎ ‎∴点P的坐标为，又＝(x－1，－2,0)，＝(x，－1,1)．‎ ·＝x(x－1)＋2＝＋，‎ ‎∴当x＝时，·取最小值，此时点P的坐标为.]‎ ‎15.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长．‎ ‎[解]　如图，连接BD交AC于点O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，‎ 又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 因为OC＝CDcos ＝1，AC＝4，所以AO＝AC－OC＝3，又OB＝OD＝CDsin ＝，故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)．‎ 由PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，其中z>0.‎ 由F为PC的中点，得F，所以＝，＝(，3，－z)．‎ 又AF⊥PB，所以·＝0，‎ 即6－＝0，‎ 解得z＝2或z＝－2(舍去)．所以＝(0,0，－2)，则||＝2.‎ 所以PA的长为2.‎