- 1.82 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
专题 1 函数 (理科)
一、考点回顾
1.理解函数的概念,了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数 .
4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
二、经典例题剖析
考点一:函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理
解上下功夫.
复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断
和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深
化.具体要求是:
1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,
能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.
2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总
结求函数最大值和最小值的常用方法.
3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问
题的能力.
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解.
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区
间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单
调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.
对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义
域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具
备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a对称的充要条件是对定义域内的任
意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方
法解决问题,是对学生能力的较高要求.
函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意
以下方面。
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.
2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题.
3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.
4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力.
以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节的
重点.
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线
连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究
要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种
函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点.
例 1设 a>0,求函数 )ln()( axxxf (x∈(0,+∞))的单调区间.
分析:欲求函数的单调区间,则须解不等式 ( ) 0f x (递增)及 ( ) 0f x (递减)。
解: )0(1
2
1)(
x
axx
xf .
当 a>0,x>0时
f (x)>0x2+(2a-4)x+a2>0,
f (x)<0x2+(2a-4)x+a2<0.
(ⅰ)当 a > 1时,对所有 x > 0,有
x2+(2a-4)x+a2>0,
即 f (x)>0,此时 f(x)在(0,+∞)内单调递增.
(ⅱ)当 a=1时,对 x≠1,有
x2+(2a-4)x+a2>0,
即 f (x)>0,此时 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递增.
又知函数 f(x)在 x=1处连续,因此,函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增.
(ⅲ)当 0<a<1时,令 f (x)>0,即
x2+(2a-4)x+a2>0,
解得 aax 122 ,或 aax 122 .
因此,函数 f(x)在区间 ), aa 1220( 内单调递增,在区间 ), aa 122( 内也单调递
增.
令 f (x)<0,即 x2+(2a-4)x+a2 < 0,
解得 : aaxaa 122122 .
因此,函数 f(x)在区间 ), aaaa 122122( 内单调递减.
点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
例 2 已 知 0a , 函 数 ),0(,1)(
x
x
axxf 。 设
a
x 20 1 , 记 曲 线 )(xfy 在 点
))(,( 11 xfxM 处的切线为 l。
(Ⅰ)求 l的方程;
(Ⅱ)设 l与 x轴交点为 )0,( 2x 。证明:
①
a
x 10 2 ;
② 若
a
x 1
1 ,则
a
xx 1
21
(Ⅰ)分析:欲求切线 l的方程,则须求出它的斜率,根据切线斜率的几何意义便不难发现,问题归结为求
曲线 )(xfy 在点 ))(,( 11 xfxM 的一阶导数值。
解:求 )(xf 的导数: 2
' 1)(
x
xf ,由此得切线 l的方程:
)(1)
1
( 12
1
1 xx
xx
ax
y
。
(Ⅱ)分析:①要求 2x 的变化范围,则须找到使 2x 产生变化的原因,显然, 2x 变化的根本原因可归结为 1x 的
变化,因此,找到 2x 与 1x 的等量关系式,就成;② 欲比较 2x 与 1x 的大小关系,判断它们的差的符号即
可。
证:依题意,切线方程中令 y=0,
a
xaxxxaxxx 20)2()1( 1111112 ,其中 .
1 由
aa
xaxxaxxx
a
x 1)1(,0),2(,20 2
1221121 及有
a
x
a
x
a
x 11,10 212 时,当且仅当〈 .
②
a
xxaxxxax
a
x 1)2(11
2111211 ,且由①,,因此,时,当
a
xx 1
21 所以 。
点评:本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法,考查不等式的基本性质,以及分析和解决问题的
能力。
例 3、 函数 y=1-
1
1
x
的图象是( )
解析一:该题考查对 f(x)=
x
1
图象以及对坐标平移公式的理解,将函数 y=
x
1
的图形变形到 y=
1
1
x
,
即向右平移一个单位,再变形到 y=-
1
1
x
即将前面图形沿 x轴翻转,再变形到 y=-
1
1
x
+1,从而
得到答案 B.
解析二:可利用特殊值法,取 x=0,此时 y=1,取 x=2,此时 y=0.因此选 B.
答案:B
点评:1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为:先判断出函数的标准模型,并用换元
法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二:二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数,
可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机
联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以
编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,
是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出
现,也就不足为奇了.
学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的
代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形
的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例 4 设 二 次 函 数 f x ax bx c a 2 0 , 方 程 f x x 0 的 两 个 根 x x1 2, 满 足
0
1
1 2 x x
a
. 当 x x 0 1, 时,证明 x f x x 1 .
分析:在已知方程 f x x 0两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数 xxf 的
表达式,从而得到函数 )(xf 的表达式.
证明:由题意可知 ))(()( 21 xxxxaxxf .
a
xxx 10 21 ,
∴ 0))(( 21 xxxxa ,
∴ 当 x x 0 1, 时, xxf )( .
又 )1)(())(()( 211211 axaxxxxxxxxxaxxf ,
,011,0 221 axaxaxxx 且
∴ 1)( xxf ,
综上可知,所给问题获证.
点评:本题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式 .21 xxxxay 。
例 5 已知二次函数 )0,,(1)( 2 aRbabxaxxf ,设方程 xxf )( 的两个实数根为 1x 和
2x .
(1)如果 42 21 xx ,设函数 )(xf 的对称轴为 0xx ,求证: 10 x ;
(2)如果 21 x , 212 xx ,求b的取值范围.
分析:条件 42 21 xx 实际上给出了 xxf )( 的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上
述图像特征去等价转化.
解:设 1)1()()( 2 xbaxxxfxg ,则 0)( xg 的二根为 1x 和 2x .
(1)由 0a 及 42 21 xx ,可得
0)4(
0)2(
g
g
,即
03416
0124
ba
ba
,即
,0
4
3
2
24
,0
4
3
2
33
aa
b
aa
b
两式相加得 1
2
a
b
,所以, 10 x ;
(2)由
aa
bxx 4)1()( 22
21
, 可得 1)1(12 2 ba .
又 01
21
a
xx ,所以 21 , xx 同号.
∴ 21 x , 212 xx 等价于
1)1(12
20
2
21
ba
xx
或
1)1(12
02
2
12
ba
xx
,
即
1)1(12
0)0(
0)2(
2ba
g
g
或
1)1(12
0)0(
0)2(
2ba
g
g
解之得
4
1
b 或
4
7
b .
点评:在处理一元二次方程根的问题时,考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问
题的关键。
考点三:抽象函数
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函
数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高
等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困
难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那
么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,
等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题,
(一)函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只
有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用
的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知 4;利用对称性数
形结合;5,借助特殊点,布列方程等.
(二)特殊化方法
1、在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将 x换成-x等;
2、在求函数值时,可用特殊值代入;
3、研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供
思路和方法.
总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,
采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快
感.
例 6、 A 是由定义在 ]4,2[ 上且满足如下条件的函数 )(x 组成的集合:①对任意 ]2,1[x ,都有
)2,1()2( x ; ② 存 在 常 数 )10( LL , 使 得 对 任 意 的 ]2,1[, 21 xx , 都 有
|||)2()2(| 2121 xxLxx
(Ⅰ)设 ]4,2[,1)( 3 xxx ,证明: Ax )(
(Ⅱ)设 Ax )( ,如果存在 )2,1(0 x ,使得 )2( 00 xx ,那么这样的 0x 是唯一的;
(Ⅲ)设 Ax )( ,任取 )2,1(lx ,令 ,,2,1),2(1 nxx nn 证明:给定正整数 k,对任意的正整数 p,
成立不等式 ||
1
|| 12
1
xx
L
Lxx
k
klk
解:对任意 ]2,1[x , ]2,1[,21)2( 3 xxx , 3 3 )2( x 3 5 , 2531 33 ,所以
)2,1()2( x
对任意的 ]2,1[, 21 xx ,
2
3
2
3
21
3 2
1
2121
112121
2|||)2()2(|
xxxx
xxxx
,
3 3
2
3
21
3 2
1 112121 xxxx ,
所以 0<
2
3
2
3
21
3 2
1 112121
2
xxxx 3
2
,
令
2
3
2
3
21
3 2
1 112121
2
xxxx
= L, 10 L ,
|||)2()2(| 2121 xxLxx
所以 Ax )(
反证法:设存在两个 0000 ),2,1(, xxxx 使得 )2( 00 xx , )2( 00 xx 则
由 |||)2()2(| /
00
/
00 xxLxx ,得 |||| /
00
/
00 xxLxx ,所以 1L ,矛盾,故结论
成立。
121223 )2()2( xxLxxxx ,所以 12
1
1 xxLxx n
nn
||
1
|| 12
1
1211 xx
L
Lxxxxxxxx
k
kkpkpkpkpkkpk
kkpkpkpkpk xxxxxx 1211 12
3
12
2 xxLxxL pkpk
+…
12
1 xxLk
12
1
1
xx
L
LK
点评:本题以高等数学知识为背景,与初等数学知识巧妙结合,考查了函数及其性质、不等式性质,考查
了特殊与一般、化归与转化等数学思想。
考点四:函数的综合应用
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描述了自然界中量的依
存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象
其数学特征,建立函数关系.因此,运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓,掌握有关函数知
识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法研究函数的能力,树立运用函数思想解决有关数学问
题的意识是运用函数思想的关键.
例 7设函数
2 2( ) 2 1( 0)f x tx t x t x t R, .
(Ⅰ)求 ( )f x 的最小值 ( )h t ;
(Ⅱ)若 ( ) 2h t t m 对 (0 2)t , 恒成立,求实数m的取值范围.
解:(Ⅰ) 2 3( ) ( ) 1( 0)f x t x t t t x t R , ,
当 x t 时, ( )f x 取最小值
3( ) 1f t t t ,
即
3( ) 1h t t t .
(Ⅱ)令 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m ,
由
2( ) 3 3 0g t t 得 1t , 1t (不合题意,舍去).
当 t变化时 ( )g t , ( )g t 的变化情况如下表:
t (0,1) 1 (1,2)
( )g t 0
( )g t 递增
极大值
1 m
递减
( )g t 在 (0 2), 内有最大值 (1) 1g m .
( ) 2h t t m 在 (0 2), 内恒成立等价于 ( ) 0g t 在 (0 2), 内恒成立,
即等价于1 0m ,
所以m的取值范围为 1m .
点评:本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题
的能力.
例 8甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽车每
小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,
比例系数为 b;固定部分为 a元.
① 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;
② 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最
小值.
解:(读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间,
(建模)有 y=(a+bv 2 )
S
v
(解题)所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数关系式是:
y=S(
a
v
+bv),其中函数的定义域是 v∈(0,c] .
整理函数有 y=S(
a
v
+bv)=S(v+
a
b
v
),
由函数 y=x+
k
x
(k>0)的单调性而得:
当
a
b
<c时,则 v=
a
b
时,y取最小值;
当
a
b
≥c时,则 v=c时,y取最小值.
综上所述,为使全程成本 y 最小,当
a
b
<c 时,行驶速度应为 v=
a
b
;当
a
b
≥c时,行驶速度
应为 v=c.
点评:1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值
或最小值,其中要特别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度 v的范围,一旦忽视,将出现解答不完整.此
种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型.
方法总结与 2008年高考预测
(一)方法总结
本专题主要思想方法:
1. 数形结合
2. 分类讨论
3. 函数与方程
(二)2008年高考预测
1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题,从试题上看,抽象函数和具体函数都有,有向抽象函数发展
的趋势,另外试题注重对转化思想的考查,且都综合地考查单调性与奇偶性.
2.考查与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变换、伸缩变换、对
称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结合思想来解题的能力.
3.考查与反函数有关的试题,大多是求函数的解析式,定义域、值域或函数图象等,一般不需求出反
函数,只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.
4.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查,大多以基本函数的性质为依
托,结合运算推理来解决.
5加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题,引进变量建立函数,运用变化的
方法、观点解决数学试题以提高数学意识,发展能力.
6注意与导数结合考查函数的性质.
一、强化训练
(一) 选择题(12个)
1.函数
1( )xy e x R 的反函数是( )
A. 1 ln ( 0)y x x B. 1 ln ( 0)y x x
C. 1 ln ( 0)y x x D. 1 ln ( 0)y x x
2.已知
(3 1) 4 , 1
( )
log , 1a
a x a x
f x
x x
是 ( , ) 上的减函数,那么 a的取值范围是
(A) (0,1) (B) 1(0, )
3
(C) 1 1[ , )
7 3
(D) 1[ ,1)
7
3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间 (1, 2) 上的任意 1 2 1 2, ( )x x x x , 1 2 2 1| ( ) ( ) | | |f x f x x x 恒
成立”的只有
(A) 1( )f x
x
(B) | |f x x (C) ( ) 2xf x (D) 2( )f x x
4.已知 ( )f x 是周期为 2的奇函数,当0 1x 时, ( ) lg .f x x 设
6 3( ), ( ),
5 2
a f b f
5( ),
2
c f 则
(A)a b c (B)b a c (C)c b a (D)c a b
5.函数
23( ) lg(3 1)
1
xf x x
x
的定义域是
A. 1( , )
3
B. 1( ,1)
3
C. 1 1( , )
3 3
D. 1( , )
3
6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. 3 ,y x x R B. sin ,y x x R C. ,y x x R D. x1( ) ,
2
y x R
7、函数 ( )y f x 的反函数 1( )y f x 的图像与 y轴交于点
(0,2)P (如右图所示),则方程 ( ) 0f x 在 [1,4]上的根是 x
A.4 B.3 C. 2 D.1 x
y
1
2
4
3
1( )y f x
O
8、设 ( )f x 是 R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A) ( ) ( )f x f x 是奇函数 (B) ( ) ( )f x f x 是奇函数
(C) ( ) ( )f x f x 是偶函数 (D) ( ) ( )f x f x 是偶函数
9、已知函数
xy e 的图象与函数 y f x 的图象关于直线 y x 对称,则
A. 22 ( )xf x e x R B. 2 ln 2 ln ( 0)f x x x
C. 2 2 ( )xf x e x R D. 2 ln ln 2( 0)f x x x
10、设
1
2
3
2 , 2
( ) ( (2))
log ( 1) 2.
xe x
f x f f
x x
< ,
则 的值为
,
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
11、对 a,bR,记max{a,b}=
bab
baa
<,
,
,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是
(A)0 (B) 1
2
(C) 3
2
(D)3
12、关于 x的方程 2 2 2( 1) 1 0x x k ,给出下列四个命题:
①存在实数 k,使得方程恰有 2个不同的实根;
②存在实数 k,使得方程恰有 4个不同的实根;
③存在实数 k,使得方程恰有 5个不同的实根;
④存在实数 k,使得方程恰有 8个不同的实根;
其中假.命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
(二) 填空题(4个)
1. 函 数 f x 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件
12f x
f x
, 若 1 5,f 则
5f f _______________。
2设
, 0.
( )
, 0.
xe x
g x
lnx x
则
1( ( ))
2
g g __________
3.已知函数 1 ,
2 1xf x a
,若 f x 为奇函数,则 a ________。
4. 设 0, 1a a , 函 数
2( ) log ( 2 3)af x x x 有 最 小 值 , 则 不 等 式 log ( 1) 0a x 的 解 集
为 。
(三) 解答题(6个)
1. 设函数 54)( 2 xxxf .
(1)在区间 ]6,2[ 上画出函数 )(xf 的图像;
(2)设集合 ),6[]4,0[]2,(,5)( BxfxA . 试判断集合 A和 B之间的关系,并给出
证明;
(3)当 2k 时,求证:在区间 ]5,1[ 上, 3y kx k 的图像位于函数 )(xf 图像的上方.
2、设 f(x)=3ax 0.2 cbacbxb 若 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(Ⅰ)a>0且-2<
b
a
<-1;
(Ⅱ)方程 f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
3. 已知定义域为 R的函数 1
2( )
2
x
x
bf x
a
是奇函数。
(Ⅰ)求 ,a b的值;
(Ⅱ)若对任意的 t R ,不等式
2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k 恒成立,求 k的取值范围;
4.设函数 f(x)= ,2
2
aaxx
c
其中 a为实数.
(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a的取值范围;
(Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R时,求 f(x)的单减区间.
5. 已知定义在正实数集上的函数
21( ) 2
2
f x x ax ,
2( ) 3 lng x a x b ,其中 0a .设两曲线
( )y f x , ( )y g x 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a表示b,并求b的最大值;
(II)求证: ( ) ( )f x g x≥ ( 0x ).
6. 已知函数 2( ) 1f x x x , , 是方程 f(x)=0 的两个根 ( ) , '( )f x 是 f(x)的导数;设 1 1a ,
1
( )
'( )
n
n n
n
f a
a a
f a (n=1,2,……)
(1)求 , 的值;
(2)证明:对任意的正整数 n,都有 na >a;
(3)记 ln n
n
n
a
b
a a
(n=1,2,……),求数列{bn}的前 n项和 Sn。
(四) 创新试题
1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 , ,A B C的机动车辆数如图
所示,图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 、 、 的机动车辆数(假设:单位时间内,
在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则
(A) 1 2 3x x x (B) 1 3 2x x x (C) 2 3 1x x x (D) 3 2 1x x x
2. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c使得 af(x)+bf(x−c)=1对任意实数 x恒成立,则
a
cbcos
的值等于( )
A.
2
1
B.
2
1
C. −1 D. 1
解答:
一、选择题
1解:由
1xy e 得: 1 ln ,x y 即x=-1+lny ,所以 1 ln ( 0)y x x 为所求,故选 D。
2解:依题意,有 0a1且 3a-10,解得 0a
1
3
,又当 x1时,(3a-1)x+4a7a-1,当 x1时,logax0,
所以 7a-10解得 x
1
7
故选 C
3解: 2 1
1 2
1 2 1 2 1 2
x x1 1 1| | | | |x x
x x x x |x x |
-
- = = - | 1 2x x 1 2 , ( ,) 1 2x x 1
1 2
1
x x
1
1 2
1 1|
x x
- ||x1-
x2|故选 A
4解:已知 ( )f x 是周期为 2 的奇函数,当 0 1x 时, ( ) lg .f x x 设
6 4 4( ) ( ) ( )
5 5 5
a f f f ,
3 1 1( ) ( ) ( )
2 2 2
b f f f ,
5 1( ) ( )
2 2
c f f <0,∴ c a b ,选 D.
5解:由 1
3
1
013
01
x
x
x
,故选 B.
6解:B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不
是奇函数,是减函数;故选 A.
7解: 0)( xf 的根是 x 2,故选 C
8解:A中 ( ) ( ) ( )F x f x f x 则 ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x ,
即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 为偶函数,B 中 ( ) ( ) ( )F x f x f x , ( ) ( ) ( )F x f x f x 此时 ( )F x 与
( )F x 的关系不能确定,即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 的奇偶性不确定,
C 中 ( ) ( ) ( )F x f x f x , ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x ,即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 为奇函数,D 中
( ) ( ) ( )F x f x f x , ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x ,即函数 ( ) ( ) ( )F x f x f x 为偶函数,故选
择答案 D。
9解:函数
xy e 的图象与函数 y f x 的图象关于直线 y x 对称,所以 ( )f x 是
xy e 的反函数,
即 ( )f x = ln x,∴ 2 ln 2 ln ln 2( 0)f x x x x ,选 D.
10解:f(f(2))=f(1)=2,选 C
11解:当 x-1 时,|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因为(-x-1)-(2-x)=-30,所以 2-x-x
-1;当-1x 1
2
时,|x+1|=x+1,|x-2|=2-x,因为(x+1)-(2-x)=2x-10,x+12-x;当
1
2
x2
时,x+12-x;当 x2时,|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,显然 x+1x-2;
故
2 ( ( , 1)
12 ( [ 1, ))
2( )
11( [ , 2))
2
1( [2, ))
x x
x x
f x
x x
x x
据此求得最小值为
3
2
。选 C
12解:关于 x的方程 011 222 kxx 可化为 22 21 1 0 1 1x x k x x ( -) ( 或 -)…(1)
或 22 21 1 0x x k +( -) (-1x1)…………(2)
1 当 k=-2时,方程(1)的解为 3 ,方程(2)无解,原方程恰有 2个不同的实根
2
3 当 k=
1
4
时,方程(1)有两个不同的实根
6
2
,方程(2)有两个不同的实根
2
2
,即原方程恰有 4个不
同的实根
4 当 k=0时,方程(1)的解为-1,+1, 2 ,方程(2)的解为 x=0,原方程恰有 5个不同的实根
5 当 k=
2
9
时,方程(1)的解为
15
3
,
2 3
3
,方程(2)的解为
3
3
,
6
3
,即原方程恰有 8个不同的
实根
选 A
二、填空题。
1解:由
12f x
f x
得
14 ( )
2
f x f x
f x
,所以 (5) (1) 5f f ,则
1 15 ( 5) ( 1)
( 1 2) 5
f f f f
f
。
2解:
1ln
21 1 1( ( )) (ln )
2 2 2
g g g e .
3解:函数
1( ) .
2 1xf x a
若 ( )f x 为奇函数,则 (0) 0f ,即 0
1 0
2 1
a
,a=
2
1 .
4解:由 0, 1a a ,函数
2( ) log ( 2 3)af x x x 有最小值可知 a1,所以不等式 log ( 1) 0a x 可化
为 x-11,即 x2.
三、解答题
1解:(1)
(2)方程 5)( xf 的解分别是 4,0,142 和 142 ,由于 )(xf 在 ]1,( 和 ]5,2[ 上单调递
减,在 ]2,1[ 和 ),5[ 上单调递增,因此
,142]4,0[142, A .
由于 AB ,2142,6142 .
(3)[解法一] 当 ]5,1[x 时, 54)( 2 xxxf .
)54()3()( 2 xxxkxg
)53()4(2 kxkx
4
3620
2
4 22
kkkx ,
,2k 1
2
4
k . 又 51 x ,
① 当 1
2
41
k
,即 62 k 时,取
2
4 kx
,
min)(xg 6410
4
1
4
3620 2
2
kkk .
064)10(,64)10(16 22 kk ,
则 0)( min xg .
② 当 1
2
4
k
,即 6k 时,取 1x , min)(xg = 02 k .
由 ①、②可知,当 2k 时, 0)( xg , ]5,1[x .
因此,在区间 ]5,1[ 上, )3( xky 的图像位于函数 )(xf 图像的上方.
[解法二] 当 ]5,1[x 时, 54)( 2 xxxf .
由
,54
),3(
2 xxy
xky
得 0)53()4(2 kxkx ,
令 0)53(4)4( 2 kk ,解得 2k 或 18k ,
在区间 ]5,1[ 上,当 2k 时, )3(2 xy 的图像与函数 )(xf 的图像只交于一点 )8,1( ; 当 18k
时, )3(18 xy 的图像与函数 )(xf 的图像没有交点.
如图可知,由于直线 )3( xky 过点 )0,3( ,当 2k 时,直线 )3( xky 是由直线 )3(2 xy 绕
点 )0,3( 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 ]5,1[ 上, )3( xky 的图像位于函数 )(xf 图像的上方.
2(I)证明:因为 (0) 0, (1) 0f f ,所以 0,3 2 0c a b c .
由条件 0a b c ,消去b,得 0a c ;
由条件 0a b c ,消去 c,得 0a b , 2 0a b .
故 2 1b
a
.
(II)抛物线
2( ) 3 2f x ax bx c 的顶点坐标为
23( , )
3 3
b ac b
a a
,
在 2 1b
a
的两边乘以
1
3
,得
1 2
3 3 3
b
a
.
又因为 (0) 0, (1) 0,f f 而
2 2
( ) 0,
3 3
b a c acf
a a
所以方程 ( ) 0f x 在区间 (0, )
3
b
a
与 ( ,1)
3
b
a
内分别有一实根。
故方程 ( ) 0f x 在 (0,1) 内有两个实根.
3解:(Ⅰ)因为 ( )f x 是奇函数,所以 (0)f =0,即 1
1 1 20 1 ( )
2 2
x
x
b b f x
a a
又由 f(1)= -f(-1)知
111 2 2 2.
4 1
a
a a
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 1
1 2 1 1( )
2 2 2 2 1
x
x xf x
,易知 ( )f x 在 ( , ) 上
为减函数。又因 ( )f x 是奇函数,从而不等式:
2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k
等价于
2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f t t f t k f k t ,因 ( )f x 为减函数,由上式推得:
2 22 2t t k t .即对一切 t R 有:
23 2 0t t k ,
从而判别式
14 12 0 .
3
k k
解 法 二 : 由 ( Ⅰ ) 知 1
1 2( )
2 2
x
xf x
. 又 由 题 设 条 件 得 :
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
1 2 1 2 0
2 2 2 2
t t t k
t t t k
,
即 :
2 2 2 22 1 2 2 1 2(2 2)(1 2 ) (2 2)(1 2 ) 0t k t t t t t k ,
整理得
23 22 1,t t k 因底数2>1,故: 23 2 0t t k
上式对一切 t R 均成立,从而判别式
14 12 0 .
3
k k
4解:(Ⅰ) ( )f x 的定义域为R ,
2 0x ax a 恒成立,
2 4 0a a ,
0 4a ,即当0 4a 时 ( )f x 的定义域为R .
(Ⅱ) 2 2
( 2)e( )
( )
xx x af x
x ax a
,令 ( ) 0f x ≤ ,得 ( 2) 0x x a ≤ .
由 ( ) 0f x ,得 0x 或 2x a ,又 0 4a ,
0 2a 时,由 ( ) 0f x 得0 2x a ;
当 2a 时, ( ) 0f x ≥ ;当 2 4a 时,由 ( ) 0f x 得 2 0a x ,
即当0 2a 时, ( )f x 的单调减区间为 (0 2 )a, ;
当2 4a 时, ( )f x 的单调减区间为 (2 0)a , .
5解:(Ⅰ)设 ( )y f x 与 ( )( 0)y g x x 在公共点 0 0( )x y, 处的切线相同.
( ) 2f x x a ∵ ,
23( ) ag x
x
,由题意 0 0( ) ( )f x g x , 0 0( ) ( )f x g x .
即
2 2
0 0 0
2
0
0
1 2 3 ln
2
32
x ax a x b
ax a
x
,
,
由
2
0
0
32 ax a
x
得: 0x a ,或 0 3x a (舍去).
即有
2 2 2 2 21 52 3 ln 3 ln
2 2
b a a a a a a a .
令
2 25( ) 3 ln ( 0)
2
h t t t t t ,则 ( ) 2 (1 3ln )h t t t .于是
当 (1 3ln ) 0t t ,即
1
30 t e 时, ( ) 0h t ;
当 (1 3ln ) 0t t ,即
1
3t e 时, ( ) 0h t .
故 ( )h t 在
1
30 e
, 为增函数,在
1
3e
,∞ 为减函数,
于是 ( )h t 在 (0 ),∞ 的最大值为
1 2
3 33
2
h e e
.
(Ⅱ)设 2 21( ) ( ) ( ) 2 3 ln ( 0)
2
F x f x g x x ax a x b x ,
则 ( )F x
23 ( )( 3 )2 ( 0)a x a x ax a x
x x
.
故 ( )F x 在 (0 )a, 为减函数,在 ( )a ,∞ 为增函数,
于是函数 ( )F x 在 (0 ),∞ 上的最小值是 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0F a F x f x g x .
故当 0x 时,有 ( ) ( ) 0f x g x ≥ ,即当 0x 时, ( ) ( )f x g x≥ .
6解析:(1)∵ 2( ) 1f x x x , , 是方程 f(x)=0的两个根 ( ) ,
∴
1 5 1 5,
2 2
;
(2) '( ) 2 1f x x ,
2
1
1 1 5(2 1) (2 1)1 2 4 4
2 1 2 1
n n n
n n
n n n
n n
a a aa a
a a a
a a
=
5
1 14(2 1)
4 2 1 2n
n
a
a
,∵ 1 1a ,∴有基本不等式可知 2
5 1 0
2
a
(当且仅当 1
5 1
2
a
时取等号),∴
2
5 1 0
2
a
同,样 3
5 1
2
a
,……,
5 1
2na
(n=1,2,……),
(3) 1
( )( )
( 1 )
2 1 2 1
n n n
n n n
n n
a a a
a a a
a a
,而 1 ,即 1 ,
2
1
( )
2 1
n
n
n
a
a
a
,同理
2
1
( )
2 1
n
n
n
a
a
a
, 1 2n nb b ,又 1
1 3 5 3 5ln ln 2ln
1 23 5
b
3 52(2 1) ln
2
n
nS
四、 创新试题
1解:依题意,有 x1=50+x3-55=x3-5,x1x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10x1x2,同理,
x3=30+x2-35=x2-5x3x2故选 C
2解:令 c=π,则对任意的 x∈R,都有 f(x)+f(x−c)=2,于是取
2
1
ba ,c=π,则对任意的 x∈R,
af(x)+bf(x−c)=1,由此得 1cos
a
cb
。选C。
二、复习建议
基本函数:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数,它们的图象与性质是函数的基
石.求反函数,判断、证明与应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点,有单一
考查,也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点,应用函数知识解其他问题,特别是解应用题
能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力,这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数
法、数形结合法、分类讨论等,这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性,
这均符合高考试题改革的发展趋势.
特别在“函数”这一章中,数形结合的思想比比皆是,深刻理解和灵活运用这一思想方法,不仅会给
解题带来方便,而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习本章要注意:
1.深刻理解一些基本函数,如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质,对数与形的基本关系能
相互转化.
2.掌握函数图象的基本变换,如平移、翻转、对称等.
3.二次函数是初中、高中的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次
不等式有着密切的联系,要沟通这些知识之间的内在联系,灵活运用它们去解决有关问题.
4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点,复习时应适当加强这方面的训练,做到条理清楚、
分类明确、不重不漏.
5.利用函数知识解应用题是高考重点,应引起重视.
相关文档
- 高中数学第4章指数与对数课时分层2021-06-165页
- 上海教育高中数学一下反函数的概念2021-06-165页
- 2020_2021学年新教材高中数学第六2021-06-1633页
- 高中数学人教a版必修4课时达标检测2021-06-164页
- 高中数学人教版选修1-2课时自测当2021-06-161页
- 人教A高中数学必修三程序框图与算2021-06-1623页
- 人教版高中数学必修二检测:第三章直2021-06-165页
- 人教A版高中数学1-2-2函数的表示法2021-06-164页
- 高中数学人教版选修1-2课时自测当2021-06-162页
- 2020年高中数学新教材同步必修第一2021-06-1613页