黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题 7页

‎2020—2021学年度 第一学期 期中考试 ‎ 高三理科数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。‎ （1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ （2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。‎ 一、选择题 ‎1．设集合，，则集合（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①对于命题，使得，则，均有．‎ ‎②是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件 ‎③命题“若，则”的逆否命题为真命题．‎ ‎④若为真命题，则为真命题．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．若 ，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）‎ A．96里 B．48里 C．192里 D．24里 ‎5．已知函数，若，，，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． D．‎ ‎7．函数在上既没有最大值又没有最小值，则取值值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．设函数， 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎9.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 ‎10．已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数的对称中心为，则_____________‎ ‎14．在中，角的对边分别是，已知的面积为，则=___________.‎ ‎15．已知函数在上是减函数，且对任意的、，总有，则实数的取值范围是________.‎ ‎16．已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题（第17题10分，其余大题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的对称轴；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值.‎ ‎18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，.‎ ‎（1）求边c的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎19．已知数列的首项，，‎ ‎（1）证明：数列是等比数列：‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎20．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 ‎(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；‎ ‎(2)当x∈[1，2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度､物流服务､服务态度､快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：‎ 评价指数 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（1）画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；‎ ‎（2）现将评价指数的商铺评为“合格商铺”，将评价指数的电子商铺评为“金牌商铺”，现从这100个商铺中任意抽取两个，记其中合格商铺的个数为，金牌商铺的个数为，求的分布列和期望.‎ ‎22．已知函数，，‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若在恒成立，求的取值范围；‎ ‎（III）当，时，证明：‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 高三理科试题答案 ‎1-5CBDAC6-10ACDAD 11-12CD ‎.‎ ‎17．（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.‎ ‎（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数.‎ 令()，解得()，‎ 所以函数的对称轴方程为：().‎ ‎（2）由于，‎ 所以，‎ 故.‎ 则：‎ 故当时，函数的最小值为.‎ 当时，函数的最大值为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.‎ ‎18．（1）4；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用正弦定理，角化为边，即可得到所求值；‎ ‎（2）运用余弦定理求得，可得，再由面积公式即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 由正弦定理可得，；‎ ‎（2），‎ 代入，，‎ 解出，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎19．（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 ‎【分析】‎ ‎（1）根据递推公式，得到，推出，即可证明数列是等比数列；‎ ‎（2）先由（1）求出，即，再由分组求和的方法，即可求出数列的和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：，，‎ ‎，‎ 又，，‎ 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查求数列的和，熟记等比数列的概念，等比数列的通项公式与求和公式，以及分组求和的方法即可，属于常考题型.‎ ‎20．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；（2）根据x∈[1，2]得|2x－1|=2x－1，再去绝对值分离变量，最后根据函数最值得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当a＝1时，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，‎ ‎∴①或②或③‎ 解①得0≤x＜，解②得≤x＜2，解③得x＝2.‎ 综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．‎ ‎(2)∵当x∈[1，2]时，f(x)≤3恒成立，‎ 即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，‎ 故2x－4≤2a－x≤4－2x，‎ 即3x－4≤2a≤4－x.‎ 再根据3x－4在x∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x的最小值为4－2＝2，‎ ‎∴2a＝2，∴a＝1，‎ 即a的取值范围为{1}．‎ ‎21．（1）答案见解析；（2）分布列答案见解析，期望为：.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据画出100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图.‎ ‎（2）先求得的所有可能取值，然后计算出分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 ‎（1）频率分布直方图如图；‎ ‎（2）设，由题可能的值有，，0，1，2，‎ ‎；；‎ ‎；；‎ ‎.‎ 所以分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查频率分布直方图，考查离散型随机变量分布列和数学期望.‎ ‎22．（I）见解析（II）（III）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）求导后，当时，恒成立，可知单调递增；当时，求出的解，从而可判断出的符号，从而得到的单调区间；（II）当时，可知；当时，，利用导数求解出使，的最大值，从而；当时，，可得，综合上述结果，可求得；（III）由（II）可知只需证得在上恒成立即可；构造函数，利用导数可证得结果，从而原不等式成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意知：‎ ‎（1）当时，恒成立 在定义域上单调递增 ‎（2）当时，令，解得：‎ 则，，变化情况如下表：‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页 极小值 的单调减区间为：，单调增区间为： ‎ ‎（II）（1）当时，原不等式化为：恒成立，可知 ‎（2）当时，则，令 则 ‎ 令，则 当时，，则 在上单调递减 ‎ 即 在上单调递减 ‎ ‎ 当时， ‎ 综上所述：‎ ‎（III）（1）当时，，则 由（II）可得时， ‎ 则只需证明：成立 令 当时，‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题.解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式，通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.证明不等式时，通常将所证不等式进行转化，通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题.‎ 题．‎ 高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页