宁夏六盘山高级中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试卷 Word版含解析 18页

- 1 - 宁夏六盘山高级中学 2020-2021 学年第一学期高三期中测试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1. 已知集合  2, 1,0,1,2,3U    ，  1,0,1A   ，  1,2B  ，则 ( )U A B ð （ ） A.  2,3 B.  2,2,3 C.  2, 1,0,3  D.  2, 1,0,2,3  【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的交并补公式，直接代入求解即可. 【详解】先求  1,0,1,2A B   ，  ( ) -2,3U A B ð . 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的交并补运算，在高考中属于送分题，属于简单题. 2. 命题“ 0x  ，使 2 3x x ”的否定是（ ） A. 0x  ，使 2 3x x „ B. 0x  ，使 2 3x x C. 0x „ ，使 2 3x x „ D. 0x „ ，使 2 3x x 【答案】A 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“ 0x  ，使 2 3x x ”的否定是 “ 0x  ，使 2 3x x „ ”. 故选 A 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型. - 2 - 3. 设 10 3 iz i   ，则 z 的共轭复数为 A. 1 3i  B. 1 3i  C. 1 3i D. 1 3i 【答案】D 【解析】 试题分析：      10 310 1 3 ,3 3 3 i iiz i zi i i        的共轭复数为1 3i ，故选 D． 考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念． 4. 设 m､n 是空间中不同的直线，α､β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 l // m，m⊂α，则 l // α B. 若 m⊂α，n⊂β，α // β，则 m // n C. 若α // β，m⊂α，则 m // β D. 若 m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // β 【答案】C 【解析】 【分析】 在 A 中， / /l  或l  ；在 B 中， //m n 或 m 与 n 异面；在 C 中，由面面平行的性质定理得 / /m  ；在 D 中， 与  平行或相交. 【详解】解：由 m、n 是空间中不同的直线， 、  是不同的平面，知： 在 A 中，若 //l m ， m  ，则 / /l  或l  ，故 A 错误； 在 B 中，若 m  ， n  ， / /  ，则 //m n 或 m 与 n 异面，故 B 错误； 在 C 中，若 / /  ， m  ，则由面面平行的性质定理得 / /m  ，故 C 正确； 在 D 中，若 m  ， n  ， / /m  ， / /n  ，则 与  平行或相交，故 D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 是基础题. 5. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若角 A，C，B 成等差数列，且 2sin sin sin C A B ，则 ABC 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 - 3 - C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用等差数列的性质可得 60C   ，由正弦定理可得 2c ab ，根据余弦定理可求 a b ，即可判断三角形的形状． 【详解】解：由题意可知， 60C   ， 因为 2sin sin sin C A B ， 所以 2c ab ， 则 2 2 2 2 22 cosc a b ab C a b ab ab       ， 所以 a b ， 所以 a b c  ， 故 ABC 为等边三角形． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查 了转化思想，属于基础题． 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 8 16 3   B. 168 3   C. 12 6  D. 4 43   【答案】A 【解析】 由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成．由三视图中的 - 4 - 数据可得其体积为 21 1 1 1 8 16( 2 4) 4 ( 2 ) 43 2 2 3 3V             ．选 A． 7. 设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 8 7 13 5 a a  ，则 15 13 S S  （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 试题分析：根据等差数列的性质，有 15 1 15 8 13 1 13 7 15 15 313 13 S a a a S a a a      . 考点：等差数列的基本性质. 8. 如图，在 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点， 2AG GD  ，则用向量 ,AB AC  表示 BG 为 （ ） A. 2 1 3 3BG AB AC     B. 1 2 3 3BG AB AC     C. 2 1 3 3BG AB AC    D. 2 1 3 3BG AB AC    【答案】A 【解析】 【分析】 先根据题意，得到  1 2AD AB AC    ， 2 3AG AD uuur uuur ，再由向量的加减运算，即可得出结果. 【详解】因为点 D 是边 BC 的中点，所以  1 2AD AB AC    ， 又 2AG GD  ，所以 2 3AG AD uuur uuur ， 因此  2 1 1 2 3 3 3 3BG AG AB AD AB AB AC AB AC AB                  - 5 - 故选：A. 【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9. 已知平面向量 ,a b   满足 (1, 3)a   ，| | 3b   ， ( 2 )a a b      ，则| 2 3 |a b     （ ） A. 73 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的垂直关系求出 a b  ，再将向量的模长转化为向量的数量积，即可求解. 【详解】由题意可得| | 1 3 2a    且 ( 2 ) 0a a b     ， 即 2 2 0a a b     ，所以 4 2 0a b    ， 所以 2a b   ， 2 22| 2 3 | (2 3 ) 4 12 9a b a b a a b b              16 24 81 73    ． 故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，熟记公式即可，属于基础题． 10. 关于函数    3 2cos cos sinf x x x x   ，有以下 4 个结论： ①  f x 的最小正周期是 ； ②  f x 的图象关于点 08     ， 中心对称； ③  f x 的最小值为 2 2 ； ④  f x 在区间 5 6 12       ， 内单调递增 其中所有正确结论的序号是（ ） - 6 - A. ①②③ B. ①③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得   2 sin(2 ) 24f x x    ，结合正弦函数的图象与 性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案. 【 详 解 】     23 2cos cos sin 3 2cos 2cos sin 2 sin 2 cos2 2 sin(2 ) 24f x x x x x x x x x x             ， 由 2  ，知：最小正周期 2 | |T    ，故①正确； 由正弦函数的性质，知：  f x 中 2 4x k   ， k Z ，则对称中心为 ( ,2)2 8 k  ，故② 错误； 由  f x 的化简函数式知： min( ) 2 2f x   ，故③正确 因为 2 4y x   在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：  f x 在 2 2 22 4 2k x k        上递增， 可得 3 8 8k x k      ， k Z ，有一个单调增区间为 3[ , ]8 8   ， 故 5,6 12       上不单调，故④错误， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据正余弦倍角公式及辅助角公式化简函数式， 结合三角函数的图象与性质确定最小正周期、对称中心、最值、增减区间判断选项正误，属 于中档题. 11. 已知数列 na 满足 1 1 2a  ， 1 2 1 n na a n n    ，则 na  （ ） A. 3 1 2 n  B. 32 1n   C. 11 1n   D. 3 1 2 n  【答案】A 【解析】 【分析】 - 7 - 利用已知条件得到 1 2 1 1 1 1n na a n n n n      ，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消 法求数的和. 【详解】由 1 2 1 n na a n n    得： 1 2 1 1 1 1n na a n n n n      ， 即 1 1 1 1n na a n n   ， 所以      1 2 1 3 2 1n n na a a a a a a a         1 1 1 1 1 1 3 112 2 2 3 1 2n n n           . 故选：A. 【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法： 1.型如：  1n na a f n   的数列的递推公式，采用累加法求通项； 2.形如：  1n n a f na   的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 3.形如： 1n na pa q     1 0pq p   的递推公式，通过构造转化为  1n na t p a t    ，构造数列 na t 是以 1a t 为首项， p 为公比的等比数列， 4.形如： 1 n n na pa q     1 0pq p   的递推公式，两边同时除以 1nq  ，转化为 1n nb mb t   的形式求通项公式； 5.形如： 1 1 n n n n a a da a    ，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 12. 已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 (3) 16f  ，且 ( )f x 的导函数 '( ) 4 1f x x  ，则不等式 2( ) 2 1f x x x   的解集为（ ） A.  | 3 3x x   B.  | 3x x   C.  | 3x x  D.  | 3x x   或 }3x > 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，设 2( ) ( ) 2 1g x f x x x    ，求导分析可得 ( ) 0g x  ，即函数 ( )g x 在 R 上为减函数， - 8 - 则原不等式可以转化为    3g x g ，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设 2( ) ( ) 2 1g x f x x x    ，其导数 ( ) ( ) 4 1g x f x x     ， 又由 ( ) 4 1f x x   ，即 ( ) 4 1 0f x x    ， 则 ( ) 0g x  ，即函数 ( )g x 在 R 上为减函数， 又由 f （3） 16 ，则 g （3） f （3） 18 3 1 0    ，    2 2( ) 2 1 ( ) 2 1 0 3f x x x f x x x g x g          ， 又由函数 ( )g x 为减函数，则有 3x  ， 则不等式 2( ) 2 1f x x x   的解集为{ | 3}x x  ； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数， 利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 已知 2tan  ，则 2cos q 的值为__________. 【答案】 3 5- 【解析】 【分析】 由三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，化简得 2 2 1 tan 2 1 tancos qq q -= + ，代入即可求解. 【详解】由题意知： 2tan  ， 又由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 1 2 3 2 cos sin cos sin 1 tan 1 2 5cos q q qq q q q q q - - -= - = = = = -+ + + . 故答案为： 3 5- . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中利用三角函数的基本关系式和余 弦的倍角公式，化简为齐次式求解是解答的关键.着重考查了化简与运算能力，属于基础题. 14. 数列 na 的前 n 项和 nS 满足 2 2n nS a  ，则数列 na 的通项公式 na  ______. 【答案】 2n 【解析】 - 9 - 【分析】 本题首先可根据 2 2n nS a  得出  12 2n na a n  ，然后令 1n  ，求出 1a 的值，最后根据 等比数列的定义即可得出结果. 【详解】因为 2 2n nS a  ，所以  1 12 2 2n nS a n    ， 则  1 12 2 2 2n n n n na S S a a       ，即  12 2n na a n  ， 当 1n  时， 1 1 12 2S a a   ，解得 1 2a  ， 故数列 na 是首项为 2 、公比为 2 的等比数列， 2n na  ， 故答案为： 2n . 【点睛】思路点睛：已知 nS 求 na 的一般步骤： （1）当 1n  时，由 1 1a S ，求 1a 的值； （2）当 2n  时， 1n n na S S   ，求得 na 的表达式； （3）检验 1a 的值是否满足（2）中 na 的表达式，若不满足则分段表示 na ， （4）写出 na 的完整的表达式. 15. 正四棱锥 P ABCD 中， 3PA  ， 2AB  ，则 PA 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ______. 【答案】 7 3 【解析】 【分析】 作出图形，连接 AC ，BD ，记 AC 与 BD 交于点O ，连接 PO ，根据正四棱锥的特征以及线 面角的概念，得到 PAO 即为直线 PA 与平面 ABCD 所成的角，再由题中条件，即可求出结 果. 【详解】连接 AC ， BD ，记 AC 与 BD 交于点O ，连接 PO ， - 10 - 因为四棱锥 P ABCD 为正四棱锥，所以 PO  底面 ABCD ， 则 PAO 即为直线 PA 与平面 ABCD 所成的角， 因为 2AB  ，所以 2 21 1 2 2 22 2AO AC    ， 又 3PA  ，所以 2cos 3 AOPAO PA    ， 因此 2 2 7sin 1 3 3PAO         ， 即 PA 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 7 3 . 故答案为： 7 3 . 【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法： （1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在 几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果； （2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量， 通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面 的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可. 16. 已知函数   , 0 ln , 0 xe xf x x x     ，若方程  f x x m  有两个不同根，则实数 m 的最小值 为______. 【答案】1 【解析】 - 11 - 【分析】 画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可． 【详解】解：先作出函数   , 0 ln , 0 xe xf x x x    „ 的图象，再结合图象平移直线 y x m  ， 由图象知 ( )f x x m  有两个零点时，须 1m… ， 故 m 的最小值为 1． 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分） 17. 设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3 2 sina b A . （1）求 B 的大小； （2）若 2b ac ，求 A 的大小. 【答案】（1） 3  ；（2） 3  . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理，可转化 3 2 sina b A 为 3 sin 2 sin sinA B A ，即得解； （2）由余弦定理： 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，可得 a c ，故 ABC 为等边三角形，即得解. 【详解】（1）锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 3 2 sina b A .由正弦定理： 所以： 3 sin 2 sin sinA B A ， 由于：sin 0A  ， - 12 - 整理得： 3sin , (0, )2 2B B   , 所以： 3B  （2）由于： 2 2 2 2 cosb a c ac B ac    ， 所以： 2 22 0a ac c   ， 解得： a c 故 ABC 为等边三角形， 所以： 3A  【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数 学运算的能力，属于基础题. 18. 已知等比数列 na 的公比 1q  ， 1 1a  ，且 22a ， 4a ， 33a 成等差数列. （1）求数列 na 的通项公式； （2）记 2n nb na ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 【答案】（1） 12n na -= ；（2）   11 2 2n nT n     . 【解析】 【分析】 （1）由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得 q，则通项公式可求； （2）把数列 na 的通项公式代入 2n nb na ，再由错位相减法求数列 nb 的前 n 项和 nT . 【详解】解：（1）由 22a ， 4a ， 33a 成等差数列， 得 4 2 32 2 3a a a  ，即 3 22 2 3q q q  ， 1q Q ，解得 2q = . 12n na - = ； （2） 12 2 2 2n n n nb na n n     . 1 2 31 2 2 2 3 2 2 n nT n         ， - 13 -  2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n            ，  2 3 1 12 1 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n nT n n            ，   11 2 2n nT n      . 【点睛】等差数列中基本量的运算是第一问的主要知识点；错位相减法求和时，要注意两边 乘以公比后，再作差，转化成等比数列求和. 19. 已知函数   2cos 3sin cosf x x x x  （1）若 是第二象限角，且 6sin 3   ，求  f  的值； （2）当 2,0x      时，求函数  f x 的值域． 【答案】（1）   1 6 3  f ；（2）   30 2,f x     【解析】 【分析】 （1）由平方关系求出 cos ，代入后可得 ( )f  ； （2）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正 弦函数可得值域． 【详解】解析： （1） 是第二象限角，且 6sin 3   ，所以 3cos 3    ，所以   1 6 3 1 633 3 3 3f      ． （2）   2 1 cos2 3 1cos 3sin cos sin 2 sin 22 2 6 2 xf x x x x x x            ， 由 2,0x      可知 72 ,6 6 6x        ，所以 1 sin 2 12 6x        ，所以   30 2,f x     ． 【点睛】本题考查二倍角公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系，正弦函数的性 - 14 - 质．三角函数问题通常都是利用三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利 用三角函数的性质求解． 20. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M 为 PC 中点，且 090PAB PDC    . (1)证明： / /PA 平面 BDM ； (2)证明：平面 PAB  平面 PAD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1) 连接 AC 交 BD 于点O ，连接OM ，可证 / /OM PA，从而可证 / /PA 平面 BDM (2) 可证 AB  平面 PAD ，从而得到平面 PAB  平面 PAD . 【详解】(1) 连接 AC 交 BD 于点O ，连接OM ， 因为底面 ABCD 为平行四边形，所以O 为 AC 中点. 在 PAC 中,又 M 为 PC 中点，所以 / /OM PA. 又 PA  平面 BDM ，OM  平面 BDM ， 所以 / /PA 平面 BDM . (2) 因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 / /AB CD . 又 090PDC  即CD PD ，所以 AB PD . 又 090PAB  即 AB PA . 又 PA  平面 PAD ， PD  平面 PAD ， PA PD P ， 所以 AB  平面 PAD . 又 AB Ì平面 PAB ，所以平面 PAB  平面 PAD . - 15 - 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平 行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直 线的平面，证明该平面与已知平面平行. 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相 交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可 以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 21. 已知函数   1f x x  ，   ln 1g x x  . （1）求证：    f x g x 有两个不同的实数解； （2）若      g x m g x f x    在 1x  时恒成立，求整数 m 的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】 （1）构造新函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  ，由导数研究 ( )h x 的单调性与最值，根据零点存在定理 得结论； （2）题设不等式变形为 ln 1 x x xm x   ，构造函数 ln( ) 1 x x xm x x   ，用导数知识求出 ( )m x 的 最小值，得 m 范围，从而可得最大整数值． 【详解】（1）由    f x g x 得 ln 2 0x x   ， 令   ln 2h x x x   ，则   1 11 xh x x x     ， 当  0,1x 时，   0h x  ，  h x 单调递减；当  1,x  时，   0h x  ，  h x 单调递增. 所以  h x 的最小值为  1 1 0h    ， 而当 0x  时，  h x   ，当 x   时，  h x   ， 故    f x g x 有两个不同的实数解. - 16 - （2）      g x m g x f x    在 1x  时恒成立，即  ln 1x x x m x   在 1x  时恒成立， 所以 ln 1 x x xm x   在 1x  时恒成立， 设 ln( ) 1 x x xm x x   ，则 2 ln 2( ) ( 1) x xm x x     ， 由（1）   0m x  有唯一零点 0 1x  ，即 0 0ln 2 0x x   ， 又  3 1 ln3 0h    ，  4 2 ln 4 0h    ， 所以  0 3,4x  ，且当  01,x x 时，   0m x  ，当  0 ,x x  时，   0m x  ， 所以      0 0 0 0 min 0 0 0 0 ln 1 1( ) 1 1 x x x xm x m x xx x       ， 由题意，得 0m x ，且  0 3,4x  ， 因此整数 m 的最大值为 3. 【点睛】本题考查用导数研究方程的解，研究不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，解 题关键是问题的转化，方程的解的个数转化为函数零点个数，不等式恒成立转化为研究函数 的最值，最终转化为用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题解决问题的能力． 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 1 cos ,:{ sin , x tC y t     （t 为参数,且 0t  ）,其中 0    ,在以 O 为 极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2 3: 2sin , : 2 3cos .C C     （Ⅰ）求 2C 与 3C 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 1C 与 2C 相交于点 A, 1C 与 3C 相交于点 B,求 AB 最大值. 【答案】（Ⅰ）  3 30,0 , ,2 2       ；（Ⅱ）4. 【解析】 （ Ⅰ ） 曲 线 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2 2 0x y y   ， 曲 线 3C 的 直 角 坐 标 方 程 为 - 17 - 2 2 2 3 0x y x   ．联立 2 2 2 2 2 0,{ 2 3 0, x y y x y x       解得 0,{ 0, x y   或 3 ,2{ 3 ,2 x y   所以 2C 与 1C 交点的 直角坐标为 (0,0) 和 3 3( , )2 2 ． （Ⅱ）曲线 1C 的极坐标方程为 ( , 0)R      ，其中 0    ．因此 A 得到极坐标为 (2sin , )  ， B 的极坐标为 ．所以 2sin 2 3 cosAB    4 ( )3sin   ，当 5 6   时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 23. 已知函数   2 3 2 1f x x x    ． （1）求不等式   9f x  的解集； （2）若对  0,1x ，不等式   2f x x a  恒成立，求 a 的取值范围． 【答案】（1） 52 2     ， ；（2） 5 3 ， ． 【解析】 【分析】 （1）利用零点分界法即可求解. （2）由 0 1x  ，则   5f x  ，将问题转化为 2 5x a  对  01x ， 恒成立，去绝对值分 离参数即可求解. 【详解】解：（1）   4 1, 1 32 3 2 1 5, 1 2 34 1, 2 x x f x x x x x x                  ，． - 18 -   9f x  等价于 1 4 1 9 x x      ，或 31 2 5 9 x     ，或 3 2 4 1 9 x x      ， 解得 2 1x    或 31 2x   或 3 5 2 2x  ． 故不等式   9f x  的解集为 52 2     ， ． （2）因为 0 1x  ．所以   5f x  ， 则   2f x x a  对  01x ， 恒成立等价于 2 5x a  对  01x ， 恒成立， 即 5 2 5x a    对  01x ， 恒成立， 则 2 5 2 5 a x a x        ， 因为 0 1x  ，所以 5 3a ≤ ≤ ，即 a 的取值范围为 5 3 ， ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题