高中数学（人教版必修5）配套练习：3-3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第2课时 10页

第三章 3.3 第 2 课时 一、选择题 1．目标函数 z＝2x－y，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A．该直线的截距 B．该直线的纵截距 C．该直线的纵截距的相反数 D．该直线的横截距 [答案] C [解析] z＝2x－y 可变化形为 y＝2x－z，所以 z 的意义是该直线在 y 轴上截距的相反数， 故选 C． 2．若 x≥0，y≥0，且 x＋y≤1，则 z＝x－y 的最大值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 [答案] B [解析] 可行域为图中△AOB，当直线 y＝x－z 经过点 B 时，－z 最小从而 z 最大∴zmax＝ 1. 3．已知 x、y 满足约束条件 x－y＋5≥0 x＋y≥0 x≤3 ，则 z＝2x＋4y 的最小值为( ) A．5 B．－6 C．10 D．－10 [答案] B [解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线 y＝－x 2 ＋z 4 经过点 B(3，－3) 时，z 最小，zmin＝－6. 4．若 x、y∈R，且 x≥1 x－2y＋3≥0 y≥x ，则 z＝x＋2y 的最小值等于( ) A．2 B．3 C．5 D．9 [答案] B [解析] 不等式组表示的可行域如图所示： 画出直线 l0：x＋2y＝0， 平行移动 l0 到 l 的位置， 当 l 通过点 M 时，z 取到最小值． 此时 M(1,1)，即 zmin＝3. 5．设 x、y 满足约束条件 2x＋y≥4 x－y≥1 x－2y≤2 ，则目标函数 z＝x＋y( ) A．有最小值 2，无最大值 B．有最大值 3，无最小值 C．有最小值 2，最大值 3 D．既无最小值，也无最大值 [答案] A [解析] 画出不等式组 2x＋y≥4 x－y≥1 x－2y≤2 表示的平面区域，如下图，由 z＝x＋y，得 y＝－x＋z， 令 z＝0，画出 y＝－x 的图象． 当它的平行线经过点 A(2,0)时，z 取得最小值，最小值为 2；无最大值．故选 A． 6．(2013·四川文，8)若变量 x、y 满足约束条件 x＋y≤8 2y－x≤4 x≥0 y≥0 ，且 z＝5y－x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a－b 的值是( ) A．48 B．30 C．24 D．16 [答案] C [解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图． 作直线 l0：y＝1 5x，平移直线 l0. 当 l0 过点 A(4,4)时可得 zmax＝16，∴a＝16. 当 l0 过点 B(8,0)时可得 zmin＝－8，∴b＝－8. ∴a－b＝16－(－8)＝24. 二、填空题 7．若非负变量 x、y 满足约束条件 x－y≥－1 x＋2y≤4 ，则 x＋y 的最大值为________． [答案] 4 [解析] 本题考查线性规化的最优解问题． 由题意知 x、y 满足的约束条件 x≥0 y≥0 x－y≥－1 x＋2y≤4 . 画出可行域如图所示． 设 x＋y＝t⇒y＝－x＋t，t 表示直线在 y 轴截距，截距越大，t 越大． 作直线 l0：x＋y＝0，平移直线 l0，当 l0 经过点 A(4,0)时， t 取最大值 4. 8．在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组 2x＋3y－6≤0 x＋y－2≥0 y≥0 所表示的区域上一动点， 则|OM|的最小值是________． [答案] 2 [解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题． 不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即 O 到直线 x＋y－2＝0 的距离． 故|OM|的最小值为|－2| 2 ＝ 2. 三、解答题 9．求 z＝3x＋5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件 5x＋3y≤15 y≤x＋1 x－5y≤3 . [解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分． ∵目标函数为 z＝3x＋5y， ∴作直线 l0：3x＋5y＝0.当直线 l0 向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点 A(3 2 ， 5 2)的直线 l1 所对应的 z 最大．类似地，在可行域内，以经过点 B(－2，－1)的直线 l2 所对应的 z 最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z 的最大值为 17，最小值为－11. 10．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、B 两种规 格金属板，每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个； 用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完 成计划，并使总的用料面积最省？ [解析] 设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张，用料面积为 z，则约束条件为 3x＋6y≥45 5x＋6y≥55 x≥0 y≥0 . 目标函数 z＝2x＋3y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示． z＝2x＋3y 变为 y＝－2 3x＋z 3 ，得斜率为－2 3 ，在 y 轴上截距为z 3 且随 z 变化的一族平行直线． 当直线 z＝2x＋3y 过可行域上点 M 时，截距最小，z 最小．解方程组 5x＋6y＝55 3x＋6y＝45 ，得 M 点的坐标为(5,5)． 此时 zmin＝2×5＋3×5＝25 (m2)． 答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省. 一、选择题 1．若变量 x、y 满足 2x＋y≤40 x＋2y≤50 x≥0 y≥0 ，则 z＝3x＋2y 的最大值是( ) A．90 B．80 C．70 D．40 [答案] C [解析] 作出可行域如图所示． 解方程组 2x＋y＝40 x＋2y＝50 ， 得 x＝10 y＝20 . ∴zmax＝3×10＋2×20＝70. 2．设变量 x、y 满足约束条件 x＋2y－5≤0 x－y－2≤0 x≥0 ，则目标函数 z＝2x＋3y＋1 的最大值为 ( ) A．11 B．10 C．9 D．8.5 [答案] B [解析] 作出不等式组 x＋2y－5≤0 x－y－2≤0 x≥0 表示的可行域，如下图的阴影部分所示． 又 z＝2x＋3y＋1 可化为 y＝－2 3x＋z 3 －1 3 ， 结合图形可知 z＝2x＋3y＋1 在点 A 处取得最大值． 由 x＋2y－5＝0 x－y－2＝0 ，得 x＝3 y＝1 .故 A 点坐标为(3,1)． 此时 z＝2×3＋3×1＋1＝10. 3．不等式组 y－2x≤0 x＋2y＋3＞0 5x＋3y－5＜0 表示的平面区域内的整点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] B [解析] 不等式 y－2x≤0 表示直线 y－2x＝0 的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0 表示直 线 x＋2y＋3＝0 右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0 表示直线 5x＋3y－5＝0 左下方区域， 所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC 区域． 可求得 A(－3 5 ，－6 5)、B( 5 11 ，10 11)、C(19 7 ，－20 7 )，所以△ABC 区域内的点(x，y)满足－3 5 ≤x ＜19 7 ，－20 7 ＜y＜10 11. ∵x、y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且 x、y∈Z. 经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)． 4．已知变量 x、y 满足约束条件 x＋y≤1 x－y≤1 x＋1≥0 ，则 z＝x＋2y 的最小值为( ) A．3 B．1 C．－5 D．－6 [答案] C [解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值． 由 x＋y≤1 x－y≤1 x＋1≥0 画出可行域如图． 令 z＝0 画出 l0：x＋2y＝0，平移 l0 至其过 A 点时 z 最小，由 x＋1＝0 x－y＝1 ，得 A(－1，－2)， ∴zmin＝－1＋2×(－2)＝－5. 二、填空题 5．在△ABC 中，三个顶点分别为 A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点 P(x，y)在△ABC 的内部 及其边界上运动，则 y－x 的取值范围为________． [答案] [－1,3] [解析] 画出三角形区域如图，易知 kAB＝2 3<1， 令 z＝y－x，则 y＝x＋z，作出直线 l0：y＝x，平移直线 l0，当经过点 C 时，zmin＝－1，当 经过点 B 时，zmax＝3， ∴－1≤z≤3. 6．已知点 M、N 是 x≥1 y≥1 x－y＋1≥0 x＋y≤6 所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是 ________． [答案] 17 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示， ∵直线 x－y＋1＝0 与直线 x＋y＝6 垂直， 直线 x＝1 与 y＝1 垂直， ∴|MN|的最大值是|AB|＝ 5－12＋2－12＝ 17. 三、解答题 7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 g，咖啡 4 g，糖 3 g；乙种饮料每杯含 奶粉 4 g，咖啡 5 g，糖 10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉 3 600 g，咖啡 2 000 g，糖 3 000g. 如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使用限额内饮料 能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？ [解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲 x 杯，饮料乙 y 杯， 线性约束条件为 9x＋4y≤3 600 4x＋5y≤2 000 3x＋10y≤3 000 x，y∈N ， 利润 z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－9 4<－ 8 10<－ 7 12< － 3 10 ，所以在可行域内的整数点 A(200,240)使 zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)， 即配制饮料甲 200 杯，乙 240 杯可获得最大利润． 8．设 x、y 满足条件 x－y＋5≥0 x＋y≥0 x≤3 . (1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； (2)求 v＝ y x－5 的最大值与最小值． [解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)． (1)令 x2＋y2＝u 表示一组同心圆(圆心为点 O)，且对同一圆上的点，x2＋y2 的值都相等． 由图可知(x，y)在可行域内取值，当且仅当圆 O 过 C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小． 由 x＝3 x－y＋5＝0 ，解得 x＝3 y＝8 . ∴C(3,8)，∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0. (2)v＝ y x－5 表示可行域内的点(x，y)和定点 D(5,0)的连线的斜率， 由图可知 kBD 最大，kCD 最小． 由 x＝3 x＋y＝0 ，解得 x＝3 y＝－3 . ∴B(3，－3)． ∴vmax＝ －3 3－5 ＝3 2 ，vmin＝ 8 3－5 ＝－4.