山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试卷（A） Word版含解析 24页

- 1 - 2020－2021 学年度第一学期期中考试高三数学试题（A） 第 I 卷选择题 一、单项选择题 1. 已知集合  2 4A x x ∣ ，  2 1xB x ∣ ，则 A B 等于（ ） A. [ 2,1) B. [ 2,0) C. (1,2] D. [ 2, )  【答案】B 【解析】 【分析】 先利用一元二次不等式与指数不等式的解法求出集合 A ， B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】  2 4 { | 2 2}A x x x x      ∣ ，  2 1 { | 0}xB x x x   ∣ ，  { | 2 0} 2,0A B x x        ． 故选： B ． 2. 已知i 为虚数单位，若 2 1 m i i   是纯虚数，则实数 m 的值为（ ） A. 1 2 B. 1 2  C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简复数 2 1 m i i   ，再根据复数是纯虚数即可列式求解. 【详解】       2 12 2 2 1 1 1 2 2 m i im i m m ii i i         ， 又 2 1 m i i   是纯虚数， 2 02 2 02 m m     ，解得 2m  . 故选：C. - 2 - 3. 在 ABC 中，角 A 、B 所对的边长分别为 a 、b ，则“ a b ”是“ cos cos a A b B  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由 cos cos a A b B  结合正弦定理求得 A B ，进而判断可得出结论. 【详解】若 cos cos a A b B  ，由正弦定理可得 sin cos sin cos A A B B  ， 所以，sin cos cos sin 0A B A B  ，即  sin 0A B  ， 0 A   ， 0 B   ，可得 A B     ，所以， 0A B  ， A B  . 由 a b A B   可知， cos cos a Aa b b B    . 因此，“ a b ”是“ cos cos a A b B  ”的充要条件. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法. 4. 如果向量 a ， b 的夹角为 ，我们就称 a b  为向量 a 与 b 的“向量积”， a b  还是一个 向量，它的长度为| | | | | sina b a b      ∣ ，如果| | 10a  ，| | 2b  ， 12a b   ，则| | =a b  （ ） A. 16 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 - 3 - 利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得 结果. 【详解】因为 | | | | cos 10 2cos 12a b a b           ， 所以 3cos 5    ，因为 [0, ]  ，所以 4sin 5   ， 所以 4| | | | | | sin 10 2 165a b a b          . 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据平面向量数量积的定义求出夹角的余弦值,进而求出其正弦值是解 题关键. 5. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2log 1 SC W N      ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带 宽W 、信道内信号的平均功率 S 、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 S N 叫做信噪比. 当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而 将信噪比 S N 从 1000 提升至 5000，则C 大约增加了（ ） 附： 2lg 0.3010 A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得C 的增加比率为 2 2 2 log (1 5000) log (1 1000) log (1 1000) W W W     ，再由对数的运算性质求解． 【详解】将信噪比 S N 从 1000 提升至 5000 时， C 增加比率为 2 2 2 log (1 5000) log (1 1000) log (1 1000) W W W     2 2 2 lg5000 lg1000 log 5001 log 1001 lg2 lg2 lg1000log 1001 lg2   1 lg2 0.23 23%3    ． 故选： B ． - 4 - 6. 已知函数 ( )y f x 的图象如图所示，则此函数可能是（ ） A. sin 6( ) 2 2x x xf x   B. sin 6( ) 2 2x x xf x   C. cos6( ) 2 2x x xf x   D. cos6( ) 2 2x x xf x   【答案】D 【解析】 【分析】 由函数图象可得 ( )y f x 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时，   0f x  ，依次判断每个函数 即可得出. 【详解】由函数图象可得 ( )y f x 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时，   0f x  ， 对于 A，当 x 从右趋近于 0 时， sin 6 0x  ， 2 2x x  ，故   0f x  ，不符合题意，故 A 错 误； 对于 B，    sin 6 sin 6( ) 2 2 2 2x x x x x xf x f x       ，  f x 是偶函数，不符合题意，故 B 错 误； 对于 C，    cos 6 cos6( ) 2 2 2 2x x x x x xf x f x       ，  f x 是偶函数，不符合题意，故 C 错误； 对于 D，    cos 6 cos6( ) 2 2 2 2x x x x x xf x f x        ，  f x 是奇函数，当 x 从右趋近于 0 时， cos6 0x  ， 2 2x x ，   0f x  ，符合题意，故 D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： - 5 - (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7. 已知数列 na 为等差数列，首项为 2，公差为 3，数列 nb 为等比数列，首项为 2，公比为 2，设 nn bc a ， nT 为数列 nc 的前 n 项和，则当 2020nT  时， n 的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列 nc 的通项公式，利用数列的分 组求和法可得数列 nc 的前 n 项和 nT ，验证得答案． 【详解】解：由题意得： 32 3 ( 1) 1na n n    ， 2n nb  ， 2 3 2 1nn n n bc a a    ， 1 2 3nT c c c     … nc 1 2 33 2 1 3 2 1 3 2 1          … 3 2 1n    1 2 33 2 2 2     … 2n n   2 1 2 3 1 2 n n      13 2 6n n    ， 当 8n  时， 9 8 3 2 6 8 1522 2020T       ； 当 9n  时， 10 9 3 2 6 9 3057 2020T       ， n 的最大值为8 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出数列 nc 的通项公式，利用分组求和求出数列 - 6 -  nc 的前 n 项和 nT . 8. 已知函数     1 2 2 1, 2 2 , 2x a x a xf x a x        （ 0a  且 1a  ），若  f x 有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 30, 4      B. 31, 2      C.   30,1 1, 2     D. 3 30, 1,4 2          【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数  f x 有最小值可得出函数  2 2 1y a x a    的单调性，然后对函数 12 xy a  在 区间  2, 上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数 a 的不等式组，综合可得出实数 a 的 取值范围. 【详解】由于函数  f x 有最小值，则函数  2 2 1y a x a    在区间 ,2 上不为增函数， 可得 2 0a   . 当 2a  时，   5, 2 2 , 2x xf x x    ， 22 5 ，此时函数  f x 无最小值； 当 2 0a   时，即当 2a  时，函数  2 2 1y a x a    在区间  ,2 上为减函数， ①若函数 12 xy a  在 2, 上为增函数，则 1a  ， 且有   2 12 2 2 1 2a a a     ，即 2 3 0a   ，解得 3 2a  ，此时 31 2a  ； ②若函数 12 xy a  在 2, 上为减函数，则 0 1a  ， 且 12 0xa   ，所以，  2 2 2 1 0a a    ，即 4 3 0a   ，解得 3 4a  ，此时 30 4a  . 综上所述，实数 a 的取值范围是 3 30, 1,4 2          . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支 - 7 - 函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于 忽略函数 12 xy a  在区间 2, 上单调递减，忽略  2 2 2 1 0a a    这一条件的分析， 进而导致求解出错. 二、多项选择题 9. 若正实数 a ，b 满足 1a b  ，则下列选项中正确的是（ ） A. ab 有最大值 1 4  B. a b 有最小值 2 C. 1 1 a b  有最小值 4 D. 2 2a b 有最小值 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由基本不等式知 1 4ab  ，结合特殊值法即可判断选项的正误. 【详解】 2a b ab  当且仅当 a b 时等号成立，即 1 4ab  ，故 A 错误； B 中，若 1 8,9 9a b  ，有 2 2 1 23a b    ，即最小值不为 2 ，错误； C 中， 1 1 4a b a b ab    ，正确； D 中，若 1 2,3 3a b  ，有 2 2 1 4 5 2 9 9 9 2a b     ，即最小值不 为 2 2 ，错误； 故选：C 10. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M ， N 分别为棱 1 1C D ， 1C C 的 中点，则下列结论正确的是（ ） - 8 - A. 直线 AM 与 BN 是平行直线 B. 直线 BN 与 1MB 是异面直线 C. 直线 MN 与 AC 所成的角为 60° D. 平面 BMN 截正方体所得的截面面 积为 9 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据异面直线的定义直接判断 AB 选项，根据 1/ /MN D C ，转化求异面直线所成的角，利用 确定平面的依据，作出平面 BMN 截正方体所得的截面，并求面积. 【详解】A.直线 AM 与 BN 是异面直线，故 A 不正确； B.直线 BN 与 1MB 是异面直线，故 B 正确； C. 由条件可知 1/ /MN D C ，所以异面直线 MN 与 AC 所成的角为 1ACD ， 1ACD△ 是等边三 角形，所以 1 60ACD   ，故 C 正确； - 9 - D.如图，延长 MN ，并分别与 1DD 和 DC 交于 ,E F ，连结 ,EA GB 交于点 F ，连结 1 ,A M BN ， 则四边形 1A BNM 即为平面 BMN 截正方体所得的截面，由对称性可知，四边形 1A BNM 是等 腰梯形， 12, 2 2MN A B  ， 1 5AM BN  ，则梯形的高是 ( ) 2 2 2 3 25 2 2h 骣琪= - =琪桫 ，所以梯形的面积  1 3 2 92 2 22 2 2S      ，故 D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查以正方体为载体，判断异面直线，截面问题，本题关键选项 是 D，首先要作出平面 BMN 与正方体的截面，即关键作出平面 EFG . 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米 德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR ，用 x 表示不 超过 x 的最大整数，则  y x 称为高斯函数，例如： 3 5] 4[ ．＝ ， 2.1 2＝ ，已知函数 2 1( ) 1 2 x x ef x e   ， ( ) [ ( )]g x f x ，则下列叙述正确的是（ ） - 10 - A. ( )g x 是偶函数 B. ( )f x 在 R 上是增函数 C. ( )f x 的值域是 1 ,2      D. ( )g x 的值域是{ 1,0,1} 【答案】B 【解析】 【分析】 计算 ( 2), (2)g g 得出    2 2g g  判断选项 A 不正确；通过分离常数结合复合函数的单调 性，可得出 ( )f x 在 R 上是增函数，判断选项 B 正确；由 xy e 的范围，利用不等式的关系， 可求出 1 5( )2 2f x  ，进而判断选项 CD 不正确，即可求得结果. 【详解】对于 A，根据题意知， 2 1 5 2( ) 1 2 2 1 x x x ef x e e      . ∵ 2 5 2(2) [ (2)] 22 1g f e        ， 2 2 2 2 1 2 1( 2) [ ( 2)] 01 2 1 2 eg f e e                    ， (2) ( 2)g g   ，∴函数 ( )g x 不是偶函数，故 A 错误； 对于 B， 1 xy e  在 R 上是增函数，则 2 1 xy e   在 R 上是减函数，则 5 2( ) 2 1 xf x e    在 R 上是增函数，故 B 正确； 对于 C， 0xe  ， 1 1xe   ， 2 20 2, 2 0,1 1x xe e        1 5( )2 2f x   ，即 ( )f x 的值域是 1 5,2 2      ，故 C 错误； 对于 D， ( )f x 的值域是 1 5,2 2      ，则 ( )g x 的值域是{0,1,2}，故 D 错误. 故选：B. 【点睛】本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于 较难题. - 11 - 12. 已知函数 ( ) sin( )( 0)f x x     满足    0 0 21 2f x f x   ，且 ( )f x 在  0 0, 1x x  上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ） A. 0 1 12f x     B. 若 0 0x  ，则 ( ) sin 4f x x      C. ( )f x 的最小正周期为 4 D. ( )f x 在 (0,2020) 上的零点个数最少 为 1010 个 【答案】AC 【解析】 【分析】 解：对 A，根据正弦函数图象的对称性可判断；对 B，令 0 0x  代入  0 2 2f x  ，以及 0 1 12f x     ，即可求出 ,  ，进而求得  f x ；对 C，根据 2T   ，即可求出最小正周 期；对 D，由 4T  可得函数 ( )f x 在区间 (0,2020) 上的长度恰好为505 个周期，令 (0) 0f  ， 即可判断． 【详解】解：对 A，  0 0, 1x x  的区间中点为 0 1 2x  ， 根据正弦曲线的对称性知 0 1 12f x     ，故 A 正确； 对 B，若 0 0x  ， 则   20 sin 2 1 1sin 12 2 f f                     ， ( )f x 在 0 0, 1x x  上有最大值，无最小值，  24 k    ，则  42 k k z    ，    ，故 B 错误； - 12 - 对 C，     0 0 0 0 2 11 sin 12 2 2sin 2 xf x f x x                       ， 又 ( )f x 在  0 0, 1x x  上有最大值，无最小值， 0 0 2 1 22 2 24 x k x k               ，(其中 k z )， 解得： 2   ， 2 2 4 2 T       ，故 C 正确； 对 D，当 4T  时， 区间 (0,2020) 的长度恰好为505 个周期， 当  0 0f  时，即 k  时，  f x 在开区间 (0,2020) 上零点个数至多为 505 2 1010  个零点，故 D 错误. 故选 AC. 【点睛】关键点点睛：对关于三角函数命题的真假问题，结合三角函数的图象与性质，利用 特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键． 第 II 卷非选择题 三、填空题 13. 已知角 的终边经过点  3,4P  ，则sin 2cos  的值等于______. 【答案】 2 5  【解析】 【分析】 根据三角函数定义求出 sin 、 cos 的值，由此可求得sin 2cos  的值. 【详解】由三角函数的定义可得  2 2 3 3cos 53 4       ，  2 2 4 4sin 53 4      ， - 13 - 因此， 4 3 2sin 2cos 25 5 5             . 故答案为： 2 5  . 14. 已知曲线 2 3lny x x  的一条切线的斜率为 1 ，则该切线的方程为______. 【答案】 2 0x y   【解析】 【分析】 设出切点坐标，利用函数在切点处的斜率为 1 即可求出切点，进而求出切线方程. 【详解】设切点为  0 0,x y ， 32y x x    ， 0 0 32 1x x     ，解得 0 3 2x   （舍去）或 0 1x  ， 0 1y  ， 故切线方程为  1 1 1y x     ，即 2 0x y   . 故答案为： 2 0x y   . 15. 已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 3) (3 ) 0f x f x    ，且当 ( 3,0)x  时， 2( ) log ( 3)f x x a   ，若 (7) 2 (11)f f ，则实数 a ______. 【答案】1 【解析】 【分析】 由抽象形式的变形得到函数的周期为 6，并根据条件求出  1 0f   ，最后代入函数解析式求 a . 【详解】因为函数是奇函数，所以    3 3f x f x    ， 即            3 3 3 3 0, 3 3f x f x f x f x f x f x           ，所以函数  f x 的 周期为 6，          7 2 11 1 2 1 2 1f f f f f      ，即  1 0f  ，    1 1 0f f    ， 而   21 log 2 0f a    ，解得： 1a  . - 14 - 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数是奇函数，有    3 3f x f x    ，结合条 件，得到函数的周期为 6. 16. 如图，正四面体 A BCD 的棱长为 2 ，点 E 、 F 分别是棱 BD 、 BC 的中点，则该正四 面体的内切球半径为______；平面 AEF 截该内切球所得截面的面积为______. 【答案】 (1). 6 6 (2). 4 33  【解析】 【分析】 计算出正四面体 A BCD 的体积 V 以及表面积 S ，可求得该正四面体的内切球半径为 3VR S  ，找出球心的位置，计算出球心到截面 AEF 的距离 d ，利用勾股定理可求得平面 AEF 截该内切球所得截面圆的半径为 22 dRr  ，进而可求得截面圆的面积. 【详解】如下图所示： 设点 A 在底面 BCD内的射影为点 N ，则正四面体 A BCD 的球心O 在 AN 上， 等边 BCD△ 的外接圆半径为 2 2 3 2sin60 3BN   ， - 15 - 所以， 2 2 2 6 3AN AB BN   ， 所以，正四面体 A BCD 的体积为 21 1 1 3 2 6 2 223 3 2 2 3 3BCDV S AN       △ ， 正四面体 A BCD 的表面积为 21 34 2 4 32 2S      ， 设该正四面体的内切球半径为 R ，则 1 3V S R  ，可得 3 6 6 VR S   ， 设 EF BH M ，连接 AM ，连接 BN 并延长交 CD 于点 H ，则 H 为 CD 的中点，连接 AH ， 过点O 在平面 ABH 内作OP AM ，垂足为点 P ， AN  平面 BCD， EF  平面 BCD， EF AN  ， H 为CD 的中点，且 BCD△ 为等边三角形，所以， BH CD ， E 、 F 分别是棱 BD 、 BC 的中点，则 //EF CD ， EF BH  ， AN BH N  ， EF  平面 ABH ， OP  平面 ABH ， OP EF  ， OP AM ， AM EF M ， OP  平面 AEF ， EF 为 BCD△ 的一条中位线，且 EF BH M ，则 M 为 BH 的中点， 所以， 1 3 2 2BM BH  ， 3 6MN BN BM    ， AN  平面 BCD， MN  平面 BCD， AN MN  ， 2 2 11 2AM AN MN    ， 6 2AO AN ON AN R     ，由sin MN OPMAN AM OA    ，可得 22 22OP  ， 易知，平面 AEF 截正四面体 A BCD 内切球的截面为圆， 且该圆的半径为 2 2 2 33 r R OP   ， 因此，截面圆的面积为 2 4 33r   . - 16 - 故答案为： 6 6 ； 4 33  . 【点睛】结论点睛：表面积为 S ，体积为V 的棱锥的内切球的半径为 3Vr S  . 四、解答题 17. 已知 a ，b ， c 分别为 ABC 的三个内角 A ， B ，C 的对边， ( )(sin sin ) ( )sinb c B C a c A    . （1）求 B ； （2）若 4b  ， ABC 的面积为 4 3 ，求 a c . 【答案】（1） 3  ；（2）8. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知等式可得 2 2 2b a c ac   ，由余弦定理可得 1cos 2B  ，结合范 围 0 B   ，可求 B 的值． （2）由已知利用三角形的面积公式可求 ac 的值，进而利用余弦定理可求 a c 的值． 【详解】（1）由 ( )(sin sin ) ( )sinb c B C a c A    ， 根据正弦定理可得 ( )( ) ( )b c b c a c a    ， 即 2 2 2b a c ac   ， 2 2 2ac a c b   由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 得 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac    ， 由于 0 B   ，所以 3B  . （2）因为 ABC 的面积为 4 3 ， 所以 1 3sin 4 32 4ac B ac  ，即 16ac  ， 因为 2 2 2 16b a c ac    ，所以 2 2 32a c  ， - 17 - 所以 2 2 2 8a c a c ac     【点睛】方法点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一 个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇 到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要 考虑两个定理都有可能用到. 18. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生 产口罩的固定成本为 400 万元，每生产 x 万箱，需另投入成本  p x 万元，当产量不足 60 万 箱时，   21 502p x x x  ；当产量不小于 60 万箱时，   6400101 1860p x x x    ，若每箱 口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润 y （万元）关于产量 x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】（1） 21 50 400,0 602 64001460 , 60 x x x y x xx               ；（2）80 万箱. 【解析】 【分析】 （1）分 0 60x  和 60x  两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售 利润 y （万元）关于产量 x （万箱）的函数关系式； （2）分 0 60x  和 60x  两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润 y 的最大值及其对应的 x 值，综合可得出结论. 【详解】（1）当 0 60x  时， 2 21 1100 50 400 50 4002 2y x x x x x           ； 当 60x  时， 6400 6400100 101 1860 400 1460y x x xx x                  . 所以， 21 50 400,0 602 64001460 , 60 x x x y x xx               ； - 18 - （2）当 0 60x  时， 2 21 150 400 ( 50) 8502 2y x x x        ， 当 50x  时， y 取得最大值，最大值为850 万元； 当 60x  时， 6400 64001460 1460 2 1300y x xx x           ， 当且仅当 6400x x  时，即 80x  时， y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80 万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元. 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序： 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合 理性． 19. 等比数列 na 中， 1a ， 2a ， 3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 1a ， 2a ， 3a 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 2 3 10 第二行 9 4 14 第三行 8 18 27 （1）求数列 na 的通项公式； （2）记 mb 为数列 na 在区间  (0, ]m m N 中的项的个数，求数列 mb 的前 100 项的和. 【答案】（1） 3n na  ；（2）284. 【解析】 【分析】 （1）由题可得等比数列 na 的首项为 3，公比为 3，即可得出通项公式； - 19 - （2）根据题意得出当 13 3n n mb   时， mb n ，再分组求和即可求出. 【详解】（1）由题意结合表中数据可得 1 3a  ， 2 9a  ， 3 27a  ， 所以等比数列 na 的首项为 3，公比为 3， 所以 na 的通项公式为 13 3 3n n na    ； （2）由题设及（1）知 1 2 0b b  ，且当 13 3n n mb   时， mb n . 所以          100 1 2 3 4 8 9 10 26 27 28 80 81 82 100S b b b b b b b b b b b b b b                     2 0 6 1 18 2 54 3 20 4          284 . 【点睛】解题关键：由题得出 1 2 0b b  ，且当 13 3n n mb   时， mb n 是解题的关键，再 利用分组求和即可. 20. 已知函数    sin 0, 06f x A x A        只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：① 图象上一个最低点为 2 , 23M     ；②函数  f x 的图象可由 2 sin 4y x      的图象平移 得到；③若对任意 xR ，      1 2f x f x f x  恒成立，且 1 2x x 的最小值为 2  . （1）请写出这两个条件序号，并求出  f x 的解析式； （2）求方程   1 0f x   在区间 ,  上所有解的和. 【答案】（1）①③， ( ) 2sin 2 6f x x      ；（2） 3  . 【解析】 【分析】 （1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数  f x 的最小正周期为 ， 可求得 2  ，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出 2A  ， 由此可得出函数  f x 的解析式； - 20 - （2）由   1 0f x   可得 1sin 2 6 2x      ，解得  x k k Z  或  3x k k Z   ， 再由  ,x    可求得结果. 【详解】（1）函数 ( ) sin 6f x A x      满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数   sin 6f x A x      满足的条件之一， 由③可知，函数  f x 的最小正周期为T  ，所以 2  ，故②不合题意， 所以函数   sin 6f x A x      满足的条件为①③； 由①可知 2A  ，所以   2sin 2 6f x x      （2）因为   1 0f x   ，所以 1sin 2 6 2x      ， 所以  2 26 6x k k Z     或  52 26 6x k k Z     ， 所以  x k k Z  或  3x k k Z   又因为  ,x    ，所以 x 的取值为  、 2 3  、 0 、 3  、 ， 所以方程   1 0f x   在区间 ,  上所有的解的和为 3  . 【点睛】方法点睛：根据三角函数    sinf x A x b    的基本性质求函数解析式的方法： （1）求 A 、    max min: 2 f x f xb A  ，    max min 2 f x f xb  ； （2）求出函数的最小正周期T ，进而得出 2 T   ； （3）取特殊点代入函数可求得 的值. 21. 如图，点C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A ， B ），已知 2AB  ， 7AE  ，四 边形 BEDC 为矩形，平面 ABC  平面 BCDE .设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为l . - 21 - （1）证明：l  平面 ACD ； （2）当三棱锥 A BCE 的体积最大时，求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 10 5 . 【解析】 【分析】 （1）先利用已知条件证明 BC ⊥平面 ACD ，再利用线面平行的性质定理证明 //l BC ，即证l  平面 ACD ； （2）先利用基本不等式探索 2AC  时三棱锥 A BCE 体积最大，再建立以C 为坐标原点 的空间直角坐标系（如图），计算平面 ADE 与平面 ABC 的法向量所成的夹角的余弦值，其绝 对值计算对应平面的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形 BEDC 为矩形，所以 CD CB ， 因为 ACB 是以 AB 为直径的圆上的圆周角，所以 BC AC ， 因为 AC DC C  ， AC ， DC  平面 ACD ，所以 BC ⊥平面 ACD 因为 //ED BC ， BC 平面 ADE ， DE  面 ADE ，所以 //BC 平面 ADE . 平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l ，得 //l BC . 因此 l  平面 ACD . （2）解： ABC 中，设 AC x ， 24 (0 2)BC x x    ， - 22 - 所以 21 1 42 2ABCS AC BC x x    △ ， 因为 7AE  ， 2AB  ，所以 3BE  ， 因为平面 ABC  平面 BCDE ，平面 ABC  平面 BCDE BC ， BE BC ， BE  平面 BCDE ，所以 BE 平面 ABC . 所以 1 3A BCE E ABC ABCV V S BE   △   2 2 2 2 23 3 3 4 34 46 6 6 2 3 x xx x x x          ， 当且仅当 2 24x x  ，即 2x  时，三棱锥 A BCE 体积的最大值为 3 3 ， 因为 //BE CD ，所以CD  平面 ABC . 以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CD 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 则 (0,0,0)C ， ( 2,0,0)A ， (0,0, 3)D ， (0, 2, 3)E ，所以 ( 2,0, 3)AD   ， (0, 2,0)DE  ，平面 ABC 的法向量 1 (0,0, 3)n  ， 设平面 ADE 的法向量 2 ( , , )n x y z ， 2 2 0 0 n AD n DE          ，所以 2 3 0 2 0 x z y     ， 取 3x  ，则 0y  ， 2z  ，即 2 ( 3,0, 2)n  ， 所以 1 2 1 2 1 2 6 10cos , 53 5 n nn n n n           ， 故平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 10 5 . - 23 - 【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路： 一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面 角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； 二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平 面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 22. 已知函数 ( ) ln ( )f x x ax a R   . （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）证明不等式 2 ( )xe ax f x   恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出函数导数，讨论 a 的范围结合导数即可得出单调性； （2）构造函数 2( ) lnxx e x   ，利用导数可得 ( )x  在 (0, ) 上有唯一实数根 0x ，且 01 2x  ，则可得  0( ) 0x x   ，即得证. 【详解】（1） 1 1( ) ( 0)axf x a xx x      ， 当 0a  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得到 1x a  ， 所以当 10,x a     时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增，当 1 ,x a      ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调 递减. 综上所述，当 0a  时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 当 0a  时， ( )f x 在 10, a      上单调递增，在 1 ,a     上单调递减. （2）设函数 2( ) lnxx e x   ， 则 2 1( ) xx e x     ，可知 ( )x  在 (0, ) 上单调递增. 又由 (1) 0  ， (2) 0  知， ( )x  在 (0, ) 上有唯一实数根 0x ，且 01 2x  ， - 24 - 则   0 2 0 0 1 0xx e x      ，即 0 2 0 1xe x   . 当  00,x x 时， ( ) 0x  ， ( ) x 单调递减； 当  0x x   时， ( ) 0x   ， ( ) x 单调递增； 所以   0 2 0 0( ) lnxx x e x     ，结合 0 2 0 1xe x   ，知 0 02 lnx x   ， 所以    22 00 0 0 0 0 0 0 12 11( ) 2 0xx xx x xx x x           ， 则 2( ) ln 0xx e x    ， 即不等式 2 ( )xe ax f x   恒成立. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明 2( ) lnxx e x   的最小值大于 0.