人教A版高中数学3-2-2函数模型的应用举例（1）教案新人教版必修1 4页

3.2.2（1）函数模型的应用实例（教学设计） 教学目标： 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题． 过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过 程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要 性． 情感、态度、价值观 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值． 教学重点难点： 重点 运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题． 难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题． 一、新课引入： 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头； 从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更 好的方法？ 原来孙子提出了大胆的设想。 分析解答：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚 兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。 激发学生学习兴趣，增强其求知欲望． 用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题． 二、师生互动，新课讲解： 例 1(课本 P102 例 3)．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． 1） 写出速度 v 关于时间t 的函数解析式； 2） 写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式，并作图象； 3） 求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义； 4） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象． 0 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 探索： 1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？ 2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？ 3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？ 本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意 图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题． v （km/h） t（h） （1）获得路程关于时间变化的函数解析式：               .54,2299)4(65 43,2224)3(75 32,2134)2(90 21,2054)1(80 10,200450 tt tt tt tt tt s （2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象． 例 2（课本 P103 例 4）．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人 口增长提供依据．早在 1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： rteyy 0 其中t 表示经过的时间， 0y 表示t =0 时的人口数， r 表示人口的年平均增长率． 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料：（单位：万人） 年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数 55196 56300 57482 58796 60266 年份 1955 1956 1957 1958 1959 人数 61456 62828 64563 65994 67207 1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到 0.0001），用马尔萨斯人口增长模型 建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿？ 探索： 1） 本例中所涉及的数量有哪些？ 2） 描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？ 3） 根据表中数据如何确定函数模型？ 4） 对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？ 如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？ 本例中，数学模型 neyy 0 是指数型函数模型，它由 0y 与 r 两个参数决定，而 0y 与 r 的值不难得到．本题意 在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测， 这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度． 课堂练习（课本 P104 练习 NO：1；2） 例 3：某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函 数： R(x)＝ 400x－1 2 x2 (0≤x≤400) 80 000 (x>400) .其中 x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 分析 由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数． 解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，总利润＝总收益－总成本．由于 R(x)为分段函数，所以 f(x)也要分段 求出，将问题转化为分段函数求最值问题． 解 (1)设每月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x， 从而 f(x)＝ －1 2 x2＋300x－20 000 (0≤x≤400) 60 000－100x (x>400) . (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－1 2 (x－300)2＋25 000， ∴当 x＝300 时，有最大值 25 000； 当 x>400 时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当 x＝300 时，f(x)的最大值为 25 000. ∴每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25 000 元． 点评 在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销 售价格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系． 三、课堂小结，巩固反思： 四、布置作业： A 组： 1. 一个高为 H，盛水量为 V0 的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深 h 时 水的体积为 V，则函数 V=f(h)的图象大致是( ) 答案 D 解析 考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较． 2 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3 4 ，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 B 解析 设至少要洗 x 次，则 1－3 4 x≤ 1 100 ， ∴x≥ 1 lg 2 ≈3.32，因此至少要洗 4 次． 3（课本 P107 习题 3.2 A 组 NO：2） 4（课本 P107 习题 3.2 A 组 NO：3） 5（课本 P107 习题 3.2 A 组 NO：4）（只列出总造价的表达式，并化简即可） 6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝5log2 Q 10 ， 单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 分析 由题目可获取以下主要信息： ①已知飞行速度是耗氧量的函数； ②第(1)问知 v，求 Q；第(2)问知 Q，求 v. 解答本题的关键是给变量赋值． 解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2 Q 10 ，解得 Q＝10. 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位． (2)将耗氧量 Q＝80 代入题给公式得： v＝5log2 80 10 ＝5log28＝15 (m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时， 它的飞行速度为 15 m/s. 点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求 解． B 组： 1、（课本 P107 习题 3.2 B 组 NO：2）