高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-3-1-3-1学业分层测评word版含答案 5页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设 S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则 S 等于( ) A．(x－1)3 B．(x－2)3 C．x3 D．(x＋1)3 【解析】 S＝[(x－1)＋1]3＝x3. 【答案】 C 2．已知 x－1 x 7 的展开式的第 4 项等于 5，则 x 等于( ) A.1 7 B．－1 7 C．7 D．－7 【解析】 T4＝C37x4 －1 x 3＝5，则 x＝－1 7. 【答案】 B 3．若对于任意实数 x，有 x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则 a2 的值 为( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】 x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C23×2＝6. 【答案】 B 4．使 3x＋ 1 x x n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】 Tr＋1＝Crn(3x)n－r 1 x x r＝Crn3n－rxn－5 2r，当 Tr＋1 是常数项时，n－5 2r ＝0，当 r＝2，n＝5 时成立． 【答案】 B 5．(x2＋2) 1 x2 －1 5 的展开式的常数项是( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 【解析】 二项式 1 x2 －1 5 展开式的通项为：Tr＋1＝ Cr5 1 x2 5－r·(－1)r＝Cr5·x2r－10·(－1)r. 当 2r－10＝－2，即 r＝4 时，有 x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5； 当 2r－10＝0，即 r＝5 时，有 2·C55x0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为 5－2＝3，故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6．(2016·安徽淮南模拟)若 x＋1 x n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相 等，则该展开式中1 x2 的系数为________． 【解析】 由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8. ∴Tk＋1＝Ck8·x8－k· 1 x k＝Ck8·x8－2k，当 8－2k＝－2 时，k＝5，∴1 x2 的系数为 C58＝ 56. 【答案】 56 7．设二项式 x－ a x 6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B.若 B＝4A， 则 a 的值是________． 【解析】 对于 Tr＋1＝Cr6x6－r(－ax－1 2)r＝Cr6(－a)r·x6－3 2r，B＝C46(－a)4，A＝ C26(－a)2.∵B＝4A，a>0， ∴a＝2. 【答案】 2 8．9192 被 100 除所得的余数为________． 【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－… ＋C9292992， 展开式中前 92 项均能被 100 整除，只需求最后一项除以 100 的余数． ∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1， 前 91 项均能被 100 整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中 分离出 1 000，结果为 1 000－919＝81，故 9192 被 100 除可得余数为 81. 法二：9192＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9092·902＋C9192·90＋C9292. 前 91 项均能被 100 整除，剩下两项和为 92×90＋1＝8 281，显然 8 281 除以 100 所得余数为 81. 【答案】 81 三、解答题 9．化简：S＝1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn(n∈N*)． 【解】 将 S 的表达式改写为：S＝C0n＋(－2)C1n＋(－2)2C2n＋(－2)3C3n＋…＋(－ 2)nCnn＝[1＋(－2)]n＝(－1)n. ∴S＝(－1)n＝ 1，n 为偶数时， －1，n 为奇数时. 10．(2016·淄博高二检测)在 2 x－ 1 x 6 的展开式中，求： (1)第 3 项的二项式系数及系数； (2)含 x2 的项． 【解】 (1)第 3 项的二项式系数为 C26＝15， 又 T3＝C26(2 x)4 － 1 x 2＝24·C26x， 所以第 3 项的系数为 24C26＝240. (2)Tk＋1＝Ck6(2 x)6－k － 1 x k＝(－1)k26－kCk6x3－k，令 3－k＝2，得 k＝1. 所以含 x2 的项为第 2 项，且 T2＝－192x2. [能力提升] 1．(2016·吉林长春期末)若 C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn 能被 7 整除，则 x，n 的值可 能为( ) A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 【解析】 C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，分别将选项 A、B、C、D 代入 检验知，仅 C 适合． 【答案】 C 2．已知二项式 x＋ 1 3 x n 的展开式中第 4 项为常数项，则 1＋(1－x)2＋(1－x)3 ＋…＋(1－x)n 中 x2 项的系数为( ) A．－19 B．19 C．20 D．－20 【解析】 x＋ 1 3 x n 的通项公式为 Tr＋1＝Crn( x)n－r· 1 3 x r＝Crnxn 2 －5r 6 ，由题意 知n 2 －5×3 6 ＝0，得 n＝5，则所求式子中的 x2 项的系数为 C22＋C23＋C24＋C25＝1＋3＋ 6＋10＝20.故选 C. 【答案】 C 3．对于二项式 1 x ＋x3 n(n∈N*)，有以下四种判断： ①存在 n∈N*，展开式中有常数项；②对任意 n∈N*，展开式中没有常数项； ③对任意 n∈N*，展开式中没有 x 的一次项；④存在 n∈N*，展开式中有 x 的一次 项．其中正确的是________． 【解析】 二项式 1 x ＋x3 n 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Crnx4r－n，由通项公式 可知，当 n＝4r(r∈N*)和 n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 【答案】 ①与④ 4．求 x 2 ＋1 x ＋ 2 5 的展开式的常数项. 【导学号：97270023】 【解】 法一：由二项式定理得 x 2 ＋1 x ＋ 2 5＝ x 2 ＋1 x ＋ 2 5＝C05· x 2 ＋1 x 5＋ C15· x 2 ＋1 x 4· 2＋C25· x 2 ＋1 x 3·( 2)2＋C35· x 2 ＋1 x 2·( 2)3＋C45· x 2 ＋1 x ·( 2)4＋C55·( 2)5. 其中为常数项的有： C15 x 2 ＋1 x 4· 2中的第 3 项：C15C24· 1 2 2· 2； C35· x 2 ＋1 x 2·( 2)3 中的第 2 项：C35C12·1 2·( 2)3；展开式的最后一项 C55·( 2)5. 综上可知，常数项为 C15C24· 1 2 2· 2＋C35C12·1 2·( 2)3＋C55·( 2)5＝63 2 2 . 法二：原式＝ x2＋2 2x＋2 2x 5 ＝ 1 32x5·[(x＋ 2)2]5＝ 1 32x5·(x＋ 2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋ 2)10 的展开式中含 x5 的项的系数，即 C5 10·( 2)5，所以所求的常数项为C5 10· 25 32 ＝ 63 2 2 .