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- 2021-06-16 发布
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第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A 级 基础巩固
一、选择题
1.点 M 的直角坐标为( 3,1,-2),则它的柱坐标为( )
A. 2,π
6
,2 B. 2,π
3
,2
C. 2,π
6
,-2 D. 2,-π
6
,-2
解析:ρ= ( 3)2+12=2,tan θ= 1
3
= 3
3
,θ=π
6
,所以点 M
的柱坐标为 2,π
6
,-2 .
答案:C
2.已知点 M 的球坐标为 1,π
3
,π
6 ,则它的直角坐标为( )
A. 1,π
3
,π
6 B.
3
4
, 3
4
,1
2
C.
3
4
,3
4
,1
2 D.
3
4
,3
4
, 3
2
解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),
因为点 M 的球坐标为 1,π
3
,π
6 ,
所以 x=1·sin π
3cos π
6
=3
4
,
y=1·sin π
3sin π
6
= 3
4
,
z=1·cos π
3
=1
2.
所以 M 的直角坐标为
3
4
, 3
4
,1
2 .
答案:B
3.已知点P的柱坐标为 2,π
4
,5 ,点Q的球坐标为 6,π
3
,π
6 ,
则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A.点 P(5,1,1),点 Q
3 6
4
,3 2
4
, 6
2
B.点 P(1,1,5),点 Q
3 6
4
,3 2
4
, 6
2
C.点 P
3 6
4
,3 2
4
, 6
2 ,点 Q(1,1,5)
D.点 P(1,1,5),点 Q
6
2
,3 6
4
,3 2
4
答案:B
4.在空间直角坐标系中的点 M(x,y,z),若它的柱坐标为
3,π
3
,3 ,则它的球坐标为( )
A. 3,π
3
,π
4 B. 3 2,π
3
,π
4
C. 3,π
4
,π
3 D. 3 2,π
4
,π
3
解析:因为 M 点的柱坐标为 M 3,π
3
,3 ,设点 M 的直角坐标
为(x,y,z).
所以 x=3cos π
3
=3
2
,y=3sin π
3
=3 3
2
,z=3,
所以 M 点的直角坐标为
3
2
,3 3
2
,3 .
设点 M 的球坐标为(γ,φ,θ).
γ是球面的半径,φ为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角,
θ为向量 OM 与 z 轴正方向夹角.
所以 r= 9
4
+27
4
+9=3 2,容易知道φ=π
3
,同时结合点 M 的
直角坐标为
3
2
,3 3
2
,3 ,
可知 cos θ=z
γ
= 3
3 2
= 2
2
,
所以θ=π
4
,
所以 M 点的球坐标为 3 2,π
3
,π
4 .
答案:B
5.在直角坐标系中,点(2,2,2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为
( )
A. 2 2,3π
4
,2 B. 2 2,π
4
,2
[来源:Zxxk.Com]
C. 2 2,5π
4
,2 D. 2 2,7π
4
,2
解析:(2,2,2)关于 z 轴的对称点为(-2,-2,2),[来源:学科网]
则ρ= (-2)2+(-2)2=2 2,tan θ=y
x
=-2
-2
=1,
因为点(-2,-2)在平面 Oxy 的第三象限内,
所以θ=5π
4
,
所以所求柱坐标为 2 2,5π
4
,2 .
答案:C
二、填空题
6.已知点 M 的球坐标为 4,π
4
,3π
4 ,则它的直角坐标为_______,
它的柱坐标是________.
答案:(-2,2,2 2) 2 2,3π
4
,2 2
7.已知在柱坐标系中,点 M 的柱坐标为 2,2π
3
, 5 ,且点 M
在数轴 Oy 上的射影为 N,则|OM|=________,|MN|=________.
解析:设点 M 在平面 xOy 上的射影为 P,连接 PN,则 PN 为线
段 MN 在平面 xOy 上的射影.
因为 MN⊥直线 Oy,MP⊥平面 xOy,
所以 PN⊥直线 Oy.
所以|OP|=ρ=2,|PN|=|ρcos 2π
3 |=1,
所以|OM|= ρ2+z2= 22+( 5)2=3.
在 Rt△MNP 中,∠MPN=90°,
所以|MN|= |PM|2+|PN|2= ( 5)2+12= 6.
答案:3 6
8.若点P的柱坐标为 3,π
3
,3 ,则点P的球坐标为___________.
解析:点 P 的柱坐标为 3,π
3
,3 ,
则点 P 的直角坐标为
3
2
,3 3
2
,3 ,
故 r=
3
2
2+
3 3
2
2+32=3 2.
由 3=3 2cos φ,cos φ= 2
2
,得φ=π
4
,
又 tan θ=
3 3
2
3
2
= 3,又θ的终边过点
3
2
,3 3
2
,0 ,
故θ为π
3
,
故点 P 的球坐标为 3 2,π
4
,π
3 .
答案: 3 2,π
4
,π
3
三、解答题
9.设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求点 M 的柱坐标与球坐
标.
解:由坐标变换公式,可得ρ= x2+y2= 2,
tan θ=y
x
=1,
θ=π
4(点 1,1)在平面 xOy 的第一象限.
r= x2+y2+z2= 12+12+( 2)2=2.
由 rcos φ=z= 2(0≤φ≤π),得 cos φ= 2
r
= 2
2
,φ=π
4.
所以点 M 的柱坐标为 2,π
4
, 2 ,球坐标为 2,π
4
,π
4 .
10.在球坐标系中,求两点 P 3,π
6
,π
4 、Q 3,π
6
,3π
4 的距离.
解:将 P,Q 两点的球坐标转化为直角坐标:
P:x=3sin π
6cos π
4
=3 2
4
,
y=3sin π
6sin π
4
=3 2
4
,
z=3cos π
6
=3 3
2
,
所以点 P 的直角坐标为
3 2
4
,3 2
4
,3 3
2 .
Q:x=3sin π
6cos 3π
4
=-3 2
4
,
y=3sin π
6sin 3π
4
=3 2
4
,
z=3cos π
6
=3 3
2
,
所以点 Q 的直角坐标为 -3 2
4
,3 2
4
,3 3
2 .[来源:学科网]
所 以 |PQ| =
3 2
4
+3 2
4
2+
3 2
4
-3 2
4
2+
3 3
2
-3 3
2
2 =
3 2
2
,故 P、Q 两点间的距离为3 2
2 .
B 级 能力提升
1.已知点 P1 的球坐标为 4,π
2
,5π
3 ,P2 的柱坐标为 2,π
6
,1 ,
则|P1P2|=( )
A. 21 B. 29
C. 30 D.4 2
解析:设点 P1 的直角坐标为(x1,y1,z1),
则
x1=4sin π
2cos 5π
3
,
y1=4sin π
2sin 5π
3
,
z1=4cos π
2
,
得
x1=2,
y1=-2 3,
z1=0.
故 P1(2,-2 3,0),
设点 P2 的直角坐标为 P2(x2,y2,z2),
故
x2=2cos π
6
,
y2=2sin π
6
,
z2=1,
得
x2= 3,
y2=1,
z2=1.
故 P2( 3,1,1).
则|P1P2|= (2- 3)2+(-2 3-1)2+(0-1)2= 21.
答案:A
2.在柱坐标系中,长方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个顶点在原点,
另两个顶点坐标分别为 A1(8,0,10),C1
6,π
2
,10 ,则此长方体外
接球的体积为________.
答案:1 000 2
3 π
3.设地球的半径为 R,在球坐标系中,点 A 的坐标为(R,45°,
70°),点 B 的坐标为(R,45°,160°),求 A,B 两点间的球面距
离.
解:设纬度圈的圆心为 O′,地球球心为 O,
如图所示,OA=OB=R,由点 A,B 的球坐标可知,[来源:学科网 ZXXK]
∠BOO′=45°,∠AOO′=45°,
这两个点都在北纬 90°-45°=45°圈上.
则∠xOQ=70°,∠xOH=160°,
所以∠AO′B=160°-70°=90°.[来源:学科网 ZXXK]
因为 OB=R,O′B=O′A= 2
2 R,
所以 AB=R.则 AO=BO=AB=R.
所以∠AOB=60°,AB
︵ =1
6
×2πR=1
3πR.
即 A,B 两点间的球面距离为1
3πR.
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