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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修2-3第一章计数原理1-3-1-3-1学业分层测评word版含答案

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学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.设 S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则 S 等于( ) A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3 【解析】 S=[(x-1)+1]3=x3. 【答案】 C 2.已知 x-1 x 7 的展开式的第 4 项等于 5,则 x 等于( ) A.1 7 B.-1 7 C.7 D.-7 【解析】 T4=C37x4 -1 x 3=5,则 x=-1 7. 【答案】 B 3.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值 为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 x3=[2+(x-2)]3,a2=C23×2=6. 【答案】 B 4.使 3x+ 1 x x n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 Tr+1=Crn(3x)n-r 1 x x r=Crn3n-rxn-5 2r,当 Tr+1 是常数项时,n-5 2r =0,当 r=2,n=5 时成立. 【答案】 B 5.(x2+2) 1 x2 -1 5 的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 【解析】 二项式 1 x2 -1 5 展开式的通项为:Tr+1= Cr5 1 x2 5-r·(-1)r=Cr5·x2r-10·(-1)r. 当 2r-10=-2,即 r=4 时,有 x2·C45x-2·(-1)4=C45×(-1)4=5; 当 2r-10=0,即 r=5 时,有 2·C55x0·(-1)5=-2. ∴展开式中的常数项为 5-2=3,故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6.(2016·安徽淮南模拟)若 x+1 x n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相 等,则该展开式中1 x2 的系数为________. 【解析】 由题意知,C2n=C6n,∴n=8. ∴Tk+1=Ck8·x8-k· 1 x k=Ck8·x8-2k,当 8-2k=-2 时,k=5,∴1 x2 的系数为 C58= 56. 【答案】 56 7.设二项式 x- a x 6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B.若 B=4A, 则 a 的值是________. 【解析】 对于 Tr+1=Cr6x6-r(-ax-1 2)r=Cr6(-a)r·x6-3 2r,B=C46(-a)4,A= C26(-a)2.∵B=4A,a>0, ∴a=2. 【答案】 2 8.9192 被 100 除所得的余数为________. 【解析】 法一:9192=(100-9)92=C092·10092-C192·10091·9+C292·10090·92-… +C9292992, 展开式中前 92 项均能被 100 整除,只需求最后一项除以 100 的余数. ∵992=(10-1)92=C092·1092-C192·1091+…+C9092·102-C9192·10+1, 前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中 分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除可得余数为 81. 法二:9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+C9292. 前 91 项均能被 100 整除,剩下两项和为 92×90+1=8 281,显然 8 281 除以 100 所得余数为 81. 【答案】 81 三、解答题 9.化简:S=1-2C1n+4C2n-8C3n+…+(-2)nCnn(n∈N*). 【解】 将 S 的表达式改写为:S=C0n+(-2)C1n+(-2)2C2n+(-2)3C3n+…+(- 2)nCnn=[1+(-2)]n=(-1)n. ∴S=(-1)n= 1,n 为偶数时, -1,n 为奇数时. 10.(2016·淄博高二检测)在 2 x- 1 x 6 的展开式中,求: (1)第 3 项的二项式系数及系数; (2)含 x2 的项. 【解】 (1)第 3 项的二项式系数为 C26=15, 又 T3=C26(2 x)4 - 1 x 2=24·C26x, 所以第 3 项的系数为 24C26=240. (2)Tk+1=Ck6(2 x)6-k - 1 x k=(-1)k26-kCk6x3-k,令 3-k=2,得 k=1. 所以含 x2 的项为第 2 项,且 T2=-192x2. [能力提升] 1.(2016·吉林长春期末)若 C1nx+C2nx2+…+Cnnxn 能被 7 整除,则 x,n 的值可 能为( ) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 【解析】 C1nx+C2nx2+…+Cnnxn=(1+x)n-1,分别将选项 A、B、C、D 代入 检验知,仅 C 适合. 【答案】 C 2.已知二项式 x+ 1 3 x n 的展开式中第 4 项为常数项,则 1+(1-x)2+(1-x)3 +…+(1-x)n 中 x2 项的系数为( ) A.-19 B.19 C.20 D.-20 【解析】 x+ 1 3 x n 的通项公式为 Tr+1=Crn( x)n-r· 1 3 x r=Crnxn 2 -5r 6 ,由题意 知n 2 -5×3 6 =0,得 n=5,则所求式子中的 x2 项的系数为 C22+C23+C24+C25=1+3+ 6+10=20.故选 C. 【答案】 C 3.对于二项式 1 x +x3 n(n∈N*),有以下四种判断: ①存在 n∈N*,展开式中有常数项;②对任意 n∈N*,展开式中没有常数项; ③对任意 n∈N*,展开式中没有 x 的一次项;④存在 n∈N*,展开式中有 x 的一次 项.其中正确的是________. 【解析】 二项式 1 x +x3 n 的展开式的通项公式为 Tr+1=Crnx4r-n,由通项公式 可知,当 n=4r(r∈N*)和 n=4r-1(r∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项. 【答案】 ①与④ 4.求 x 2 +1 x + 2 5 的展开式的常数项. 【导学号:97270023】 【解】 法一:由二项式定理得 x 2 +1 x + 2 5= x 2 +1 x + 2 5=C05· x 2 +1 x 5+ C15· x 2 +1 x 4· 2+C25· x 2 +1 x 3·( 2)2+C35· x 2 +1 x 2·( 2)3+C45· x 2 +1 x ·( 2)4+C55·( 2)5. 其中为常数项的有: C15 x 2 +1 x 4· 2中的第 3 项:C15C24· 1 2 2· 2; C35· x 2 +1 x 2·( 2)3 中的第 2 项:C35C12·1 2·( 2)3;展开式的最后一项 C55·( 2)5. 综上可知,常数项为 C15C24· 1 2 2· 2+C35C12·1 2·( 2)3+C55·( 2)5=63 2 2 . 法二:原式= x2+2 2x+2 2x 5 = 1 32x5·[(x+ 2)2]5= 1 32x5·(x+ 2)10.求原式中展开式的常数项,转化为求(x+ 2)10 的展开式中含 x5 的项的系数,即 C5 10·( 2)5,所以所求的常数项为C5 10· 25 32 = 63 2 2 .