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- 2021-06-16 发布
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2020—2021学年度 第一学期 期中考试
高三理科数学试卷
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
(1) 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;
(2) 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。
一、选择题
1.设集合,,则集合( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确命题的个数是( )
①对于命题,使得,则,均有.
②是的必要不充分条件,则是的充分不必要条件
③命题“若,则”的逆否命题为真命题.
④若为真命题,则为真命题.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若 ,则( )
A. B. C. D.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )
A.96里 B.48里 C.192里 D.24里
5.已知函数,若,,,则有( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的图象如图所示,则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
7.函数在上既没有最大值又没有最小值,则取值值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设函数, 若函数有且仅有两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C.
9.已知函数的图象的一个对称中心为,且,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页
10.已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4,将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.
11.已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线,且,当时,,则下列判断正确的是 ( )
A. B.
C. D.
12.已知函数的图象在点处的切线为,若也与函数,的图象相切,则必满足( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.已知函数的对称中心为,则_____________
14.在中,角的对边分别是,已知的面积为,则=___________.
15.已知函数在上是减函数,且对任意的、,总有,则实数的取值范围是________.
16.已知数列的前项和,对任意,且恒成立,则实数的取值范围是__________.
三、解答题(第17题10分,其余大题每题12分,共70分)
17.已知函数.
(1)求函数的对称轴;
(2)当时,求函数的最大值与最小值.
18.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,,.
(1)求边c的值;
(2)若,求的面积.
19.已知数列的首项,,
(1)证明:数列是等比数列:
(2)设,求数列的前n项和.
20.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页
(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集;
(2)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
21.随着电子商务的发展,人们的购物习惯也在改变,几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决,同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺,对电商的顾客评价,包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查,并把调查结果转化为顾客的评价指数,得到了如下的频率分布表:
评价指数
频数
5
10
15
40
30
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图;
(2)现将评价指数的商铺评为“合格商铺”,将评价指数的电子商铺评为“金牌商铺”,现从这100个商铺中任意抽取两个,记其中合格商铺的个数为,金牌商铺的个数为,求的分布列和期望.
22.已知函数,,
(I)求函数的单调区间;
(II)若在恒成立,求的取值范围;
(III)当,时,证明:
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高三理科试题答案
1-5CBDAC6-10ACDAD 11-12CD
.
17.(1)对称轴方程为:();(2)最大值为2,最小值为.
【解析】
【分析】
(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.
(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域,进一步求出函数的最大和最小值.
【详解】
(1)函数.
令(),解得(),
所以函数的对称轴方程为:().
(2)由于,
所以,
故.
则:
故当时,函数的最小值为.
当时,函数的最大值为2.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质,属于基础题.
18.(1)4;(2).
【解析】
【分析】
(1)运用正弦定理,角化为边,即可得到所求值;
(2)运用余弦定理求得,可得,再由面积公式即可得到所求值.
【详解】
(1),
由正弦定理可得,;
(2),
代入,,
解出,
,
.
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
19.(1)证明见解析;(2).
【解析】
高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页
【分析】
(1)根据递推公式,得到,推出,即可证明数列是等比数列;
(2)先由(1)求出,即,再由分组求和的方法,即可求出数列的和.
【详解】
(1)证明:,,
,
又,,
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列;
(2)由(1)知,
,
所以
.
【点睛】
本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列,考查求数列的和,熟记等比数列的概念,等比数列的通项公式与求和公式,以及分组求和的方法即可,属于常考题型.
20.(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集;(2)根据x∈[1,2]得|2x-1|=2x-1,再去绝对值分离变量,最后根据函数最值得实数a的取值范围.
【详解】
(1)当a=1时,由f(x)≤3,可得|2x-1|+|x-2|≤3,
∴①或②或③
解①得0≤x<,解②得≤x<2,解③得x=2.
综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为[0,2].
(2)∵当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,
即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x,
故2x-4≤2a-x≤4-2x,
即3x-4≤2a≤4-x.
再根据3x-4在x∈[1,2]上的最大值为6-4=2,4-x的最小值为4-2=2,
∴2a=2,∴a=1,
即a的取值范围为{1}.
21.(1)答案见解析;(2)分布列答案见解析,期望为:.
【解析】
【分析】
(1)根据题目所给数据画出100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图.
(2)先求得的所有可能取值,然后计算出分布列和数学期望.
【详解】
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(1)频率分布直方图如图;
(2)设,由题可能的值有,,0,1,2,
;;
;;
.
所以分布列为:
0
1
2
所以.
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图,考查离散型随机变量分布列和数学期望.
22.(I)见解析(II)(III)见解析
【解析】
【分析】
(I)求导后,当时,恒成立,可知单调递增;当时,求出的解,从而可判断出的符号,从而得到的单调区间;(II)当时,可知;当时,,利用导数求解出使,的最大值,从而;当时,,可得,综合上述结果,可求得;(III)由(II)可知只需证得在上恒成立即可;构造函数,利用导数可证得结果,从而原不等式成立.
【详解】
(I)由题意知:
(1)当时,恒成立 在定义域上单调递增
(2)当时,令,解得:
则,,变化情况如下表:
高三理科数学试卷 第 7 页 共 7 页
极小值
的单调减区间为:,单调增区间为:
(II)(1)当时,原不等式化为:恒成立,可知
(2)当时,则,令
则
令,则
当时,,则
在上单调递减
即 在上单调递减
当时,
综上所述:
(III)(1)当时,,则
由(II)可得时,
则只需证明:成立
令
当时,
在上单调递增
【点睛】
本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题.解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式,通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.证明不等式时,通常将所证不等式进行转化,通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题.
题.
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