2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（理） 12页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（理）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：人教A版 必修5全册+选修2-1全册 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知等比数列的公比为，那么“”是“无单调性”的( )。‎ A、充分不必要条件 B、必须不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】能推出无单调性，又无单调性时或，故选A。‎ ‎2．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∴应选B。‎ ‎3．已知椭圆()的两焦点分别为、。若椭圆上有一点，使，则的取值范围是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，，则，，∴，‎ 又，即，∴，从而，故选B。‎ ‎4．数列中，数列为等比数列且，若，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵且，∴，，…，，‎ ‎∴，‎ 又∵数列为等比数列，‎ ‎∴，故选D。‎ ‎5．的顶点分别为、、，则边上的高的长为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵、、，则，，‎ ‎∵点在直线上，∴设，‎ 则，‎ 又∵，则，解得。‎ ‎∴，则，故选C。‎ ‎6．在，，，点是的重心，则的最小值是( ) 。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】设的中点为，∵点是的重心，‎ ‎ ∴，‎ 再令，，则，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且当时取等号，故选C。‎ ‎7．已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，∴，，， ，设点，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ 则，，‎ ‎∴，∴，故选C。‎ ‎8．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图建系，则，，，，‎ 设点，，，则，‎ ‎，则，‎ 设点，，，‎ 则，，则，‎ ‎∴，‎ 则当且仅当、时，线段长度取最小值是，故选C。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．已知，下列四个条件中，使成立的既不充分也不必要的条件是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】CD ‎【解析】A选项：，但不能，则是的充分而不必要条件，‎ ‎ 例：，，，则，而，，，但，‎ B选项：不能，但，则是的必要而不充分条件，‎ 例：，，，但，而，，，则，‎ C选项：不能，也不能，‎ 则是的既不充分也不必要条件，‎ 例：，，，但，而，，，但，‎ D选项：不能，也不能，‎ 则是的既不充分也不必要条件，‎ 例：，，，但，而，，，但，‎ 综上，选CD。‎ ‎10．等比数列中，，公比，前项和为，下列结论错误的是( )。‎ A、， B、，‎ C、， D、，‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】，，‎ A选项，，，‎ 若，则，无解，错，‎ B选项，，，‎ 构造函数，易知在上单调递增，‎ 当时，，∴上不能保证恒成立，错，‎ C选项，恒成立，即恒成立，对，‎ D选项，，，‎ 若，则，显然不成立，错，‎ 故选ABD。‎ ‎11．设，则当取最小值时，下列说法正确的是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】原式 ‎ ‎ 当且仅当，即，，时等号成立，此时，‎ 故选AC。‎ ‎12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】(1)当时，设，则，设，‎ 由题意可知，，，，‎ 则，，，‎ 代入得，‎ 即，解得，则，‎ ‎ (2)当时，设，，设，‎ 则，，‎ 由题意可知，，，，‎ 则，，，‎ 则，‎ 则，‎ 代入得，即，解得，则，‎ ‎ 故选AC。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，解得。‎ ‎14．如图所示，二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于。已知，，，，则该二面角的大小为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件知，，，‎ ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎∴，即，∴二面角的大小为。‎ ‎15．若数列，的通项公式分别是，，且恒成立，则实数的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当()时由恒成立得恒成立，∴，‎ 当()时由恒成立得恒成立，‎ ‎∴，又不能等于，，‎ 综上，，填。‎ ‎16．已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则椭圆的离心率为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作图，由题意得、、，‎ 设，由得，则①；‎ 又由，得，则②；‎ 由①②得，即，则，故选A。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设等差数列公差为，前项和为，等比数列公比为，已知，，，。‎ ‎(1)求数列、的通项公式；‎ ‎(2)当时，记，求数列的前项和。‎ ‎【解析】(1)由题意有，即，解得或， 2分 ‎ 故或； 4分 ‎(2)由，知，，故， 5分 于是，① 6分 ‎ ，② 7分 ‎①-②可得， 9分 故。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，、、分别为内角、、的对边，且。‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若的面积，求的最小值。‎ ‎【解析】(1)在中，，由题意、正弦定理及余弦定理得：‎ ‎，则，即，‎ 故， 3分 ‎∴， 5分 即， 6分 ‎(2)∵，则，‎ 又，即，则， 8分 由得， 10分 则，当且仅当时取等号，故的最小值为。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点。‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的余弦值。‎ ‎【解析】(1)∵，，，‎ ‎ ∴，∴，∴， 2分 在中，，，‎ ‎∴，∴， 3分 又、平面，，∴平面； 4分 ‎ (2)由(1)得 、，，‎ 又，∴平画，‎ 以为坐标原点，如图建立空直角坐标系， 5分 ‎∴、、，，，‎ 又∵为的中点，则， 6分 由图可知平面的法向量为，又， 8分 设直线与平面所成角的平面角为，‎ 则， 11分 则。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值。‎ ‎【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分 设、，联立得：， 2分 则，， 3分 ‎∴，‎ 解得， 4分 ‎∴此抛物线的标准方程为； 5分 ‎ (2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：， 6分 ‎∵直线与抛物线相交，∴， 7分 联立得：，‎ 则，， 8分 则，解得或(舍)， 9分 ‎∴直线：，恒过定点，‎ 设，从而、， 10分 则， 11分 当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，平面，，，，为的中点。‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若二面角的大小为，求的长。‎ ‎【解析】(1)在中，由余弦定理得：，‎ 则，则， 2分 ‎∵为的中点，∴，又∵，‎ 则 ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴，∴，∴， 4分 又∵平面，平面，∴，‎ ‎∴，，，、平面，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴； 6分 ‎(2)由(1)可得，平面，设，如图建系，‎ 则，，，，， 7分 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，则，，得， 10分 又平面的法向量为，设二面角的平面角为，‎ 则，‎ 解得，∴。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆()，设为椭圆上一点，且，。‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)设，，由椭圆定义得，‎ 设椭圆的半焦距为，则， 2分 对由余弦定理得：‎ ‎，‎ 解得，又，结合得； 5分 ‎(2)可得椭圆的标准方程为：，‎ 当、中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 6分 设：，不妨设，‎ 联立直线和椭圆方程得：， 7分 ‎∴两根为、， ∴， 8分 由，得，‎ 把中的换成，可得， 10分 由，得，‎ 结合化简得，整理得，‎ 解得、、，均符合，‎ ‎∴符合条件的的个数有个。 12分