人教a版高中数学选修1-1课时提升作业九2-1-1椭圆及其标准方程精讲优练课型word版含答案 8页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 九 椭圆及其标准方程 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆 + =1 上一点 P 到其中一个焦点的距离为 3,则点 P 到 另一个焦点的距离为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.7 【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令 |PF1|=3,则|PF2|=7. 2.(2016·日照高二检测)已知椭圆 + =1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2,N 是 MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段 ON 的长是 ( ) A.2 B.4 C.8 D. 【解析】选 B.设椭圆的另一个焦点为 E,如图, 则|MF|+|ME|=10, 所以|ME|=8. 又 ON 为△MEF 的中位线, 所以|ON|= |ME|=4. 3.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是 ( ) A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20 【解析】选 C.由题意得 2c=2,c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1, 所以 m=5 或 m=3. 4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个 正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 ,则这个椭圆的方程 为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 或 + =1 D.以上都不对 【解析】选 C.设短轴的一个端点为 P,焦点分别为 F1,F2, 因为△PF1F2 为正三角形,所以|OP|= |F1F2|,可得 b= c,即 = c.① 又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为 , 所以 a-c= ,② 联立①②,可得 a=2 ,c= ,b= =3.因此 a2=12 且 b2=9,可得椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 5.已知椭圆 +y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且 · =0,则点 M 到 x 轴的距 离为 ( ) A. B. C. D. 【解题指南】由 · =0 知△MF1F2 为直角三角形,可根据面积求 M 到 x 轴的距离. 【解析】选 C.由 · =0,得 MF1⊥MF2,可设 |=m, |=n,在△F1MF2 中,由 m2+n2=4c2 得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有 m+n=2a,所以 2mn=4a2-4c2,故 mn=2b2,即 mn=2, 所以 = ·mn=1, 设点 M 到 x 轴的距离为 h,则 ×|F1F2|×h=1, 又|F1F2|=2 ,故 h= . 二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) 6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为 3 和 1,则椭圆的标准方程为 . 【解析】由题意可得 所以 故 b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 7.设 P 是椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值 是 . 【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8, 所以|PF1|·|PF2|≤ = =16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”, 故|PF1|·|PF2|的最大值是 16. 答案:16 8.如图所示,F1,F2 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 的 正三角形,则 b2= . 【解析】由题意 = c2= ,所以 c=2,所以 a2=b2+4. 由题意得点 P 坐标为(1, ),把 x=1,y= 代入椭圆方程 + =1 中得 + =1,解 得 b2=2 . 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. 【解析】当焦点在 x 轴上时,设其方程为 + =1(a>b>0).由椭圆过点 P(3,0),知 + =1, 又 a=3b,解得 b2=1,a2=9,故椭圆的方程为 +y2=1. 当焦点在 y 轴上时,设其方程为 + =1(a>b>0). 由椭圆过点 P(3,0),知 + =1,又 a=3b,联立解得 a2=81,b2=9,故椭圆的方程为 + =1. 故椭圆的标准方程为 + =1 或 +y2=1. 10.(2016·郑州高二检测)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程. 【解题指南】设 M(x,y),由等式|MD|= |PD|坐标化,即得轨迹方程. 【解析】设点 M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(xP,yP), 因为点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|,所以 xP=x,且 yP= y. 因为 P 在圆 x2+y2=25 上, 所以 x2+ =25,整理得 + =1,即点 M 的轨迹 C 的方程是 + =1. 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·郑州高二检测)已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范 围是 ( ) A.m<2 B.1b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P(a,b)满足 |F1F2|=|PF2|,设直线 PF2 与椭圆交于 M,N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程 为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 【 解 析 】 选 B. 因 为 点 P(a,b) 满 足 |F1F2|=|PF2|, 所 以 =2c, 整 理 得 2 + -1=0, 所以 = . 所以a=2c,b= c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2 的方程为y= (x-c),代入椭圆方 程,消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0,解得 x=0 或 c, 得 M(0,- c),N ,所以|MN|= c=16,所以 c=5,所以椭圆方程为 + =1. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·温州高二检测)已知椭圆 + =1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该椭圆上,若 |PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2 的面积是 . 【解析】由已知得|F1F2|=2c=2 ,|PF1|+|PF2|=4, 又|PF1|-|PF2|=2, 所以得|PF1|=3,|PF2|=1, 因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2, 所以△PF1F2 是直角三角形, 所以 = ·|F1F2|·|PF2|= . 答案: 4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆 C: +y2=1 的焦点 F(1,0),直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,若 =3 ,则| |= 【解题指南】设出 A 点的坐标,利用 =3 求出 A 点坐标,即可求出| |的大小. 【解析】设 A(2,y0),B(x1,y1), =(1,y0), =(x1-1,y1),由 =3 , 得(1,y0)=3(x1-1,y1), 所以 又点 B 在椭圆 C 上, 所以 + =1,解得 y0=±1, 所以 A 点坐标为(2,±1), 所以| |= = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆 + =1(a>b>0)的焦点分别为 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. (1)求椭圆的方程. (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值. 【解析】(1)由题意得椭圆焦点在 y 轴上,且 c=1. 又因为 3a2=4b2,所以 a2-b2= a2=c2=1, 所以 a2=4,b2=3, 所以椭圆标准方程为 + =1. (2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1. 又由椭圆定义知, |PF1|+|PF2|=4, 所以|PF1|= ,|PF2|= , |F1F2|=2, cos∠F1PF2= = . 6.(2016·连云港高二检测)设 F1,F2 分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点,B 为椭圆上的点且坐 标为(0,-1). (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值. (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点,且 =λ ,求λ的值. (3)设 P 是该椭圆上的一个动点,求△PBF1 的周长的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的方程为 +y2=1, 所以 a=2,b=1,c= , 即|F1F2|=2 , 又因为|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF1|·|PF2|≤ = =4, 当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”, 所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4. (2)设 C(x0,y0),B(0,-1),F1(- ,0), 由 =λ 得 x0= ,y0=- . 又 + =1,所以有λ2+6λ-7=0, 解得λ=-7 或λ=1,C 异于 B 点,故λ=1 舍去.所以λ=-7. (3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|, 所以△PBF1 的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8, 所以当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时,△PBF1 周长最大,最大值为 8. 关闭 Word 文档返回原板块