高中数学人教a版必修四课时训练 第一章 三角函数 章末检测（b） word版含答案 8页

第一章 三角函数(B) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．已知 cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于( ) A．390° B．420° C．450° D．480° 2．若 sin x·cos x<0，则角 x 的终边位于( ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．函数 y＝tan x 2 是( ) A．周期为 2π的奇函数 B．周期为π 2 的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为 2π的偶函数 4．已知 tan(－α－4 3π)＝－5，则 tan(π 3 ＋α)的值为( ) A．－5 B．5 C．±5 D．不确定 5．已知函数 y＝2sin (ωx＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( ) A．1 B．2 C.1 2 D.1 3 6．函数 f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A．－π 2 B．2kπ－π 2(k∈Z) C．kπ(k∈Z) D．kπ＋π 2(k∈Z) 7．若sin θ＋cos θ sin θ－cos θ ＝2，则 sin θcos θ的值是( ) A．－ 3 10 B. 3 10 C．± 3 10 D.3 4 8．将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动 π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A．y＝sin 2x－ π 10 B．y＝sin 2x－π 5 C．y＝sin 1 2x－ π 10 D．y＝sin 1 2x－ π 20 9．将函数 y＝sin(x－θ)的图象 F 向右平移π 3 个单位长度得到图象 F′，若 F′的一条对称轴 是直线 x＝π 4 ，则θ的一个可能取值是( ) A.5π 12 B．－5π 12 C.11π 12 D．－11π 12 10．已知 a 是实数，则函数 f(x)＝1＋asin ax 的图象不可能是( ) 11．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝cos x 2 ＋3π 2 (x∈[0,2π])的图象和直线 y＝1 2 的交点个 数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4 12．设 a＝sin 5π 7 ，b＝cos 2π 7 ，c＝tan 2π 7 ，则( ) A．a0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则 ω＝________. 16．给出下列命题： (1)函数 y＝sin |x|不是周期函数； (2)函数 y＝tan x 在定义域内为增函数； (3)函数 y＝|cos 2x＋1 2|的最小正周期为π 2 ； (4)函数 y＝4sin(2x＋π 3)，x∈R 的一个对称中心为(－π 6 ，0)． 其中正确命题的序号是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)已知α是第三象限角，f(α)＝ sinα－π 2 cos3π 2 ＋αtanπ－α tan－α－πsin－π－α . (1)化简 f(α)； (2)若 cos(α－3 2π)＝1 5 ，求 f(α)的值． 18．(12 分)已知4sin θ－2cos θ 3sin θ＋5cos θ ＝ 6 11 ，求下列各式的值． (1) 5cos2θ sin2θ＋2sin θcos θ－3cos2θ ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ. 19．(12 分)已知 sin α＋cos α＝1 5. 求：(1)sin α－cos α；(2)sin3α＋cos3α. 20．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π 2)的部分图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)如何由函数 y＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象，写出变换过程． 21．(12 分)函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤π 2)在 x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个 最小值，且当 x＝π时，ymax＝3；当 x＝6π，ymin＝－3. (1)求出此函数的解析式； (2)求该函数的单调递增区间； (3)是否存在实数 m，满足不等式 Asin(ω －m2＋2m＋3＋φ)>Asin(ω －m2＋4＋φ)？若存在， 求出 m 的范围(或值)，若不存在，请说明理由． 22．(12 分)已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作： y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求函数 y＝Acos ωt＋b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内 的上午 8∶00 时至晚上 20∶00 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 第一章 三角函数(B) 答案 1．B 2.C 3.A 4.A 5．B [由图象知 2T＝2π，T＝π，∴2π ω ＝π，ω＝2.] 6．D [若函数 f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则 f(0)＝cos φ＝0，∴φ＝kπ＋π 2 ， (k∈Z)．] 7．B [∵sin θ＋cos θ sin θ－cos θ ＝tan θ＋1 tan θ－1 ＝2， ∴tan θ＝3. ∴sin θcos θ＝ sin θcos θ sin2θ＋cos2θ ＝ tan θ tan2θ＋1 ＝ 3 10.] 8．C [函数 y＝sin x y＝sin x－ π 10 ――→横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 y＝ sin 1 2x－ π 10 .] 9．A [将 y＝sin(x－θ)向右平移π 3 个单位长度得到的解析式为 y＝sin x－π 3 －θ ＝sin(x－π 3 － θ)．其对称轴是 x＝π 4 ，则π 4 －π 3 －θ＝kπ＋π 2(k∈Z)． ∴θ＝－kπ－7π 12(k∈Z)．当 k＝－1 时，θ＝5π 12.] 10．D [图 A 中函数的最大值小于 2，故 00. ∴π 4<2π 7 <π 2. 又α∈ π 4 ，π 2 时，sin α>cos α. ∴a＝sin 2π 7 >cos 2π 7 ＝b. 又α∈ 0，π 2 时，sin αsin 2π 7 ＝a. ∴c>a.∴c>a>b.] 13.2 6 5 解析 ∵α是第四象限的角且 cos α＝1 5. ∴sinα＝ － 1－cos2α＝－2 6 5 ， ∴cos(α＋π 2)＝－sin α＝2 6 5 . 14.2 3 解析 由 y＝6cos x， y＝5tan x 消去 y 得 6cos x＝5tan x. 整理得 6cos2 x＝5sin x,6sin2x＋5sin x－6＝0，(3sin x－2)(2sin x＋3)＝0， 所以 sin x＝2 3 或 sin x＝－3 2(舍去)． 点 P2 的纵坐标 y2＝2 3 ，所以|P1P2|＝2 3. 15．3 解析 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知： T 2 ＝(－π 3)－(－2 3π)＝π 3 ，∴T＝2 3π. ∵T＝2π ω ＝2 3π，∴ω＝3. 16．(1)(4) 解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数 y＝sin |x|是偶函数，作出 y 轴右侧的 图象，再关于 y 轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2) 错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定 义 f(x＋π 2)＝|－cos 2x＋1 2|≠f(x)，∴π 2 不是函数的周期；(4)由于 f(－π 6)＝0，故根据对称中心的 意义可知(－π 6 ，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的． 17．解 (1)f(α)＝ sinα－π 2 cos3π 2 ＋αtanπ－α tan－α－πsin－π－α ＝ －sinπ 2 －αsin α－tan α －tan αsin α ＝cos αsin αtan α －tan αsin α ＝－cos α. (2)∵cos(α－3π 2 )＝cos(3π 2 －α)＝－sin α＝1 5. ∴sin α＝－1 5. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－2 6 5 . ∴f(α)＝－cos α＝2 6 5 . 18．解 由已知4sin θ－2cos θ 3sin θ＋5cos θ ＝ 6 11 ， ∴4tan θ－2 3tan θ＋5 ＝ 6 11. 解得：tan θ＝2. (1)原式＝ 5 tan2θ＋2tan θ－3 ＝5 5 ＝1. (2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ sin2θ＋cos2θ ＝tan2θ－4tan θ＋3 1＋tan2θ ＝－1 5. 19．解 (1)由 sin α＋cos α＝1 5 ，得 2sin αcos α＝－24 25 ， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋24 25 ＝49 25 ， ∴sin α－cos α＝±7 5. (2)sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知 sin αcos α＝－12 25 且 sin α＋cos α＝1 5 ， ∴sin3α＋cos3α＝1 5 × 1＋12 25 ＝ 37 125. 20．解 (1)由图象知 A＝2. f(x)的最小正周期 T＝4×(5π 12 －π 6)＝π，故ω＝2π T ＝2.将点(π 6 ，2)代入 f(x)的解析式得 sin(π 3 ＋φ) ＝1，又|φ|<π 2 ，∴φ＝π 6 ，故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin(2x＋π 6)． (2)变换过程如下： y＝2sin x 6   图像向左平移 个单位 y＝2sin(x＋π 6) 1 2 所有点的横坐标缩短为原来的 纵坐标不变 y＝2sin(2x＋π 6)． 21．解 (1)由题意得 A＝3，1 2T＝5π⇒T＝10π， ∴ω＝2π T ＝1 5.∴y＝3sin(1 5x＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有 3sin(π 5 ＋φ)＝3， ∵0≤φ≤π 2 ，∴φ＝π 2 －π 5 ＝3π 10. ∴y＝3sin(1 5x＋3π 10)． (2)当 2kπ－π 2 ≤1 5x＋3π 10 ≤2kπ＋π 2 时，即 10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，原函数单调递增． ∴原函数的单调递增区间为[10kπ－4π，10kπ＋π](k∈Z)． (3)m 满足 －m2＋2m＋3≥0， －m2＋4≥0， 解得－1≤m≤2. ∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4， ∴0≤ －m2＋2m＋3≤2， 同理 0≤ －m2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有： Asin(ω －m2＋2m＋3＋φ)>Asin(ω －m2＋4＋φ)，只需要： －m2＋2m＋3> －m2＋4，即 m>1 2 成立即可，所以存在 m∈(1 2 ，2]，使 Asin(ω －m2＋2m＋3 ＋φ)>Asin(ω －m2＋4＋φ)成立． 22．解 (1)由表中数据知周期 T＝12， ∴ω＝2π T ＝2π 12 ＝π 6 ， 由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5. 由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0. ∴A＝0.5，b＝1， ∴y＝1 2cos π 6t＋1. (2)由题知，当 y>1 时才可对冲浪者开放，∴1 2cos π 6t＋1>1， ∴cos π 6t>0，∴2kπ－π 2<π 6t<2kπ＋π 2 ，即 12k－3