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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修4-4练习:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介word版含解析

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第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介 A 级 基础巩固 一、选择题 1.点 M 的直角坐标为( 3,1,-2),则它的柱坐标为( ) A. 2,π 6 ,2 B. 2,π 3 ,2 C. 2,π 6 ,-2 D. 2,-π 6 ,-2 解析:ρ= ( 3)2+12=2,tan θ= 1 3 = 3 3 ,θ=π 6 ,所以点 M 的柱坐标为 2,π 6 ,-2 . 答案:C 2.已知点 M 的球坐标为 1,π 3 ,π 6 ,则它的直角坐标为( ) A. 1,π 3 ,π 6 B. 3 4 , 3 4 ,1 2 C. 3 4 ,3 4 ,1 2 D. 3 4 ,3 4 , 3 2 解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), 因为点 M 的球坐标为 1,π 3 ,π 6 , 所以 x=1·sin π 3cos π 6 =3 4 , y=1·sin π 3sin π 6 = 3 4 , z=1·cos π 3 =1 2. 所以 M 的直角坐标为 3 4 , 3 4 ,1 2 . 答案:B 3.已知点P的柱坐标为 2,π 4 ,5 ,点Q的球坐标为 6,π 3 ,π 6 , 则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.点 P(5,1,1),点 Q 3 6 4 ,3 2 4 , 6 2 B.点 P(1,1,5),点 Q 3 6 4 ,3 2 4 , 6 2 C.点 P 3 6 4 ,3 2 4 , 6 2 ,点 Q(1,1,5) D.点 P(1,1,5),点 Q 6 2 ,3 6 4 ,3 2 4 答案:B 4.在空间直角坐标系中的点 M(x,y,z),若它的柱坐标为 3,π 3 ,3 ,则它的球坐标为( ) A. 3,π 3 ,π 4 B. 3 2,π 3 ,π 4 C. 3,π 4 ,π 3 D. 3 2,π 4 ,π 3 解析:因为 M 点的柱坐标为 M 3,π 3 ,3 ,设点 M 的直角坐标 为(x,y,z). 所以 x=3cos π 3 =3 2 ,y=3sin π 3 =3 3 2 ,z=3, 所以 M 点的直角坐标为 3 2 ,3 3 2 ,3 . 设点 M 的球坐标为(γ,φ,θ). γ是球面的半径,φ为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角, θ为向量 OM 与 z 轴正方向夹角. 所以 r= 9 4 +27 4 +9=3 2,容易知道φ=π 3 ,同时结合点 M 的 直角坐标为 3 2 ,3 3 2 ,3 , 可知 cos θ=z γ = 3 3 2 = 2 2 , 所以θ=π 4 , 所以 M 点的球坐标为 3 2,π 3 ,π 4 . 答案:B 5.在直角坐标系中,点(2,2,2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为 ( ) A. 2 2,3π 4 ,2 B. 2 2,π 4 ,2 [来源:Zxxk.Com] C. 2 2,5π 4 ,2 D. 2 2,7π 4 ,2 解析:(2,2,2)关于 z 轴的对称点为(-2,-2,2),[来源:学科网] 则ρ= (-2)2+(-2)2=2 2,tan θ=y x =-2 -2 =1, 因为点(-2,-2)在平面 Oxy 的第三象限内, 所以θ=5π 4 , 所以所求柱坐标为 2 2,5π 4 ,2 . 答案:C 二、填空题 6.已知点 M 的球坐标为 4,π 4 ,3π 4 ,则它的直角坐标为_______, 它的柱坐标是________. 答案:(-2,2,2 2) 2 2,3π 4 ,2 2 7.已知在柱坐标系中,点 M 的柱坐标为 2,2π 3 , 5 ,且点 M 在数轴 Oy 上的射影为 N,则|OM|=________,|MN|=________. 解析:设点 M 在平面 xOy 上的射影为 P,连接 PN,则 PN 为线 段 MN 在平面 xOy 上的射影. 因为 MN⊥直线 Oy,MP⊥平面 xOy, 所以 PN⊥直线 Oy. 所以|OP|=ρ=2,|PN|=|ρcos 2π 3 |=1, 所以|OM|= ρ2+z2= 22+( 5)2=3. 在 Rt△MNP 中,∠MPN=90°, 所以|MN|= |PM|2+|PN|2= ( 5)2+12= 6. 答案:3 6 8.若点P的柱坐标为 3,π 3 ,3 ,则点P的球坐标为___________. 解析:点 P 的柱坐标为 3,π 3 ,3 , 则点 P 的直角坐标为 3 2 ,3 3 2 ,3 , 故 r= 3 2 2+ 3 3 2 2+32=3 2. 由 3=3 2cos φ,cos φ= 2 2 ,得φ=π 4 , 又 tan θ= 3 3 2 3 2 = 3,又θ的终边过点 3 2 ,3 3 2 ,0 , 故θ为π 3 , 故点 P 的球坐标为 3 2,π 4 ,π 3 . 答案: 3 2,π 4 ,π 3 三、解答题 9.设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求点 M 的柱坐标与球坐 标. 解:由坐标变换公式,可得ρ= x2+y2= 2, tan θ=y x =1, θ=π 4(点 1,1)在平面 xOy 的第一象限. r= x2+y2+z2= 12+12+( 2)2=2. 由 rcos φ=z= 2(0≤φ≤π),得 cos φ= 2 r = 2 2 ,φ=π 4. 所以点 M 的柱坐标为 2,π 4 , 2 ,球坐标为 2,π 4 ,π 4 . 10.在球坐标系中,求两点 P 3,π 6 ,π 4 、Q 3,π 6 ,3π 4 的距离. 解:将 P,Q 两点的球坐标转化为直角坐标: P:x=3sin π 6cos π 4 =3 2 4 , y=3sin π 6sin π 4 =3 2 4 , z=3cos π 6 =3 3 2 , 所以点 P 的直角坐标为 3 2 4 ,3 2 4 ,3 3 2 . Q:x=3sin π 6cos 3π 4 =-3 2 4 , y=3sin π 6sin 3π 4 =3 2 4 , z=3cos π 6 =3 3 2 , 所以点 Q 的直角坐标为 -3 2 4 ,3 2 4 ,3 3 2 .[来源:学科网] 所 以 |PQ| = 3 2 4 +3 2 4 2+ 3 2 4 -3 2 4 2+ 3 3 2 -3 3 2 2 = 3 2 2 ,故 P、Q 两点间的距离为3 2 2 . B 级 能力提升 1.已知点 P1 的球坐标为 4,π 2 ,5π 3 ,P2 的柱坐标为 2,π 6 ,1 , 则|P1P2|=( ) A. 21 B. 29 C. 30 D.4 2 解析:设点 P1 的直角坐标为(x1,y1,z1), 则 x1=4sin π 2cos 5π 3 , y1=4sin π 2sin 5π 3 , z1=4cos π 2 , 得 x1=2, y1=-2 3, z1=0. 故 P1(2,-2 3,0), 设点 P2 的直角坐标为 P2(x2,y2,z2), 故 x2=2cos π 6 , y2=2sin π 6 , z2=1, 得 x2= 3, y2=1, z2=1. 故 P2( 3,1,1). 则|P1P2|= (2- 3)2+(-2 3-1)2+(0-1)2= 21. 答案:A 2.在柱坐标系中,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个顶点在原点, 另两个顶点坐标分别为 A1(8,0,10),C1 6,π 2 ,10 ,则此长方体外 接球的体积为________. 答案:1 000 2 3 π 3.设地球的半径为 R,在球坐标系中,点 A 的坐标为(R,45°, 70°),点 B 的坐标为(R,45°,160°),求 A,B 两点间的球面距 离. 解:设纬度圈的圆心为 O′,地球球心为 O, 如图所示,OA=OB=R,由点 A,B 的球坐标可知,[来源:学科网 ZXXK] ∠BOO′=45°,∠AOO′=45°, 这两个点都在北纬 90°-45°=45°圈上. 则∠xOQ=70°,∠xOH=160°, 所以∠AO′B=160°-70°=90°.[来源:学科网 ZXXK] 因为 OB=R,O′B=O′A= 2 2 R, 所以 AB=R.则 AO=BO=AB=R. 所以∠AOB=60°,AB ︵ =1 6 ×2πR=1 3πR. 即 A,B 两点间的球面距离为1 3πR.