2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3 12页

www.ks5u.com 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)‎ ‎2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)‎ ‎1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养．‎ ‎2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.‎ 大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则 d＞R时⇔直线与圆相离； ‎ d＝R时⇔直线与圆相切；‎ d＜R时⇔直线与圆相交．‎ 那么直线与椭圆有几种位置关系呢？又如何来判定呢？‎ ‎1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：‎ 点P在椭圆上⇔＋＝1；‎ 点P在椭圆内部⇔＋<1；‎ 点P在椭圆外部⇔＋>1.‎ ‎2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：‎ 联立消去y得一个关于x的一元二次方程．‎ 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0‎ 位置关系 解的个数 Δ的取值 相切 一解 Δ＝0‎ 相离 无解 Δ<0‎ 思考：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？‎ ‎[提示]　根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)点P(2,1)在椭圆＋＝1的内部． (　　)‎ ‎(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． (　　)‎ ‎(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交． (　　)‎ ‎(4)长轴是椭圆中最长的弦． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)‎ A．相切　　 　B．相交　　 　C．相离　 　　D．不确定 B　[直线方程y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，知直线过定点(1,1)，因＋＜1，∴点(1,1)在椭圆内，故直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．]‎ ‎3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)‎ A．2 B．± C．±2 D．±2‎ C　[由消去y并整理得 ‎2x2－2mx＋m2－4＝0.‎ 由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.‎ ‎∴m＝±2.]‎ ‎4．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．‎ ‎(－，)　[∵点A在椭圆内部，‎ ‎∴＋＜1，∴a2＜2，‎ ‎∴－＜a＜.]‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1)有两个公共点；‎ ‎(2)有且只有一个公共点；‎ ‎(3)没有公共点．‎ ‎[思路探究]　→ ‎→→得出结论 ‎[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.‎ 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.‎ ‎(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．‎ ‎(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．‎ ‎(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．‎ 代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交；‎ Δ＝0⇔直线与椭圆相切；‎ Δ<0⇔直线与椭圆相离．‎ 提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1.‎ 当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞)．‎ 弦长和中点弦问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．求弦长常用的方法有哪几种？‎ ‎[提示]　(1)两点间距离公式，需要先通过解方程组将两点坐标求出来．‎ ‎(2)弦长公式，不需要求出交点坐标，采用根与系数的关系整体代换即可．‎ ‎2．“点差法”的核心是什么？‎ ‎[提示]　假设弦l中点为(x0，y0), 弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，‎ 由两式作差得＋＝0，即kl＝－.‎ ‎【例2】　过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．‎ ‎(1)求此弦所在的直线方程；‎ ‎(2)求此弦长．‎ ‎[思路探究]　‎ ‎(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．‎ 法二：点差法．‎ ‎(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．‎ ‎[解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得 ‎(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.‎ 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1，x2是方程的两个根，‎ 于是x1＋x2＝.‎ 又M为AB的中点，∴＝＝2，‎ 解得k＝－.‎ 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.‎ 法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.‎ 又A，B两点在椭圆上，‎ 则x＋4y＝16，x＋4y＝16.‎ 两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.‎ 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.‎ ‎∴＝－＝－，‎ 即kAB＝－.‎ 又直线AB过点M(2,1)，‎ 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2－4x＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，‎ ‎∴|AB|＝· ‎＝·＝2.‎ ‎1．本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．‎ ‎[解]　设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.‎ 由＋＝1和＋＝1，‎ 得＝－，∴k＝＝.‎ 又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝.‎ 所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝.‎ ‎2．把本例条件中“使弦被M点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．‎ ‎[解]　设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 ‎∴＝－，‎ 从而kl＝＝.‎ 又kl＝kPM＝，∴＝.‎ 整理得x2＋4y2－2x－4y＝0.‎ 故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0.(椭圆内的部分)‎ ‎1．弦中点问题的解决方法 ‎(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ‎①设点——设出弦的两端点坐标；‎ ‎②代入——代入圆锥曲线方程；‎ ‎③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；‎ ‎④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．‎ ‎(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”‎ 时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．‎ ‎2．弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 ‎|AB|＝ ‎＝ ‎＝· ‎＝ ‎＝·(k为直线斜率)．‎ 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．‎ 与椭圆有关的综合问题 ‎【例3】　椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝.‎ 由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)若存在点Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，‎ 则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2.‎ 等价于k1＋k2＝0.‎ 依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．‎ 由，‎ 得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.‎ 因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0.‎ 即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，‎ 令k1＋k2＝＋＝0，‎ ‎(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，‎ 当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，‎ 化简得，＝0，‎ 所以m＝1.‎ 当k＝0时，也成立．‎ 所以存在点Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.‎ 综合问题涉及的问题及解决方法 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力．此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．‎ ‎[解]　(1)由题意设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，‎ 由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程＋＝1，‎ 又∵椭圆过点，‎ 得＋＝1，解得b2＝1，∴a2＝4.‎ 椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线MN的方程为x＝ky－，‎ 联立直线MN和椭圆的方程可得 得(k2＋4)y2－ky－＝0，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，‎ y1y2＝－，y1＋y2＝，‎ 则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)‎ ‎＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，‎ 即可得∠MAN＝.‎ ‎∴∠MAN的大小是定值.‎ ‎1．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：‎ ‎(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程；‎ ‎(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；‎ ‎(4)利用根与系数的关系设而不求；‎ ‎(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．‎ ‎2．求定值问题常见的方法 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎3．解决椭圆的中点弦问题的三种方法 ‎(1)方程组法 通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．‎ ‎(2)点差法 设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量．我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理．‎ 利用kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法．‎ ‎(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得．‎ ‎1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)‎ A． B．∪ C． D． B　[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A．　　　　　 B． C． D． A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.‎ 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝a，‎ 解得a＝b，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴e＝＝＝＝＝.‎ 故选A.]‎ ‎3．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则S＝________.‎ ‎4　[如图，已知椭圆 ＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，a＝2，过焦点F1的直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，△MNF2的内切圆的面积为π，‎ ‎∴△MNF2的内切圆半径r＝1.‎ ‎∴△MNF2的面积S＝×1×(|MN|＋|MF2|＋|NF2|)＝2a＝4.]‎ ‎4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．‎ 　[由 消去y并化简得x2＋2x－6＝0.‎ 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.‎ ‎∴弦长|MN|＝|x1－x2|‎ ‎＝＝＝.]‎ ‎5．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．‎ ‎[解]　(1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.‎ 由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．‎ 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，‎ 则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，即中点的坐标为.‎