2019版一轮复习理数通用版第六单元 解三角形 36页

第六单元 解三角形 教材复习课 “解三角形”相关基础知识一课过 正弦定理、余弦定理 [过双基] 1．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形： (1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos_C. 余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a2 2bc ，cos B＝a2＋c2－b2 2ac ，cos C＝a2＋b2－c2 2ab . 1．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cos A＝ 3 2 ， 且 b＜c，则 b＝( ) A．3 B．2 2 C．2 D. 3 解析：选 C 由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b＝2 或 4，∵b＜c， ∴b＝2. 2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc，则角 A 的大 小为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选 B 由余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccos A，又因为 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝1 2 ，则 A＝60°. 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin A＋bsin B1. ∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝2a，b＝4，cos B＝1 4. 则 c 的值为( ) A．4 B．2 C．5 D．6 解析：选 A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝1 4 ， ∴由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 即 16＝1 4c2＋c2－1 4c2＝c2， 解得 c＝4. 4．已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 A＝π 3 ，b＝2acos B，c＝ 1，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 3 8 解析：选 B 由正弦定理得 sin B＝2sin Acos B， 故 tan B＝2sin A＝2sinπ 3 ＝ 3，又 B∈(0，π)，所以 B＝π 3 ， 又 A＝B＝π 3 ，则△ABC 是正三角形， 所以 S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2 ×1×1× 3 2 ＝ 3 4 . 5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(a2＋ b2－c2)tan C＝ab，则角 C 的大小为( ) A.π 6 或5π 6 B.π 3 或2π 3 C.π 6 D.2π 3 解析：选 A 由题意知，a2＋b2－c2 2ab ＝ 1 2tan C ⇒cos C＝ cos C 2sin C ， sin C＝1 2 ，又 C∈(0，π)，∴C＝π 6 或5π 6 . 6．已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得∠ABC＝ 120°，则 A，C 两地间的距离为( ) A．10 km B．10 3 km C．10 5 km D．10 7 km 解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－ 2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC＝10 7(km)． 7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2＝(a －b)2＋6，C＝π 3 ，则△ABC 的面积是( ) A．3 B.9 3 2 C.3 3 2 D．3 3 解析：选 C ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝π 3 ，∴c2＝a2＋b2－2abcos π 3 ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即 ab＝6. ∴S△ABC＝1 2absin C＝1 2 ×6× 3 2 ＝3 3 2 . 8．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( ) A．10 2 n mile B．10 3 n mile C．20 3 n mile D．20 2 n mile 解析：选 A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20， ∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ，解得 BC ＝10 2. 故 B，C 两点间的距离是 10 2 n mile. 二、填空题 9．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－1 4 ，3sin A ＝2sin B，则 c＝________. 解析：因为 3sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得 3a＝2b，则 b＝3，由余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3× －1 4 ＝16，则 c＝4. 答案：4 10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 成等差数列， 且边 a，b，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________． 解析：∵在△ABC 中，角 A，B，C 成等差数列， ∴2B＝A＋C，由三角形内角和定理，可得 B＝π 3 ， 又∵边 a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac， 由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos B， ∴ac＝a2＋c2－ac，即 a2＋c2－2ac＝0， 故(a－c)2＝0，可得 a＝c， 所以△ABC 的形状为等边三角形． 答案：等边三角形 11．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝x，b＝2，B＝45°， 若三角形有两解，则 x 的取值范围为________． 解析：由 AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与 AB 有两个交点，当 A＝90°时，圆与 AB 相切，只有一解；当 A＝45°时，交于 B 点，也就 是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足 45°b， a＝5，c＝6，sin B＝3 5. (1)求 b 和 sin A 的值； (2)求 sin 2A＋π 4 的值． [解] (1)在△ABC 中，因为 a>b， 故由 sin B＝3 5 ，可得 cos B＝4 5. 由已知及余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以 b＝ 13. 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 sin A＝asin B b ＝3 13 13 . 所以 b 的值为 13，sin A 的值为3 13 13 . (2)由(1)及 a0，所以新三角形中最大的角是一个锐角， 故选 A. 3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2 ＝ 3bc，且 b＝ 3a，则下列关系一定不成立的是( ) A．a＝c B．b＝c C．2a＝c D．a2＋b2＝c2 解析：选 B 由余弦定理，得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 3bc 2bc ＝ 3 2 ，则 A＝30°.又 b＝ 3a， 由正弦定理得 sin B＝ 3sin A＝ 3sin 30°＝ 3 2 ，所以 B＝60°或 120°.当 B＝60°时，△ABC 为直角三角形，且 2a＝c，可知 C、D 成立；当 B＝120°时，C＝30°，所以 A＝C，即 a＝c， 可知 A 成立，故选 B. 4．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则 cos∠DAC＝ ( ) A. 10 10 B.3 10 10 C. 5 5 D.2 5 5 解析：选 B 如图所示，设 CD＝a，则易知 AC＝ 5a，AD＝ 2a，在 △ACD 中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝( 2a)2＋ ( 5a)2－2× 2a× 5a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝3 10 10 . 5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积为 S，且 2S ＝(a＋b)2－c2，则 tan C 等于( ) A.3 4 B.4 3 C．－4 3 D．－3 4 解析：选 C 因为 2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab， 则由面积公式与余弦定理，得 absin C＝2abcos C＋2ab， 即 sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， 即sin2C－4sin Ccos C＋4cos2C sin2C＋cos2C ＝4， 所以tan2C－4tan C＋4 tan2C＋1 ＝4， 解得 tan C＝－4 3 或 tan C＝0(舍去)． 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2＋c2－a2＝bc，AB―→ · BC―→ >0， a＝ 3 2 ，则 b＋c 的取值范围是( ) A. 1，3 2 B. 3 2 ，3 2 C. 1 2 ，3 2 D. 1 2 ，3 2 解析：选 B 在△ABC 中，b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理可得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ bc 2bc ＝1 2 ， ∵A 是△ABC 的内角，∴A＝60°. ∵a＝ 3 2 ， ∴由正弦定理得 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝ c sin120°－B ＝1， ∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝3 2sin B＋ 3 2 cos B ＝ 3sin(B＋30°)． ∵ AB―→ · BC―→＝| AB―→ |·| BC―→ |·cos(π－B)>0， ∴cos B<0，B 为钝角， ∴90°0，所以 c＝3. 故△ABC 的面积 S＝1 2bcsin A＝3 3 2 . 法二：由正弦定理，得 7 sin π 3 ＝ 2 sin B ，从而 sin B＝ 21 7 ， 又由 a>b，知 A>B，所以 cos B＝2 7 7 . 故 sin C＝sin(A＋B)＝sin B＋π 3 ＝sin Bcos π 3 ＋cos Bsin π 3 ＝3 21 14 . 所以△ABC 的面积 S＝1 2absin C＝3 3 2 . 12．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin B·(acos B＋bcos A)＝ 3ccos B. (1)求 B； (2)若 b＝2 3，△ABC 的面积为 2 3，求△ABC 的周长． 解：(1)由正弦定理得， sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝ 3sin Ccos B， ∴sin Bsin(A＋B)＝ 3sin Ccos B， ∴sin Bsin C＝ 3sin Ccos B. ∵sin C≠0，∴sin B＝ 3cos B，即 tan B＝ 3. ∵B∈(0，π)，∴B＝π 3. (2)∵S△ABC＝1 2acsin B＝ 3 4 ac＝2 3，∴ac＝8. 根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B， ∴12＝a2＋c2－8，即 a2＋c2＝20， ∴a＋c＝ a＋c2＝ a2＋2ac＋c2＝6， ∴△ABC 的周长为 6＋2 3. 1．在平面五边形 ABCDE 中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB ＝3，AE＝3，当五边形 ABCDE 的面积 S∈ 6 3，33 3 4 时，则 BC 的取值范围为________． 解析：因为 AB＝3，AE＝3，且∠A＝120°， 由余弦定理可得 BE＝ AB2＋AE2－2AB·AE·cos A＝3 3，且∠ABE＝∠AEB＝30°. 又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°. 又∠C＝120°，所以四边形 BCDE 是等腰梯形． 易得三角形 ABE 的面积为9 3 4 ， 所以四边形 BCDE 的面积的取值范围是 15 3 4 ，6 3 . 在等腰梯形 BCDE 中，令 BC＝x，则 CD＝3 3－x，且梯形的高为 3x 2 ， 故梯形 BCDE 的面积为1 2·(3 3＋3 3－x)· 3x 2 ， 即 15≤(6 3－x)x<24， 解得 3≤x<2 3或 4 3