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- 2021-06-16 发布
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第5节 指数与指数函数
考试要求 1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象;4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
知 识 梳 理
1.根式的概念及性质
(1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|=
2.分数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
00时,y>1;
当x<0时,01;
当x>0时,00,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与00,且a≠1)的图象越高,底数越大.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)=-4.( )
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.( )
(3)函数y=2x-1是指数函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
解析 (1)由于==4,故(1)错.
(2)当<1时,不可以,故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),
故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.
(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.
故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过,则f(-1)=( )
A.1 B.2 C. D.3
解析 依题意可知a2=,解得a=,
所以f(x)=,所以f(-1)==.
答案 C
3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a1,∴b0且a≠1)的图象过定点A,则点A的坐标为______.
解析 令x-2 020=0,得x=2 020,则y=2 021,
故点A的坐标为(2 020,2 021).
答案 (2 020,2 021)
6.(2020·菏泽一中月考)计算:×+8×-=________.
解析 原式=×1+2×2-=2.
答案 2
考点一 指数幂的运算
【例1】 化简下列各式:
(1)+0.002--10(-2)-1+π0=______.
(2)(a>0,b>0)=________.
解析 (1)原式=+500-+1
=+10-10-20+1=-.
(2)原式==a+-1+b1+-2-=.
答案 (1)- (2)
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简下列各式:
(1)[(0.064)-2.5]--π0;
(2)a·b-2·÷.
解 (1)原式=--1
=--1
=--1=0.
(2)原式=-a-b-3÷
=-a-b-3÷(ab-)=-a-·b-
=-·=-.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)已知实数a,b满足等式2 020a=2 021b,下列五个关系式:
①01,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.01.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析 A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,
∴1.72.5<1.73,错误;
B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2,
∴0.6-1>0.62,正确;
C中,∵(0.8)-1=1.25,
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,
∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,错误;
D中,∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1,
∴1.70.3>0.93.1,错误.
答案 B
规律方法 比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
角度2 解简单的指数方程或不等式
【例3-2】 (1)(2020·包头模拟)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为______.
(2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是________.
解析 (1)当a<1时,41-a=21,解得a=;
当a>1时,代入不成立.故a的值为.
(2)当a<0时,原不等式化为-7<1,
则2-a<8,解得a>-3,所以-30且a≠1)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当00,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a
的值为________.
解析 (1)不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<,如图在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y=的图象,由题意知,在(0,+∞)内,直线有一部分在y=图象的下方,由图可知,-a<1,所以a>-1.
(2)令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈,又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).当0b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若ea+πb≥e-b+π-a,则有( )
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
(3)(角度3)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.
(4)(角度3)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),
B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为________.
解析 (1)因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,c=0.40.6<1,所以a>b,a>c.又y=0.4x是以0.4为底的指数函数,且在R上单调递减,所以0.40.2>0.40.6,即b>c,所以a>b>c.
(2)令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上是增函数,
由ea+πb≥e-b+π-a,得ea-π-a≥e-b-πb,
则f(a)≥f(-b),所以a≥-b,则a+b≥0.
(3)原不等式变形为m2-m<,
因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,所以≥=2.
当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-10,且a≠1,解得所以f(x)=3·2x.要使+≥m在区间(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=+在区间(-∞,1]上的最小值不小于m即可.因为函数y=+在区间(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.
答案 (1)A (2)D (3)(-1,2) (4)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2019·永州模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )
A.y=sin x B.y=x3
C.y= D.y=log2x
解析 y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.y=sin x不是单调递增函数,不符合题意;
y=是非奇非偶函数,不符合题意;
y=log2x的定义域是(0,+∞),不符合题意;
y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.
答案 B
2.函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y= B.y=|x-2|
C.y=2x-1 D.y=log2(2x)
解析 f(x)过定点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图象不过点A(1,1).
答案 A
3.(2020·西安调研)已知0aa,babb.
综上,ab最大.
答案 C
4.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )
解析 设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,则z=b(1+10.4%)x,故y==(1+10.4%)x,其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.
答案 D
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析 由f(1)=,得a2=,
所以a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.
答案 B
二、填空题
6.化简=________.
解析 原式==a---·b+-=.
答案
7.若函数f(x)=有最大值3,则a=________.
解析 令h(x)=ax2-4x+3,y=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
答案 1
8.设偶函数g(x)=a|x+b|在(0,+∞)上单调递增,则g(a)与g(b-1)的大小关系是________.
解析 由于g(x)=a|x+b|是偶函数,知b=0,
又g(x)=a|x|在(0,+∞)上单调递增,得a>1.
则g(b-1)=g(-1)=g(1),故g(a)>g(1)=g(b-1).
答案 g(a)>g(b-1)
三、解答题
9.已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明.
解 (1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a
=-1(经检验,a=-1时f(x)为奇函数,满足题意).
(2)由(1)知f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下:
设x10,a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求函数y=的值域;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值.
解 (1)因为函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),
∴∴
∴函数f(x)=2x+1>1,函数y==<1.
又=>0,故函数y=的值域为(0,1).
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],
若a>1,则函数f(x)=ax+b为增函数,
∴无解.
若01且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是( )
A.M=N B.M≤N
C.MN
解析 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以
a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=<1,所以M>N.
答案 D
12.(2020·衡水中学检测)已知函数f(x)=-x且满足f(2a-1)>f(3),则a的取值范围为( )
A.a>2 B.a<2
C.-12
解析 易知f(x)=-x是R上的偶函数,
又当x>0时,f(x)=-x单调递减.
由f(2a-1)>f(3)⇔f(|2a-1|)>f(3),
∴|2a-1|<3,解得-10,函数f(x)=的图象经过点P,Q.若2p+q=36pq,则a=________.
解析 因为f(x)==,且其图象经过点P,Q,
则f(p)==,即=-,①
f(q)==-,即=-6,②
①×②得=1,则2p+q=a2pq=36pq,
所以a2=36,解得a=±6,因为a>0,所以a=6.
答案 6
14.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时,f(x)=0,故f(x)=无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,
将上式看成关于2x的一元二次方程,
解得2x=2或2x=-,
因为2x>0,所以2x=2,所以x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,
所以m≥-(22t+1),
又y=-22t-1,t∈[1,2]为减函数,
∴ymax=-22-1=-5,故m≥-5.
C级 创新猜想
15.(多填题)已知函数f(x)=的图象关于点对称,则a=________,f(x)的值域为________.
解析 依题设f(x)+f(-x)=1,
则+=1,
整理得(a-1)[4x+(a-1)·2x+1]=0.
所以a-1=0,则a=1.
因此f(x)==1-.
由于1+2x>1,∴0<<1,∴0
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