2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（六十） 不等式证明 5页

高考达标检测（六十） 不等式证明 1．已知 a，b 都是正实数，且 a＋b＝2，求证： a2 a＋1 ＋ b2 b＋1 ≥1. 证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2， ∴ a2 a＋1 ＋ b2 b＋1 －1＝a2b＋1＋b2a＋1－a＋1b＋1 a＋1b＋1 ＝a2b＋a2＋b2a＋b2－ab－a－b－1 a＋1b＋1 ＝a2＋b2＋aba＋b－ab－a＋b－1 a＋1b＋1 ＝a2＋b2＋2ab－ab－3 a＋1b＋1 ＝a＋b2－3－ab a＋1b＋1 ＝ 1－ab a＋1b＋1. ∵a＋b＝2≥2 ab，∴ab≤1. ∴ 1－ab a＋1b＋1 ≥0. ∴ a2 a＋1 ＋ b2 b＋1 ≥1. 2．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为 a. (1)求 a 的值； (2)若 p，q，r 是正实数，且满足 p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3. 解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2 时，等号成立， 所以 f(x)的最小值等于 3，即 a＝3. (2)证明：由(1)知 p＋q＋r＝3， 又因为 p，q，r 是正实数， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即 p2＋q2＋r2≥3. 3．(2018·云南统一检测)已知 a 是常数，对任意实数 x，不等式|x＋1|－|2－x|≤a≤ |x＋1|＋|2－x|都成立． (1)求 a 的值； (2)设 m＞n＞0，求证：2m＋ 1 m2－2mn＋n2 ≥2n＋a. 解：(1)设 f(x)＝|x＋1|－|2－x|， 则 f(x)＝ －3，x≤－1， 2x－1，－1＜x＜2， 3，x≥2， ∴f(x)的最大值为 3. ∵对任意实数 x，|x＋1|－|2－x|≤a 都成立，即 f(x)≤a， ∴a≥3. 设 h(x)＝|x＋1|＋|2－x|， 则 h(x)＝ －2x＋1，x≤－1， 3，－1＜x＜2， 2x－1，x≥2， 则 h(x)的最小值为 3. ∵对任意实数 x，|x＋1|＋|2－x|≥a 都成立，即 h(x)≥a， ∴a≤3. ∴a＝3. (2)证明：由(1)知 a＝3. ∵2m＋ 1 m2－2mn＋n2 －2n＝(m－n)＋(m－n)＋ 1 m－n2 ，且 m＞n＞0， ∴(m－n)＋(m－n)＋ 1 m－n2 ≥3 3 m－nm－n 1 m－n2 ＝3. ∴2m＋ 1 m2－2mn＋n2 ≥2n＋a. 4．已知 x，y，z 是正实数，且满足 x＋2y＋3z＝1. (1)求1 x ＋1 y ＋1 z 的最小值； (2)求证：x2＋y2＋z2≥ 1 14. 解：(1)∵x，y，z 是正实数，且满足 x＋2y＋3z＝1， ∴1 x ＋1 y ＋1 z ＝ 1 x ＋1 y ＋1 z (x＋2y＋3z) ＝6＋2y x ＋3z x ＋x y ＋3z y ＋x z ＋2y z ≥6＋2 2＋2 3＋2 6， 当且仅当2y x ＝x y 且3z x ＝x z 且3z y ＝2y z 时取等号． (2)由柯西不等式可得 1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32) ＝14(x2＋y2＋z2)， ∴x2＋y2＋z2≥ 1 14 ， 当且仅当 x＝y 2 ＝z 3 ，即 x＝ 1 14 ，y＝1 7 ，z＝ 3 14 时取等号． 故 x2＋y2＋z2≥ 1 14. 5．(2018·石家庄模拟)已知函数 f(x)＝|x|＋|x－1|. (1)若 f(x)≥|m－1|恒成立，求实数 m 的最大值 M； (2)在(1)成立的条件下，正实数 a，b 满足 a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab. 解：(1)由绝对值不等式的性质知 f(x)＝|x|＋|x－1|≥|x－x＋1|＝1， ∴f(x)min＝1，∴只需|m－1|≤1， 即－1≤m－1≤1，∴0≤m≤2， ∴实数 m 的最大值 M＝2. (2)证明：∵a2＋b2≥2ab，且 a2＋b2＝2， ∴ab≤1， ∴ ab≤1，当且仅当 a＝b 时取等号．① 又 ab≤a＋b 2 ，∴ ab a＋b ≤1 2 ， ∴ ab a＋b ≤ ab 2 ，当且仅当 a＝b 时取等号．② 由①②得， ab a＋b ≤1 2 ，∴a＋b≥2ab. 6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数 f(x)＝|x－a|. (1)当 a＝2 时，解不等式 f(x)≥4－|x－1|； (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2]，1 m ＋ 1 2n ＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4. 解：(1)当 a＝2 时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4. ①当 x≥2 时，不等式可化为 x－2＋x－1≥4，解得 x≥7 2 ； ②当 1＜x＜2 时，不等式可化为 2－x＋x－1≥4， 不等式的解集为∅； ③当 x≤1 时，不等式可化为 2－x＋1－x≥4，解得 x≤－1 2. 综上可得，不等式的解集为 －∞，－1 2 ∪ 7 2 ，＋∞ . (2)证明：∵f(x)≤1，即|x－a|≤1， 解得 a－1≤x≤a＋1，而 f(x)≤1 的解集是[0,2]， ∴ a－1＝0， a＋1＝2， 解得 a＝1， 所以1 m ＋ 1 2n ＝1(m>0，n>0)， 所以 m＋2n＝(m＋2n) 1 m ＋ 1 2n ＝2＋m 2n ＋2n m ≥2＋2 m 2n·2n m ＝4， 当且仅当 m＝2，n＝1 时取等号． 7．已知 a，b，c，d 均为正数，且 ad＝bc. (1)证明：若 a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|； (2)若 t· a2＋b2· c2＋d2＝ a4＋c4＋ b4＋d4，求实数 t 的取值范围． 解：(1)证明：由 a＋d>b＋c，且 a，b，c，d 均为正数， 得(a＋d)2>(b＋c)2，又 ad＝bc， 所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d|>|b－c|. (2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2， 所以 t· a2＋b2· c2＋d2＝t(ac＋bd)． 由于 a4＋c4≥ 2ac, b4＋d4≥ 2bd， 又已知 t· a2＋b2· c2＋d2＝ a4＋c4＋ b4＋d4， 则 t(ac＋bd)≥ 2(ac＋bd)，故 t≥ 2，当且仅当 a＝c，b＝d 时取等号． 所以实数 t 的取值范围为[ 2，＋∞)． 8．已知函数 f(x)＝|x－1|. (1)解不等式 f(2x)＋f(x＋4)≥8； (2)若|a|<1，|b|<1，a≠0，求证：fab |a| >f b a . 解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3| ＝ －3x－2，x<－3， －x＋4，－3≤x<1 2 ， 3x＋2，x≥1 2 ， 当 x<－3 时，由－3x－2≥8，解得 x≤－10 3 ； 当－3≤x<1 2 时，－x＋4≥8 无解； 当 x≥1 2 时，由 3x＋2≥8，解得 x≥2. 所以不等式 f(2x)＋f(x＋4)≥8 的解集为 －∞，－10 3 ∪[2，＋∞)． (2)证明：fab |a| >f b a 等价于 f(ab)>|a|f b a ，即|ab－1|>|a－b|. 因为|a|<1，|b|<1， 所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0， 所以|ab－1|>|a－b|. 故所证不等式成立.