重庆市巴蜀中学2020届高三下学期期中考试（线上）数学（理）试题 Word版含解析 27页

- 1 - 巴蜀中学 2020 届高三下学期期中测试(线上) 理科数学 (满分：150 分考试时间：120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的) 1. 设复数 z＝(a＋i)2 在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数 a 的值是(　　) A. －1 B. 1 C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】 由题，先对复数进行化简，再根据对应点在虚轴负半轴上，可得实部为 0，虚部为负，即可解 得答案. 【详解】z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有 ，∴a＝－1. 故选 A 【点睛】本题考查了复数知识点，了解复数 性质是解题的关键，属于基础题. 2. 质地均匀的骰子六个面分别刻有 1 到 6 的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数， 则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A. 点数都是偶数 B. 点数的和是奇数 C. 点数的和小于 13 D. 点数的和小于 2 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出所给选项对应事件的概率即可. 【详解】由已知，投掷两次骰子共有 种不同的结果，点数是偶数包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 个，所以 点数都是偶数的概率为 ；点数的和是奇数包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的 2 3 2 1 0 2 0 a a  − =  < 6 6=36× (2,2) (2,4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6) 9 1 36 4 = (1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,5) (5,2) (5,4) - 2 - ， ， ， 共 18 个，所以点数的和是奇数的概率为 ；点数的和 小于 13 是必然事件，其概率为 1；点数的和小于 2 是不可能事件，其概率为 0. 故选：C 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，本题采用列举法，在列举时要注意不重不漏，当然 也可以用排列组合的知识来计算，是一道容易题. 3.已知函数 有两个不同 零点 ， ，-2 和 ， 三个数 适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数 的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数零点的定义和韦达定理，得 ，再由 和 ， 三个数适当排序 后既可成为等差数列，也可成为等比数列，得 ， ，解得 ， ，进而可求解 得值，得出函数的解析式． 【详解】由题意，函数 有两个不同的零点 ， ， 可得 ，则 ， ， 又由 和 ， 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列， 不妨设 ，则 ， ，解得 ， ， 所以 ， ，所以 ， 故选 C. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，等差、等比数列及函数与方程的应用，其中解 答中根据等差等比数列的运算性质，以及函数零点的概念求得 的值是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力，属于基础题． 4. 若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的（ ） 的 (5,6) (6,1) (6,3) (6,5) 18 1 36 2 = ( ) ( )2 0, 0f x x ax b a b= + + < > 1x 2x 1x 2x ( )f x ( ) 2 5 4f x x x= − − ( ) 2 5 4f x x x= + + ( ) 2 5 4f x x x= − + ( ) 2 5 4f x x x= + − 1 2 1 2,x x a x x b+ = − = 2− 1x 2x 1 22 ( 2)x x= + − 1 2 4x x = 1 1x = 2 4x = ,a b ( ) ( )2 0, 0f x x ax b a b= + + < > 1x 2x 1 2 1 2,x x a x x b+ = − = 1 > 0x 2 0x > 2− 1x 2x 2 1x x> 1 22 ( 2)x x= + − 1 2 4x x = 1 1x = 2 4x = 1 2 5a x x− = + = 1 2 4b x x= = ( ) 2 5 4f x x x= − + 1 2,x x ,l m m α l m⊥ / /l α - 3 - A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分 也不必要条件 【答案】B 【解析】 若 ，因为 垂直于平面 ，则 或 ；若 ，又 垂直于平面 ，则 ，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选 B． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5. 已知函数 ，若 ，且 ．现 有结论：① ，② ，③ ，④ ． 这四个结论中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 作出函数 的图象，作直线 ，与函数 图象交于四个点，分析四点为横坐标的性 质即得． 【详解】如图，作出函数 的图象，作直线 ，与函数 图象交于四个点，从左向 右四点为横坐标依次为 ，由于在 时， 的最大值为 1，因此 ，即 ， ，由函数图象知 ， ，即 ， ， 而 ， 由 于 ， ∴ ， ∴ ，四个结论均正确． 故选 D． l m⊥ m α / /l α l α⊂ / /l α m α l m⊥ l m⊥ / /l α 2 2 2 , 0( ) log , 0 x x xf x x x − − ≤=  > 1 2 3 4x x x x< < < 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x= = = 1 2 2x x+ = − 3 4 1x x = 41 2x< < 1 2 3 40 1x x x x< < ( )f x y m= ( )f x ( )f x y m= ( )f x 1 2 3 4, , ,x x x x 0x ≤ 2( ) 2f x x x= − − 4( ) 1f x < 2 4log 1x < 4 2x < 1 2 2x x+ = − 2 3 2 4log logx x− = 3 4 1x x = 41 2x< < 21 2 1 2 ( ) 12 x xx x +≤ = 1 2 0x x< < 1 20 1x x< < 1 2 3 40 1x x x x< < - 4 - 【点睛】本题考查函数图象与方程根的分布问题，解题时利用数形结合思想，把方程的根转 化为直线与函数图象交点的横坐标，再利用函数性质可得结论． 6. 已知抛物线 的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一点 ，以点 M 为圆心的圆与直线 交于 E，G 两点，若 ，则抛物线 C 的方程 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作 ，垂足为点 D．利用点 在抛物线上、 ， 结合抛物线的定义列方程求解即可. 【详解】作 ，垂足为点 D． 由题意得点 在抛物线上，则 得 ．① 由抛物线的性质，可知， ， 因为 ，所以 ． 所以 ，解得： ．②． 由①②，解得： （舍去）或 ． 故抛物线 C 的方程是 ． 故选 C． 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题. 7. 已知函数 ，其中 ω>0， 为 f(x)的零点：且 2: 2 ( 0)C y px p= > ( )0 0,2 2 2 pM x x >   2 px = 1 3sin MFG∠ = 2y x= 2 2y x= 2 4y x= 2 8y x= MD EG⊥ ( )0 ,2 2M x 1 | |sin =3 | | DMMFG MF ∠ = MD EG⊥ ( )0 0,2 2 2 pM x x >   08 2px= 0 4px = 0| | 2 pDM x= − 1sin 3MFG∠ = 0 1 1| | | |3 3 2 pDM MF x = = +   0 0 1 2 3 2 p px x − = +   0x p= 0 2x p= = − 0 2x p= = 2 4y x= ( ) sin( )f x xω ϕ= + | | ,2 4 π πϕ ≤ − ( ) | ( ) |4f x f π≤ - 5 - 恒成立， 在 区间上有最小值无最大值，则 的最大值是（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】 先由 ， 可得 为正奇数，再由 在 区间上有最小值 无最大值得到 ，结合选项进行验证. 【 详 解 】 由 题 意 ， 是 的 一 条 对 称 轴 ， 所 以 ， 即 ①， 又 ，所以 ②，由①②，得 ， ， 又 在 区间上有最小值无最大值，所以 ， 即 ，解得 ，要求 最大，结合选项，先检验 ， 当 时，由①得 ，即 ，又 ， 所以 ，此时 ，当 时， ， 当 即 时， 取最小值，无最大值，满足题意. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 8.图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依 次记为 A1、A2、…A10（如 A2 表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数]．图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在 160~180cm（含 160cm，不 含 180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 ( )f x ( , )12 24 π π− ω ( ) | ( ) |4f x f π≤ ( ) 04f π− = ω ( )f x ( , )12 24 π π− 16ω ≤ 4x π= ( )f x ( ) 14f π = ± 1 1,4 2k k Z π πω ϕ π+ = + ∈ ( ) 04f π− = 2 2,4 k k Z π ω ϕ π− + = ∈ 1 22( ) 1k kω = − + 1 2,k k Z∈ ( )f x ( , )12 24 π π− ( )24 12 8T π π π≥ − − = 2 8 π π ω ≥ 16ω ≤ ω 15ω = 15ω = 1 115 ,4 2k k Z π πϕ π× + = + ∈ 1 1 13 ,4k k Z πϕ π= − ∈ | | 2 πϕ ≤ 4 πϕ = − ( ) sin(15 )4f x x π= − ( , )12 24x π π∈ − 3 315 ( , )4 2 8x π π π− ∈ − 15 4 2x π π− = − 60x π= − ( )f x ) - 6 - A. i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9 【答案】C 【解析】 考查算法的基本运用．现要统计的是身高在 160-180cm 之间的学生的人数，即是要计算 A4、A5 、A6、A7 的和，故流程图中空白框应是 i<8，当 i<8 时就会返回进行叠加运算，当 i 8 将数 据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据 A4、A5、A6、A7 叠加起来送到 S 中 输出，故选 C． - 7 - 9. 已知函数 的部分图像如图所示， 两点之间的 距离为 10，且 ，若将函数 的图像向右平移 个单位长度后所得函数图像 关于 轴对称，则 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象求出 A，ω 和 ，即可求函数 f（x）的解析式；再通过平移变换函数图象关于 y 轴 对称，求解 t 的关系式． 【详解】解：由题设图象知， , 周期 T＝ ，解得：T＝16， ∴ω ． 可得 f（x）＝3sin（ ）, ∵f（2）＝0， ∴sin（ ）＝0， ∵ ， ∴ ． 故得 f（x）＝3sin（ ）， 将函数 f（x）的图象向右平移 t（t＞0）的单位， 可得：y＝3sin[ ]＝3sin（ ）， π( ) 3sin( ) 0,| | 2f x xω ϕ ω ϕ = + > <   A B， (2) 0f = ( )f x ( 0)t t > y t φ 10AB = 1 2 2 210 6 8− = 8 2 T π π= = φ8 x π + 28 φ π × + <φ<2 2 π π− φ 4 π= − 8 4x π π− ( ) 8 x t π − 4 π− 8 8 4x t π π π− − - 8 - 由函数图象关于 y 轴对称， ∴ ， 整理得：﹣t＝6+8k， ∵t＞0， ∴当 k＝﹣1 时，t 的最小值为 2． 故选:B． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关 键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系． 10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见 ，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩 形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其 中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即 三棱柱 的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体 积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表 面积． 详解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 ( ) 4 28 π π π π− − = + ∈t k k Z 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1 1AA AB= = 1 1B A ACC− 1 1 1ABC A B C− 2 1+ 3 1+ 2 2 3 2 + 3 3 2 + 1 1B A ACC− 2 3 1 1B A ACC− 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2ABC A B CV AC BC AA AC BC− = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 2 21 1 1( )4 4 4AC BC AB≤ + = = - 9 - 时，取等号． ∴ ． 故选 C． 点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的 体积． 11. 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下 列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析： , , ． 由题意知 ． ． ．故 D 正确． 考点：1 向量的加减法；2 向量的数量积；3 向量垂直． 12. 设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2 2AC BC= = 1 2 2 2 22 ( 1) 12 2 2 2 2S = × × × + + + × 3 2 2 2 += C∆ΑΒ 2 a b 2aΑΒ =  C 2a bΑ = +  1b = a b⊥  1a b⋅ = ( )4 Ca b+ ⊥ Β 2 , 2AB a AC a b= = +    AC AB b∴ = +   b AC AB BC∴ = − =   12, cos120 1 2 12b a b a b  = ⋅ = ⋅ = × × − = −       ( ) ( ) 2 4 2 2a b BC AB BC BC AB BC BC∴ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ +       2 12 cos120 2 2 2 2 4 02AB BC  = ⋅ + = × × × − + =     ( )4a b BC∴ + ⊥  ( ) 2ln xef x t x xx x  = − + +   t 1, 2  −∞   1 ,2  +∞   1 , ,2 3 3 e e   +∞       1, ,2 3 e   −∞ +∞      - 10 - 【解析】 【分析】 恰有两个极值点，则 恰有两个不同的解，求出 可确定 是它的一 个解，另一个解由方程 确定，令 通过导数判断函数值域求 出方程有一个不是 1 的解时 t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数 的定义域为 ， . 因为 恰有两个极值点，所以 恰有两个不同的解，显然 是它的一个解， 另一个解由方程 确定，且这个解不等于 1. 令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增， 从而 ，且 .所以，当 且 时， 恰有两个极值点，即实数 的取值范围是 . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲 、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 乘以 2 后再 减去 6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 除以 2 后再加上 6，这样就可得到一 个新的实数 ，对实数 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 ，当 时 ，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为 ，则 的取值范围是____． ( )f x ( ) 0f x¢ = ( )f x¢ 1x = e 02 x tx − =+ ( ) ( )e 02 x g x xx = >+ ( )f x ( )0,+¥ ( ) ( ) 2 2 1 e 1 21 xxf x tx x x −  ′ = − + −   ( ) ( ) 2 1 e 2xx t x x  − − + = ( )( ) 2 e1 2 2 x x x tx x  − + − + = ( )f x ( ) 0f x¢ = 1x = e 02 x tx − =+ ( ) ( )e 02 x g x xx = >+ ( ) ( ) ( )2 1 e 0 2 xxg x x +′ = > + ( )g x ( )0,+¥ ( ) ( ) 10 2g x g> = ( )1 3 eg = 1 2t > e 3t ≠ ( ) e 2ln x f x t x xx x  = − + +   t 1 , ,2 3 3 e e   +∞       1a 1a 1a 2a 2a 3a 3 1a a> 3 4 1a - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知，进行两次操作后，得出 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等 式组，即可求解. 【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况： 当 ，其出现的概率为 ， 当 ，其出现的概率为 ， 当 ，其出现的概率为 ， 当 其出现的概率为 ， ∵甲获胜的概率为 ，即 的概率为 ， 则满足 整理得 . 【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题， 明确题意，得出 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的 关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 14. 在直四棱柱 中，底面是边长为 的菱形， ， ， 过点 与直线 垂直的平面交直线 于点 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ____. 【答案】 【解析】 【分析】 ( ,6] [12, )−∞ ∪ +∞ 3a 3 1 12(2 6) 6 4 18a a a= − − = − 21 1( )2 4 = 3 1 1 1 (2 6) 6 32a a a= − + = + 21 1( )2 4 = 1 3 12( 6) 6 62 aa a= + − = + 21 1( )2 4 = 1 1 3 2( 6) 6 92 4 a aa = + + = + 21 1( )2 4 = 3 4 3 1a a> 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 18 4 18 9 94 4 a a a a a aa a − ≤ − >   + > + ≤   或 1 16 12a a≤ ≥或 3a 1 1 1 1ABCD A B C D− 4 060ABC∠ = 1 4AA = B 1AC 1AA M A MBD− 68π - 12 - 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,先确定 M 是 中点，再求三棱锥 的外接球 的半径，即得解. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题得 BD= . 则 A(2,0,0),B( , ,设 ， 所以 ,所以 . 所以 ，所以 . 即点 M 是 中点时， 平面 BDM. 设三棱锥 的外接球的半径为 R,设△MBD 的外接圆半径为 r, 则 ， 1AA A MBD− 4 3 0,2 3,0), (0, 2 3,0)D − 1( 2,0,4)C − (2,0, )M z 1(0, 4 3,0), ( 4,0,4)BD AC= − = −  1 10,AC BD AC BD⋅ = ∴ ⊥    (2,0,z)OM = 1 0, 8 4 0, 2AC OM z z⋅ = ∴− + = ∴ =  1AA 1AC ⊥ A MBD− 4 3 2 , 42sin 3 r r π = ∴ = - 13 - 所以 . 所以三棱锥 的外接球的表面积为 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平. 15. 已知等差数列 的前 项和是 ， ，且 成等比数列，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即 可得解. 【详解】设公差为 ，则有 解得 从而 ，故 . 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前 n 项和，属于基础题. 16. 如图，抛物线 和圆 ，直线 经过 的焦点 ，依次交 于 四点，则 的值是__________． 2 2 214 ( 2) 172R = + × = A MBD− 24 68Rπ π= 68π { }na n nS 4 2 6a a− = 1 3 8, ,a a a 10 3 S a = 35 2 d ( ) ( )2 1 1 1 2 6, 2 7 , d a d a a d = + = + 1 4, 3, a d =  = 3 1na n= + 10 3 35 5 35 10 2 S a ×= = 35 2 2 1 : 4C y x= 2 2 2 :( 1) 1C x y− + = l 1C F 1 2,C C , , ,A B C D AB CD⋅  - 14 - 【答案】 【解析】 【分析】 由题得 ，同理 ，由此能够求出 ． 【详解】抛物线 的焦点为 ， ， 直线 经过 的焦点 ， 设直线 的方程为 ， 联立 ，得 ， 设 ， ， ， ， 则 ， 同理 ， ． 故答案为：1 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知 , ,且函数 ． 1 1 1| | | | | | 1 1AB AF BF x x= − = + − = 2| |CD x= AB CD   2 1 : 4C y x= (1F 0)  l 1C (1,0)F l ( 1)y k x= − 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1 1| | | | | | 1 1AB AF BF x x= − = + − = 2| |CD x= ∴ 1 2| | | | cos , 1AB CD AB CD AB CD x x= < >= =         1 3sin ,2 2m x  =      ( )2 1cos ,cos 2n x x x R = − ∈    ( )f x m n= ⋅  - 15 - 求 的对称轴方程； 在锐角 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 , , ,求 b 的值． 【答案】（1） , ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出 表达式，然后再根据对称轴公式求解对称 轴；（2）先根据条件计算 的值，再根据正弦定理计算 的值. 【 详 解 】 解 ： ,令 , 可得 ,即 的对称轴方程为 , ； , ,得 , 当 时, , , , 由正弦定理可得 , ． 【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助 角公式的运用要熟练： ；（2）利用正、 余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应. 18. 设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物 线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 . （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； ( )1 ( )f x ( )2 ABC ( ) 0f A = 4sin 5B = 3a = 1 2 12x k ππ= + k Z∈ 8 5b = ( )f x A b 21 3 1 1 3(1) ( ) sin cos cos sin 2 cos22 2 2 4 4f x m n x x x x x = ⋅ = + − = +     1 sin 22 3x π = +   2 3 2x k π ππ+ = + 1 2 12x k ππ= + ( )f x 1 2 12x k ππ= + k Z∈ ( ) ( ) 12 sin 2 02 3f A A π = + =   2 3A k π π∴ + = , , 0,6 2 2 kA k Z A π π π = − + ∈ ∈   1k = 3A π= 4sin 5B = 3a = ∴ 3 4 3 5 2 b = 8 5b∴ = ( )2 2sin cos sin tan ba x b x a b x a ϕ ϕ + = + + =   2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A 1 2 A 2 2 ( 0)y px p= > F l 1 2 - 16 - （II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】（Ⅰ） ， .（Ⅱ） ，或 . 【解析】 试题分析：由于 为抛物线焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ，则 ，又椭圆的 离心率为 ，求出 ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则 ，设直线 方程为 设 ，解出 两点的坐标，把直线 方程和椭圆方程联立解出 点坐 标，写出 所在直线方程，求出点 的坐标，最后根据 的面积为 解方程求出 ，得出直线 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设 的坐标为 .依题意， ， ， ，解得 ， ， ，于是 . 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 . （Ⅱ）解：设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故 .将 与 联立，消去 ，整理得 ，解得 ，或 .由点 异于点 ，可得点 .由 ，可得直线 的方程为 ，令 ，解得 ，故 .所以 .又因为 的面积为 ，故 l P Q x AP B B A BQ x D APD△ 6 2 AP 2 2 4 13 yx + = 2 4y x= 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − = A F l 1 2 1 2a c− = 1 2 , ,c a b (1,0)A AP 1( 0)x my m= + ≠ P Q、 AP B BQ D APD△ 6 2 m AP F ( ),0c− 1 2 c a = 2 p a= 1 2a c− = 1a = 1 2c = 2p = 2 2 2 3 4b a c= − = 2 2 4 13 yx + = 2 4y x= AP ( )1 0x my m= + ≠ l 1x = − 21,P m  − −   21,Q m  −   1x my= + 2 2 4 13 yx + = x ( )2 23 4 6 0m y my+ + = 0y = 2 6 3 4 my m −= + B A 2 2 2 3 4 6,3 4 3 4 m mB m m  − + −  + +  21,Q m  −   BQ ( ) 2 2 2 6 2 3 4 21 1 03 4 3 4 m mx ym m m m  − − +   − + − + − =    + +     0y = 2 2 2 3 3 2 mx m −= + 2 2 2 3 ,03 2 mD m  −  +  2 2 2 2 2 3 61 3 2 3 2 m mAD m m −= − =+ + APD 6 2 - 17 - ，整理得 ，解得 ，所以 . 所以，直线 的方程为 ，或 . 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心 率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立 方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地 方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 19. 已知四棱锥 中，平面 平面 ，且 ， 是等边三角形， . (1)证明： 平面 ； (2)求二面角 的余弦值. 【答案】(1) 见解析. (2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据计算可得 ，根据面面垂直性质定理得 平面 ，即得 ， 根据等腰三角形性质得 ，最后根据线面垂直判定定理 得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根 据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果 试题解析：(1)在 中， ,所以 , 2 2 1 6 2 6 2 3 2 2 m m m × × =+ 23 2 6 2 0m m− + = 6 3m = 6 3m = ± AP 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − = P ABCD− PCD ⊥ ABCD 2 2 2 2PD PC CD BC= = = 2 ,3BCD ABD π∠ = ∆ AC BD E= PC ⊥ PAD P AB C- - 5 29 29 AD DC⊥ AD ⊥ PCD AD PC⊥ 再 PD PC⊥ ABCD∆ 2 ,3 π∠ = =BCD CD BC 6 π∠ = ∠ =BDC CBD - 18 - 又 是等边三角形，所以 ,所以 ,即 , 又因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ， 故 .在 中， . 所以 . 又因为 ,所以 平面 . (2)解法一：如图，取 的中点 ，连接 . 则在等腰 中， .又因为平面 平面 ,平面 平面 ，所以 平面 .过点 作 的平行线 ，则 平面 . 由(1)知 ,故以 为坐标原点 ，以直线 分别作为 轴、 轴、 轴 建立空间直角坐标系.设 ,则在 中， , . 又在 中， , 所以 ，故 . 又因为 是等边三角形，所以 . 所以 , , , ，即 . 所以 , , . 设平面 的法向量为 ，则由 ， ABD∆ 3 π∠ =ADB 2 π∠ = ∠ + ∠ =ADC ADB BDC AD DC⊥ PCD ⊥ ABCD PCD  ABCD CD= AD ⊥ PCD AD PC⊥ PCD∆ 2 2PD PC CD= = PD PC⊥ AD PD D= PC ⊥ PAD CD H PH Rt PDC∆ PH DC⊥ PCD ⊥ ABCD PCD  ABCD CD= PH ⊥ ABCD D PH l l ⊥ ABCD AD DC⊥ D O DA DC l、 、 x y z 2DC = Rt PDC∆ 2PD PC= = 1PH = BCD∆ 2, 3 π= ∠ =CD BC BCD 2 2 2 2 2 22 cos 2 2 2 2 2 cos 123 π= + − ⋅ ∠ = + − × × × =BD CD CB CD CB BCD 2 3BD = ABD∆ 2 3AD = ( )0,1,1P ( )2 3,0,0A ( )0,2,0C 2 3cos ,2 3sin ,03 3 π π    B ( )3 3 0B ，， ( )2 3,1,1= −AP ( )3,3,0AB = − ( )0,0,1=HP PAB ( ), ,n x y z= 0 0 n AP n AB  ⋅ =  ⋅ =   - 19 - 得 . 令 ，得 .故 为平面 的一个法向量. 因为 平面 ，故 为平面 的一个法向量. 故 . 设二面角 为 ，则由图可知 , 所以 . 解法二：取 的中点 ，连接 ，连接 并延长，交 于 ，连接 . 则在等腰 中， . 又因为平面 平面 ，平面 平面 , 所以 平面 设 ,则在 中， . 又在 中， ， 所以 ，故 . 中， ，所以 ，且 . . 2 3 0 3 3 0 x y z x y − + + = − + = 3x = 1, 5y z= = ( )3,1,5=n PAB PH ⊥ ABCD ( )0,0,1=HP ABCD ( )2 2 2 3 0 1 0 5 1 5 5 29cos , 29293 1 5 ⋅ × + × + ×= = = = × + +      n HPn HP n HP P AB C- - θ 0, 2 πθ  ∈   5 29cos cos , 29 θ = = n HP CD H PH HE AB F PF Rt PDC∆ PH DC⊥ PCD ⊥ ABCD PCD ABDC CD= PH ⊥ ABCD 2DC = Rt PDC∆ 2, 1PD PC PH= = = BCD∆ 2, 3 π= ∠ =CD BC BCD 2 2 2 2 cosBD CD CB CD CB BCD= + − ⋅ ∠ 2 2 22 2 2 2 2 cos 123 π= + − × × × = 2 3BD = BCD∆ ,DE EB DH HC= = / /EH BC 1 12EH BC= = - 20 - 故 ,又 ,且 , 所以 ,故 . 又因为 平面 ，由三垂线定理可得 , 所以 为二面角 的平面角. 在 中， ,所以 . 故 .所以在 中， , 故 ∴二面角 的余弦值为 . 20.微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其社会实践次数进行调查，结果 如下： 若将社会实践次数不低于 12 次的学生称为“社会实践标兵”. （1）将频率视为概率，估计该校 1600 名学生中“社会实践标兵”有多少人？ （2）从已抽取的 8 名“社会实践标兵”中随机抽取 4 位同学参加社会实践表彰活动. （ⅰ）设 A 为事件"抽取的 4 位同学中既有男同学又有女同学”，求事件 A 发生的概率； （ⅱ）用 X 表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）128 人；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）分布列见解析， 【解析】 【分析】 （1）先求出样本中“社会实践标兵”不低于 次的频率，再乘以总人数即可； 6 π∠ = ∠ =HED CBD BEF HED∠ = ∠ 3DBA π∠ = 2 π∠ + ∠ =DBA BEF EF AB⊥ PH ⊥ ABCD PF AB⊥ PFH∠ P AB C- - Rt BEF∆ 1 32BE BD= = 3 3sin 3 2 2EF BE DBA= ∠ = × = 5 2HF HE EF= + = Rt PHF∆ 2 2 2 2 5 291 2 2PF PH HF  = + = + =   5 5 292cos 2929 2 HFPFH PF ∠ = = = P AB C- - 5 29 29 13 14 ( ) 3 2E X = 12 - 21 - （2）（ⅰ）利用间接法，先求 A 的对立事件的概率 ，再利用 计算即 可；（ⅱ） 所有可能的取值为： ， ， ， ，分别求出随机变量取相应值的概率，列出 分布列即可. 【详解】（1）样本中“社会实践标兵”不低于 次的学生有 人， 该校学生中“社会实践标兵”有： 人. （2） 名“社会实践标兵”中有男同学 人，女同学 人， （ⅰ） 为“抽取 位同学全是女同学”， ， . （ⅱ）由题意知： 所有可能的取值为： ， ， ， ， ； ； ； 则 的分布列如下： . 【点睛】本题考查样本估计总体以、对立事件的概率、超几何分布及其期望，考查学生的基 本计算能力，是一道容易题. 21. 设 ， ，函数 ， . （Ⅰ）若 与 有公共点 ，且在 点处切线相同，求该切线 方程； （Ⅱ）若函数 有极值但无零点，求实数 的取值范围； 的 ( )P A ( ) ( ) 1P A P A+ = X 0 1 2 3 12 8 ∴ 81600 128100 × = 8 3 5 A 4 ( ) 4 5 4 8 1 14 CP A C ∴ = = ( ) ( ) 1 131 1 14 14P A P A∴ = − = − = X 0 1 2 3 ( ) 4 5 4 8 10 14 CP X C = = = ( ) 1 3 3 5 4 8 31 7 C CP X C = = = ( ) 2 2 3 5 4 8 32 7 C CP X C = = = ( ) 3 1 3 5 4 8 13 14 C CP X C = = = X X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 ( ) 1 3 3 1 30 1 2 314 7 7 14 2E X∴ = × + × + × + × = a Rb∈ ( ) lnf x x ax= − ( ) bg x x = ( ) lnf x x ax= − ( ) bg x x = ( )1,P m P ( )f x a - 22 - （Ⅲ）当 ， 时，求 在区间 的最小值. 【答案】（1） （2） （3） . 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用切线的几何意义求切线的斜率；（2）利用导数分析函数的单 调性，结合极值，只需极小值大于 0 或极大值小于 0 即可求出；（3）利用导数判断新函数的 单调性及极值，再结合定义域分析函数再区间上的最小值． 试题解析：（Ⅰ）由 得 ； 在点 的切线方程为 ，即 ． （Ⅱ）当 时，由 恒成立，可知函数 在定义域 单调递增， 此时无极值． 当 时，由 得 ；由 得 ； 得 ． 于是， 为极大值点，且 ． 由于函数 无零点，因此 ，解得 （Ⅲ）不妨设 得 ． 设 ， ， 0a > 1b = ( ) ( ) ( )F x f x g x= − [ ]1,2 2 2 0x y− − = 1a e > ( )minF x = 11, 0 ln 2 2{ 1 1ln 2 2 , ln 22 2 a a a a  − − < < +    − − ≥ +   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1{ 1 1 f g f g ′= = ′ 1{ a b a b − = − − = 1 2{ 1 2 a b = ∴ = − 11, 2P −   1 1 2 2y + = ( )1x − 2 2 0x y− − = 0a ≤ ( ) 1 0f x ax ′ = − > ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( ) 1 0f x ax ′ = − = 1 0x a = > ( ) 1 0f x ax ′ = − > 10,x a  ∈   ( ) 1 0f x ax ′ = − < 1 ,x a  ∈ +∞   1x a = ( )max 1f x f a  = =   ln 1a− − ( )f x ( )max 1f x f a  = =   ln 1 0a− − < 1a e > ( ) 1lnF x x ax x = − − ( ) 2 1 1F x ax x = − +′ ( )2 2 1ax x x − − − = ( ) 2 1h x ax x= − − 0a > 1 4 0a∴∆ = + > - 23 - 设 的两根为 ， ；且 ，由 得 ， 且 ． ． 当 时 ； 当 时， ； 当 时， ． 在 递增， 递减． ①当 时，即 解得 时， ， 在 递减； ． ②当 时，即 解得 时， ， 在 递增； ． ③当 时，即 时， 在 递增， 递减； ． （i）当 时， ， ． （ii）当 时， ， ． 综合①、②、③得 在区间 的最小值； ( ) 0h x = 1x 2x 1 2x x< 1 2 1 0x x a ⋅ = − < 1 0x < 2 0x > 2 1 1 4 2 ax a + += ( ) ( )( )1 2 2 a x x x xF x x − − −′∴ = ∴ ( ) 0F x′ = 2x x= ( ) 0F x′ > 2 0x x> > ( ) 0F x′ < 2x x> ( )F x∴ ( ]20, x [ )2 ,x +∞ 20 1x< ≤ ( ) 1 1{ 2 1 0 a h < ≥ 2a ≥ ] [ )21,2 ,x ⊆ +∞ ( )F x [ ]1,2 ( ) ( )min 2F x F∴ = = 1ln2 22 a− − 2 2x ≥ ( )2 0h ≤ 30 4a< ≤ [ ] ( ]21,2 0, x⊆ ( )F x [ ]1,2 ( ) ( )min 1F x F∴ = 1a= − − 21 2x< < 3 24 a< < ( )F x [ ]21,x [ ]2 ,2x ( ) ( )2 1F F∴ − = 1ln2 2 12 a a− − + + 1ln2 2 a= + − 1ln2 22 a+ ≤ < ( ) ( )2 1F F≤ ( ) ( )min 2F x F∴ = = 1ln2 22 a− − 3 1ln24 2a< < + ( ) ( )2 1F F> ( ) ( )min 1F x F∴ = = 1a− − ( ) ( ) ( )F x f x g x= − [ ]1,2 - 24 - ． 点睛：本题考查函数 单调性极值及切线问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大， 属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点， 一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一 般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题， 一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会． 22. 已知平面直角坐标系 .以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点的极 坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 （1）写出点 的直角坐标及曲线 的普通方程； （2）若 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入即可得出； （2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入计算， ， ＝ ， ∴点 的直角坐标 ，由 ，得 ， 即 ，所以曲线 的直角坐标方程为 （2）曲线 的参数方程为 （ 为参数），由 （ 为参数）， 得直线 的普通方程为 . 的 ( )minF x∴ = 11,(0 2 )2{ 1 12 2 , 22 2 a a ln ln a a ln − − < < +  − − ≥ +   xoy O x P 2 3, 6 π     C 2 2 3 sin 1ρ ρ θ+ = P C Q C PQ M 3 2: 2 x tl y t = +  = − + t (3, 3)P 2 2( 3) 4x y+ + = 11 5 110 − 32 3 cos 2 3 36 2Px π= = × = 2 3sin 6Py π= 12 3 32 × = P ( )3, 3 2 2 3 sin 1ρ ρ θ+ = 2 2 2 3 1x y y+ + = ( )22 3 4x y+ + = C ( )22 3 4x y+ + = C 2 3 2 x cos y sin θ θ = = − + θ 3 2: 2 x tl y t = +  = − + t l 2 7 0x y− − = - 25 - 设 ，则 中点 ，那么点 到直线 的距离， ， 所以点 到直线 的最小距离为 . 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角 和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中 档题． 23. 已知函数 （1）若 ， ，求不等式 的解集； （2）若 ， ，且 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）利用分类讨论法解不等式求不等式 的解集； （2）先用绝对值不等式的性质求得 ，再根据基本不等式可得 ，利用不 等式的传递性可得． 【详解】（1） 时， 或 或 ， 解得 ， 故不等式 的解集为 ； ( )2cos , 3 2sinQ θ θ− + PQ 3 cos ,sin2M θ θ +   M l ( ) 2 2 3 11 11cos 2sin 7 cos 2sin 5sin2 2 2 5 51 2 d θ θ θ θ θ ϕ+ − − − − − + = = = + 115 11 52 1105 − + ≥ = − M l 11 5 110 − ( ) = − + +f x x a x b 1a = 2b = ( ) 5f x ≤ 0a > 0b > 4 2a b ab+ = ( ) 9 2f x ≥ [ 3 2]− ， ( ) 5f x ≤ f x a b≥ +（ ） 9 2a b+ ≥ 1 2a b= =， ( ) 25 1 2 5 2 1 5 xf x x x x ≤ −≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ − − ≤ 2 1 3 5 x− < <  ≥ 1 2 1 5 x x ≥  + ≤ 3 2x− ≤ ≤ 5（ ）≤f x [ ]3 2，− - 26 - （2） 时 ，当且仅当 时，取等． ∵ ， ∴ ， 当且仅当 时取等． 故 ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不 等式求最值，属中档题． 0 0a b＞ ， ＞ （ ） （ ）（ ）= − + + ≥ + − − = +f x x a x b x b x a a b b x a− ≤ ≤ 4 2a b ab+ = 1 2 12b a + = ( ) 1 2 2  + = + + =  a b a b a a 1 2 5 2 92 22 2 2 2 2 a b a b b a b a + + + ≥ + ⋅ = 33 2a b= =， ( ) 9 2f x ≥ - 27 -