高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程互动课堂学案新人教A版选修4-41 4页

二 圆锥曲线的参数方程 互动课堂 重难突破 本课时要掌握椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,并能应用于设圆锥曲线上的点,从而讨 论最值、距离或定值等问题.难点是对参数方程中参数的几何意义或物理意义的理解. 一、圆锥曲线的参数方程的实际意义 圆锥曲线的参数方程不是无本之末、无源之水，而是来源于实际生活，是实际生活的抽 象. 例如，在军事上，在一定高度下作水平飞行的飞机将炸弹进攻投向目标，要知道炸弹离 开飞机后的各个时刻所处的位置.像这样的实际问题显然炸弹所处的位置与离开飞机的时间 密切相关，通过时间就可以将炸弹各个时刻所处横、纵位置给确定，从而可知其所处位置， 是否能击中目标就可以及时得知，这时显然通过建立相应的参数方程比建立普通方程容易， 这也更有利于实际需要.再比如在研究人造地球卫星的运行轨道时,常常也选择其参数方程 的形式来予以研究.这样的例子还有很多. 二、圆锥曲线的参数方程 1.椭圆 2 2 2 2 b y a x  =1(a>0,b>0)的参数方程是        sin ,cos by ax (φ为参数). 要注意:(1)参数φ的几何意义是点(假设为 M)的离心角,不是 OM 的旋转角. (2)通常规定φ∈［0,2π). 2.双曲线 2 2 2 2 b y a x  =1(a>0,b>0)的参数方程是        tan ,sec by ax (φ为参数). 同样需注意:(1)参数φ是点(假设为 M)所对应的圆的半径的旋转角(也称为点 M 的离心角), 不是 OM 的旋转角. (2)通常规定φ∈［0,2π),且φ≠ 2 π ,φ≠ 2 3π . 3.抛物线 y2=2px(其中 p 表示焦点到准线的距离)的参数方程为      pty ptx 2 ,2 2 (t 为参数).需强 调,参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,且 t∈(-∞,+∞). 4.圆锥曲线的参数方程的特点. 椭圆与双曲线的参数方程都与三角函数有着密切的关系. 椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，这与椭圆的有界性和正弦、余弦函 数的有界性有着一定的关系.而双曲线的参数方程与正割、正切函数有着密切的关系，这也 与双曲线的图形分布和正割、正切函数的值域有着密切的关系. 抛物线的参数方程是一、二次函数形式，同样这也与抛物线的图形分布和一、二次函数 的值域相对应着. 5.从课本的推导过程来看，好像一条圆锥曲线的参数方程形式的确是唯一的，但事实上，同 一条圆锥曲线的参数方程形式也不唯一，例如椭圆 12 2 2 2  b y a x 的参数方程可以是        tan ,sec by ax 的形式，也可以是        tan ,sec by ax 的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实 质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样对于双曲线、抛物线亦是如此. 6. 当 圆 锥 曲 线 的 普 通 方 程 不 是 标 准 形 式 时 , 也 可 表 示 为 参 数 方 程 形 式 , 如 1)()( 2 2 2 2  b ny a mx (a>b>0)可表示为        sin ,cos bny amx (φ为参数);同时要注意在使 用参数方程时所含变量的取值范围. 例如,实数 x、y 满足 9 )2()( 2 2 2  y a mx =1,试求 x-y 的最大值与最小值,并指出何时取得 最大值与最小值. 分析:本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换,但容易看到会出现开方,很不 利于求 x-y 的最大值与最小值.这时,根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解,借 助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决. 求解的过程可如下: 解:由已知可设             .2sin3 ,1cos4 ,sin3 2 ,cos4 1     y x y x 即 则 x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3, 其 中 cosα= 5 4 ,sinα= 5 3 . 当 cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z 时, cosθ=cos(2kπ-α)=cosα= 5 4 , sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=- 5 3 , x=4× 5 4 +1= 5 21 ,y=3×(- 5 3 )-2=- 5 19 时,x-y 的最大值为 8, 同理,当 x=- 5 11 ,y=- 5 1 时,x-y 的最小值为-2. 活学巧用 【例 1】已知 A、B 分别是椭圆 936 22 yx  =1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求 △ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程. 解析:本题有两种思考方式，求解时把点 C 的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭 圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式，从而予以求解. 解:由动点 C 在该椭圆上运动，故据此可设点 C 的坐标为(6cosθ,3sinθ)，点 G 的坐标为 (x,y)，则由题意可知点 A(6，0)、B(0，3). 由重心坐标公式可知        ,sin13 sin330 ,cos223 cos606   y x 由此消去θ得到 4 )2( 2x +(y-1)2=1,即为所求. 点评:本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很 简单，运算更简便. 【例 2】 在椭圆 2 2 2 2 b y a x  =1(a>b>0)的第一象限的 上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最 大,并求最大面积. 解析:如图,将四边形的 OAPB 分割成△OAP 与△OPB,则 P 点纵坐标为△OAP 的 OA 边上的高,P 点横坐标为△OPB 的 OB 边上的高. 解:设 P(acosθ,bsinθ),S△APB=S△OAP+S△OPB = 2 1 absinθ+ 2 1 abcosθ = 2 1 ab(sinθ+cosθ) = 2 2 absin( 4 π +θ). 当θ= 4 π 时,四边形 OAPB 面积最大,最大面积为 2 2 ab,此时,P 点坐标为( 2 2 a, 2 2 b). 点评:用参数方程解决一些最值、距离或定值等问题,非常有效. 【例 3】在椭圆 7x2+4y2=28 上求一点,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求出这一最 短距离. 解:把椭圆方程化为 74 22 yx  =1 的形式, 则可设椭圆上点 A 坐标为(2cosα, 7 sinα), 则 A 到 直 线 l 的 距 离 为 13 |16)sin(8| 13 |16sin72cos6|  aad ( 其 中 β=arcsin 4 3 ). ∴当β-α= 2 π 时,d 有最小值,最小值为 .13 138 13 8  . 此时α=β- 2 π ,∴sinα=-cosβ=- 4 7 ,cosα=sinβ= 4 3 . ∴A 点坐标为( 4 7,2 3  ). 【例 4】一炮弹在某处爆炸，在 F1(-5 000,0)处听到爆炸声的时间比在 F2(5 000,0)处晚 17 300 秒，已知坐标轴的单位长度为 1 米，声速为 340 米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆 炸点所在的曲线的参数方程. 解析:本题与实际生活紧密相关，主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解 决相关的问题，并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系. 解:由声速为 340 米/秒可知 F1、F2 两处与爆炸点的距离差为 340× 17 300 =6 000 米. 因此爆炸点在以 F1、F2 为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离 F1 处比 F2 处更远， 所以爆炸点 D 应在靠近 F2 处的一支上. 设爆炸点 P 的坐标为(x,y)，则 PF1-PF2=6 000， 即 2a=6 000,a=3 000，而 c=5 000， ∴b2=5 0002-3 0002=4 0002. 又 PF1-PF2=6 000>0， ∴x>0. ∴所求的双曲线方程为 2 2 2 2 00040003 yx  =1(x>0). 故所求曲线的参数方程为        tan0004 ,sec0003 y x 〔θ∈(- 2 π , 2 π )〕. 点评:在 F1 处听到爆炸声比 F2 处晚 17 300 秒，相当于爆炸点离 F1 的距离比 F2 远 6 000 米，这 是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这 是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)；借助双曲线的标准方程写出爆 炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题).