2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11 6页

www.ks5u.com 课时分层作业(十五)　平面的基本事实与推论 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．给出下列说法：‎ ‎①梯形的四个顶点共面；‎ ‎②三条平行直线共面；‎ ‎③有三个公共点的两个平面重合；‎ ‎④三条直线两两相交，可以确定3个平面．‎ 其中正确的序号是(　　)‎ A．① B．①④ C．②③ D．③④‎ A　[因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．]‎ ‎2.下图中正确表示两个相交平面的是(　　)‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　D D　[A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画；D中交线及实、虚线均正确．故选D．]‎ ‎3．若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)‎ A　[a⊂α用图示表示应为A，B选项画法错误，C选项a∥α，D选项a与α相交．]‎ ‎4．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面(　　)‎ A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 D　[由基本事实3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．]‎ ‎5.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　)‎ A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D D　[根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．]‎ 二、填空题 ‎6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.‎ ‎∈　[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]‎ ‎7．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．‎ ‎(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．‎ ‎(1)4　(2)7　[(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面；‎ ‎(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．]‎ ‎8.如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，试根据图形填空：‎ ‎(1)平面AB1∩平面A‎1C1＝________；‎ ‎(2)平面A‎1C1CA∩平面AC＝________；‎ ‎(3)平面A‎1C1CA∩平面D1B1BD＝________；‎ ‎(4)平面A‎1C1，平面B‎1C，平面AB1的公共点为________．‎ ‎[答案]　(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1‎ 三、解答题 ‎9．求证：三棱台A1B‎1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点．‎ ‎[证明]　延长AA1，BB1，‎ 设AA1∩BB1＝P，‎ 又BB1⊂平面BC1，‎ ‎∴P∈平面BC1，‎ AA1⊂平面AC1，‎ ‎∴P∈平面AC1，‎ ‎∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，‎ 又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，‎ ‎∴P∈CC1，‎ 即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.‎ ‎10．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED‎1F与平面ABCD的交线并说明理由．‎ ‎[解]　如图，在平面AA1D1D内，延长D‎1F，∵D‎1F与DA不平行，因此D ‎1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD．‎ 又∵D‎1F⊂平面BED‎1F，‎ DA⊂平面ABCD，‎ ‎∴P∈平面BED‎1F，P∈平面ABCD．‎ ‎∴P∈(平面BED‎1F∩平面ABCD)，‎ 即P为平面BED‎1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED‎1F的公共点，‎ ‎∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED‎1F的交线．‎ ‎11．(多选题)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是(　　)‎ A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 ABD　[选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错；A、B、D均正确．]‎ ‎12．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是其所在棱的中点，则这四个点不共面的图形是(　　)‎ A　　　　B　　　　　C　　　　　D D　[在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR.即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D．]‎ ‎13.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，‎ BC，CD，DA上．‎ ‎(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．‎ ‎(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．‎ ‎(1)BD　(2)AC　[(1)若EH∩FG＝P，‎ 那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，‎ 而平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ 所以P∈BD．‎ ‎(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．]‎ ‎14．以下说法中，正确说法的序号是________．‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎③首尾依次相接的四条线段必共面．‎ ‎①　[①正确，若四点中有三点共线，则可以推出四点共面，这与四点不共面矛盾；②不正确，共面不具有传递性；③不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内．]‎ ‎15．正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：‎ ‎(1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？‎ ‎(2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？‎ ‎(3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？‎ ‎[解]　(1)直线EF，GH，DC能交于一点．理由如下：如图(1)，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB．同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P‎1C＝C‎1G＝C1D1＝AB．‎ 图(1)‎ 所以点P1与点P重合．因此直线EF，GH，DC能交于一点．‎ ‎(2)如图(2)，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面所在平面与平面ADD‎1A1的 公共点，连接RQ，与A1D1，A‎1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图中的阴影部分所示．‎ 图(2)‎ ‎ (3)截面为正六边形，其面积为6××＝a2.‎