高中数学（人教版a版必修一）配套课时作业：第三章函数的应用3-1-2word版含解析 8页

3．1.2 用二分法求方程的近似解 课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学 习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用 方法，体会“逐步逼近”的思想． 1．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数 y＝f(x)，通过不断地把函 数 f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可 用二分法来求 ___________________________________________________________________ _____． 2．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点____； (3)计算 f(c)； ①若 f(c)＝0，则________________； ②若 f(a)·f(c)<0，则令 b＝c(此时零点 x0∈________)； ③若 f(c)·f(b)<0，则令 a＝c(此时零点 x0∈________)． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重 复(2)～(4)． 一、选择题 1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 2．下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ) 3．对于函数 f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2007)<0，f(2008)<0， f(2009)>0，则下列叙述正确的是( ) A．函数 f(x)在(2007,2008)内不存在零点 B．函数 f(x)在(2008,2009)内不存在零点 C．函数 f(x)在(2008,2009)内存在零点，并且仅有一个 D．函数 f(x)在(2007,2008)内可能存在零点 4．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在 x∈(1,2)内近似解的 过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表： x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x＝x2 的一个根位于下列哪个区间内( ) A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0) 6．已知 x0 是函数 f(x)＝2x＋ 1 1－x 的一个零点．若 x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)， 则( ) A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．若函数 f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定 f(x)的零点 所在的区间为________．(只填序号) ①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678 8.用“二分法”求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为 x0 ＝2.5，那么下一个有根的区间是________． 9．在用二分法求方程 f(x)＝0 在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0， f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为 0.1)． 三、解答题 10．确定函数 f(x)＝ 1 2 log x ＋x－4 的零点所在的区间． 11．证明方程 6－3x＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数 解．(精确度 0.1) 能力提升 12．下列是关于函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的命题： ①若 x0∈[a，b]且满足 f(x0)＝0，则(x0,0)是 f(x)的一个零点； ②若 x0 是 f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求 x0 的近似值； ③函数 f(x)的零点是方程 f(x)＝0 的根，但 f(x)＝0 的根不一定是函数 f(x)的零 点； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值． 那么以上叙述中，正确的个数为( ) A．0B．1C．3D．4 13．在 26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)， 现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？ 1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不 变号零点不适用． 2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为 1 时，使用“二分法”n 次后，精确度为 1 2n. 3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精 确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为 已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止． 3．1.2 用二分法求方程的近似解 知识梳理 1．f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解 2．(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)①c 就是函数的零点 ②(a，c) ③(c，b) 作业设计 1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．] 2．A [由选项 A 中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使 f(a)·f(b)<0，即 A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．] 3．D 4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝1＋1.5 2 ＝1.25. 又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0， 则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．] 5．C [设 f(x)＝2x－x2，根据列表有 f(0.2)＝1.149－0.04>0， f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0. 因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．] 6．B [∵f(x)＝2x－ 1 x－1 ，f(x)由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－ 1 x－1 在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.] 7．③④⑤ 8．[2,2.5) 解析 令 f(x)＝x3－2x－5，则 f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0， f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0. ∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)． 9．0.75 或 0.6875 解析 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1， 所以 0.75 或 0.6875 都可作为方程的近似解． 10．解 (答案不唯一) 设 y1＝ 1 2 log x ，y2＝4－x，则 f(x)的零点个数即 y1 与 y2 的交点个数，作出两函 数图象，如图． 由图知，y1 与 y2 在区间(0,1)内有一个交点， 当 x＝4 时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0， 当 x＝8 时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点． 故函数 f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)． 11．证明 设函数 f(x)＝2x＋3x－6， ∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0， 又∵f(x)是增函数， ∴函数 f(x)＝2x＋3x－6 在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程 6－3x＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解． 设该解为 x0，则 x0∈[1,2]， 取 x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0， ∴x0∈(1,1.5)， 取 x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0， f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)， 取 x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0， f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)， 取 x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0， f(1.1875)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1.1875,1.25)． ∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1， ∴1.1875 可作为这个方程的实数解． 12．A [∵①中 x0∈[a，b]且 f(x0)＝0，∴x0 是 f(x)的一个零点，而不是(x0,0)， ∴①错误；②∵函数 f(x)不一定连续，∴②错误；③方程 f(x)＝0 的根一定是函 数 f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确 值，∴④也错误．] 13．解 第一次各 13 枚称重，选出较轻一端的 13 枚，继续称； 第二次两端各 6 枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的 6 枚继 续称； 第三次两端各 3 枚，选出较轻的 3 枚继续称； 第四次两端各 1 枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． ∴最多称四次．