云南省2020届高三适应性考试数学（理）试题（A卷） Word版含解析 26页

- 1 - 2020 届高三适应性考试 理科数学试卷 一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解法和对数函数的定义域化简集合，再利用交集的定义可得结果. 【详解】化简集合 ， 可得 ， ， 所以 . 故选 A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知 是虚数单位，复数 的共轭复数虚部为 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果. 【详解】因为 ，所以复数 的共轭复数为 ，因此虚部为 4， 选 C. { }2 0A x x x= + ≤ { }ln(2 1)B x y x= = + A B 1 ,02  −   1 ,02  −   1 ,02      11, 2  − −   { }2 0A x x x= + ≤ { }ln(2 1)B x y x= = + { }1 0A x x= − ≤ ≤ 1 2B x x = −  ＞ 1 02A B x x ∩ = − ≤  ＜ i 2(1 2 )i− 4i 3 4 4− ( )21 2 3 4i i− = − − ( )21 2i− 3 4i− + - 2 - 【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量垂直得向量的数量积为 0 可解得 ． 【详解】由已知 ， ∵ ，∴ ，解得 ． 故选：A． 【点睛】本题考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的坐标运算，属于基础题． 4. 已知 的展开式的各项系数和为 32，则展开式中 的系数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知 的展开式的各项系数和为 32，求得 ，再根据二项展开式的通项，即可 求解． 【详解】由题意知 的展开式的各项系数和为 32，即 ，解得 ， 则二项式 的展开式中 的项为 ，所以 的系数为 5，故选 D． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的系数和，及展开式的项的系数的求解，其中解答中熟 记二项式的系数和的解法，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了运算与求解能 力，属于基础题． 5. 已知命题 ， 或 ，则 为（ ） A. ， 且 B. ， 或 C. ， 或 D. ， 且 (3,2)a = (1, 1)b = − ( )a b bλ+ ⊥   λ = 1 2 − 1 2 1− 1 λ (3 ,2 )a bλ λ λ+ = + −  ( )a b bλ+ ⊥   ( ) 3 (2 ) 0a b bλ λ λ+ ⋅ = + − − =   1 2 λ = − ( 1)nx + 4x ( )1 nx + 5n = ( )1 nx + ( ) 21 1 32n n=+ = 5n = ( )51x + 4x 1 4 4 5 5C x x= 4x : 0p x∀ ≥ 1xe ≥ sin 1x ≤ p¬ 0x∃ < 1xe < sin 1x > 0x∃ < 1xe ≥ sin 1x ≤ 0x∃ ≥ 1xe < sin 1x > 0x∃ ≥ 1xe < sin 1x > - 3 - 【答案】D 【解析】 【分析】 利用全称命题的否定可得出命题 的否定. 【详解】由全称命题的否定可知，命题 的否定为 ， 且 . 故选：D. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，要熟悉量词与结论的变化，考查分析问题和解决问 题的能力，属于基础题. 6. 已知函数 满足 ，当 时，函数 单调递减，设 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 可得函数 关于直线 对称，根据对数的运算法则，结合函数 的对称性，变形 、 、 到区间 内，由函数 在 上单调递 增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数 满足 ， 则函数 关于直线 对称， 又由当 时，函数 单调递减，则函数在 上单调递增， 又由 ， ， ，则有 ，故选 B. 【点睛】在比较 ， ， ， 的大小时，首先应该根据函数 的奇偶性 p p : 0p x¬ ∃ ≥ 1xe < sin 1x > ( )f x ( ) ( )1 1f x f x− = + ( ],1−∞ ( )f x ( )4 1 3 3 1= log , log 3 , 92a f b f c f log    = =      , ,a b c a b c< < c a b< < a c b< < c b a< < ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )f x 1x = 4 1log 2 1 3 log 3 39log [ )1,+∞ ( )f x [ )1,+∞ ( )f x ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )f x 1x = ( ],1−∞ ( )f x [ )1,+∞ ( )4 4 1 1 5log log 22 2 2a f f f f     = = − = − =           ( ) ( )1 3 log 3 1 3b f f f  = = − =    ( ) ( )3log 9 2c f f= = c a b< < ( )1f x ( )2f x  ( )nf x ( )f x - 4 - （对称性）与周期性将 ， ， ， 通过等值变形将自变量置于同一个单调 区间，然后根据单调性比较大小． 7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 详解】 四分子一圆锥表面积 , 所以组合体表面积为 【 ( )1f x ( )2f x  ( )nf x 14 2 π+ 5 10 1 2 2 π+ + 5 10 1 2 2 4 π+ ++ 1 24 4 π++ 1 1 1 1 2 12 2 1 14 4 2 2 4 2S π π π+= + × × × + × × = + 1 2 1 12ABD BCDS S∆ ∆= = × × = 1 3 32 22 2 2ACDS∆ = × × × = 1 2 1 3 1 2+1+1+ =4+4 2 2 4 π π+ ++ - 5 - 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题. 几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还 原为直观图． 8. 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一 层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭 的不同安排方案共有（ ） A. 240 种 B. 120 种 C. 188 种 D. 156 种 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，按甲班位置分 3 种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算 即可. 【详解】解：根据题意，按甲班位置分 3 种情况讨论： （1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有 种，将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的 3 个位置，有 种情况，此时有 种安排方案； （2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安 排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案； （3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案； 由加法计数原理可知共有 种方案， 故选：B 【点睛】此题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题. 9. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的是 （ ） 2 3 2 33 6, 6,6 6 36 48+36+36=120 A A= = × = 2 24 8A = 3 3 6A = 4868 =× 2 23 6A = 3 3 6A = 6 6 36× = 2 23 6A = 3 3 6A = 6 6 36× = 48+36+36=120 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1BC - 6 - ①平面 平面 ② 平面 ③异面直线 与 所成角的取值范围是 ④三棱锥 的体积不变 A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 由面面垂直的判定定理可判断①，由面面平行的性质定理可判断②，由线面垂直的性质定理 可判断③，由线面平行的性质及棱锥的体积公式可判断④． 【 详 解 】 正 方 体 中 由 平 面 ， 平 面 ， 可 得 ， 又 ， 是平面 内两相交直线，从而得 平面 ， 平面 ，因此有 ，同理 ， ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴平面 平面 ，①正确； 正方体中 与 平行且相等，则 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，同理 平面 ， 1PB D ⊥ 1ACD 1 //A P 1ACD 1AP 1AD (0, ]3 π 1D APC− 1DD ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD 1DD AC⊥ AC BD⊥ 1,DD BD 1 1BDD B AC ⊥ 1 1BDD B 1B D ⊂ 1 1BDD B 1AC B D⊥ 1 1AD B D⊥ 1AC AD A= 1B D ⊥ 1ACD 1B D ⊂ 1PB D 1PB D ⊥ 1ACD AB 1 1C D 1 1ABC D 1 1/ /AD BC 1AD ⊄ 1 1A BC 1BC ⊂ 1 1A BC 1 / /AD 1 1A BC / /AC 1 1A BC - 7 - ， 都在平面 内，∴平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，②正确； 与①同理可证 平面 ，当 是 与 交点时， 平面 ， ，异面直线 与 所成角为 ，③错误； 由②知 平面 ，∴ 到平面 的距离不变，因此三棱 体积不变，④ 正确． 故选：B． 【点睛】本题考查正方体中的直线、平面问题位置关系，掌握面面垂直的判定定理、面面平 行的判定与性质定理是解题关键． 10. 若函数 （ ， ）图象过点 ， 在 上有且只有两个零点，则 的最值情况为（ ） A. 最小值为 ，最大值为 B. 无最小值，最大值为 C. 无最小值，最大值为 D. 最小值为 ，最大值为 1AD AC A= 1,AD AC 1AD C 1 //AD C 1 1A BC 1A P ⊂ 1 1A BC 1 //A P 1ACD 1AD ⊥ 1 1A B CD P 1BC 1B C 1A P ⊂ 1 1A B CD 1 1AD A P⊥ 1AP 1AD 2 π 1 / /BC 1ACD P 1ACD 1P ACD− ( ) ( )2sinf x xω ϕ= + 0>ω 2 ϕπ < < π ( )0, 3 ( )f x ( )0,π ω 1 3 4 3 4 3 7 3 1 3 7 3 - 8 - 【答案】C 【解析】 【分析】 由图象过点 求出 ，然后解 ，得 ，再分析在 上 有且只有两个时， 的取值只能是 ，从而可得 的范围， 【详解】由题可知 ，即 ，∴ ， 又∵ ， ，∴ . 令 ，得 ， 解得 又∵ ， 在 上有且只有两个零点， ∴ 只能取 1，2，故 ，解得 ， ∴ ，∴ ，没有最小值． 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，结合正弦函 数的性质求解是解三角函数问题的常用方法． 11. 数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是 奇数，则乘 3 加 1．如果是偶数，则除以 2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能 够得到 1．对任意正整数 ，记按照上述规则实施第 次运算的结果为 ，则使 的 所有可能取值的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( )0, 3 ϕ ( ) 0f x = ( ) 2 3k x k ππ ω − = ∈Z ( )0,π k 1,2 ω ( )0 3f = 2sin 3ϕ = 3sin 2 ϕ = ,2 πϕ π ∈   2 3 πϕ∴ = ( ) 22sin 3f x x πω= +     22sin 03x πω + =   ( )2 3x k k πω π+ = ∈Z ( ) 2 3k x k ππ ω − = ∈Z 0>ω ( )f x ( )0,π k 4 3 7 3 π πω π πω  <  ≥ 4 7 3 3 ω< ≤ 4 7,3 3 ω  ∈   max 7 3 ω = 0a n ( )na n N∈ 7 1a = 0a - 9 - 【答案】D 【解析】 【分析】 推导出 ， ，由 ，得 ，从而 ，进而 或 ．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的 的值的个数． 【详解】解：由题意知 ， ， 由 ，得 ， ， 或 ． ①当 时， ， ， 或 ， 或 ． ②若 ，则 ， 或 ， 当 时， ，此时， 或 ， 当 时， ，此时， 或 ， 综上，满足条件的 的值共有 6 个． 故选：D． 【点睛】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题． 12. 已知方程 有三个不同的根，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 *n N∀ ∈ 1 1 1 1 3 1, ,2 n n n n n a a a a a − − − − +=   为奇数 为偶数 7 1a = 6 2a = 5 4a = 4 1a = 4 8a = 0a *n N∀ ∈ 1 1 1 1 3 1, ,2 n n n n n a a a a a − − − − +=   为奇数 为偶数 7 1a = 6 2a = 5 4a∴ = 4 1a∴ = 4 8a = 4 1a = 3 2a = 2 4a∴ = 1 1a∴ = 1 8a = 0 2a∴ = 0 16a = 4 8a = 3 16a = 2 5a∴ = 2 32a = 2 5a = 1 10a = 0 3a = 0 20a = 2 32a = 1 64a = 0 21a = 0 128a = 0a ( )2 1 1 1 x x x ee x x ae − − −+ = − a ( )1,e− 1, 2e −   ( )1,1− 11, 2  −   - 10 - 将等式变形为 ，换元 ，可得出 ，利用 导数分析得出函数 的图象，数形结合可得出实数 的取值范围. 【详解】将等式 变形为 ， 令 ，则 即 ， ，令 ，得 ，列表如下： 极大值 所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， 函数 的极大值为 ，作出函数 的图象如下图所示： 由于方程 有三个不同的根，则 ， ， ①当 时，则 ，得 ，关于 的方程为 ，解得 ，不合 乎题意； ②当 时，则 ，得 ，关于 的方程为 ，解得 ， 1 1 11 x x x xe ae − − + = − ( ) 1x xu x e −= ( )2 1 1 0u a u a+ − − − = ( ) 1x xu x e −= a ( )2 1 1 1 x x x ee x x ae − − −+ = − 1 1 11 x x x xe ae − − + = − ( ) 1x xu x e −= 11 u u a + = − ( )2 1 1 0u a u a+ − − − = ( ) 1 1 x xu x e − −′ = ( ) 0u x′ = 1x = x ( ),1−∞ 1 ( )1,+∞ ( )u x′ + 0 − ( )u x   ( ) 1x xu x e −= ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ) 1x xu x e −= ( )1 1u = ( )y u x= ( )2 1 1 1 x x x ee x x ae − − −+ = − ( )1 0,1u ∈ { } ( ]2 1 0,u ∈ +∞ 2 0u = 1 0a− − = 1a = − u 2 2 0u u+ = 1 2u = − 2 1u = 1 2 0a− = 1 2a = u 22 3 0u u+ − = 1 3 2u = − - 11 - 不合乎题意； ③当 ， 时，由二次方程根的分布得 ， 解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和 外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力， 属于难题. 二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 sin( +α)=cos( )，则 cos2α=___________. 【答案】0 【解析】 【分析】 应用两角和与差的正弦、余弦公式展开已知式，可得 ，再由余弦的二倍角公式 可得结论． 【详解】∵sin( +α)=cos( )，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，余弦的二倍角公式，解题方法是直接应用 化简变形求值，属于基础题． 14. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活 《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.”在 18 世纪， 七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧 新谱》.完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形，如 ( )1 0,1u ∈ ( )2 ,0u ∈ −∞ ( ) 1 0 1 1 1 0 a a a − − <  + − − − > 11, 2a  ∈ −   a 11, 2  −   3 π 3 π α− sin cosα α= 3 π 3 π α− sin cos cos sin cos cos sin sin3 3 3 3 π π π πα α α α+ = + (sin cos )(cos sin ) 03 3 π π α α− − = cos sinα α= 2 2cos2 cos sin 0α α α= − = - 12 - 果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设大正方形边长为 1，求出大正方形面积和阴影部分的面积，由概率公式计算可得． 【详解】设大正方形边长为 1，大正方形面积为 ， 阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形，由图可知阴影部分正方形的边长为 ，阴 影部分大的等腰直角三角形的直角边长为 ，小的等腰直角三角形的直角边长为 ， 阴影部分的面积为 ， ∴所求概率为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查几何概型，解题关键是求出阴影部分的面积．属于基础题． 15. 已知圆 C 的方程为 ，过直线 l： （ ）上任意一 点作圆 C 的切线，若切线长的最小值为 ，则直线 l 的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，利用点到直线的距离公式计算 的值并 构建关于 的方程，解方程后可得 的值，从而得到所求的斜率. 【详解】设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 7 16 1S = 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 7 4 2 4 2 2 16S      ′ = + × + × =                7 16 SP S ′= = 7 16 2 2( 3) ( 4) 1x y− + − = 3 5 0x ay+ − = 0a > 15 3 4 − P PC l⊥ | |CP a a P PC l⊥ - 13 - 又 ，因为切线长的最小值为 故 ，解得 ，故直线 的斜率为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象 的距离问题，属于中档题. 16. 已知点 P 是左､右焦点分别为 F1，F2 的椭圆 C： (a>b>0)上的一点，且 A 是∠ 与∠ 的角平分线的交点，且 ，若椭圆 C 的离心率为 ，则 ___________. 【答案】6 【解析】 【分析】 由 角 平 分 线 交 点 得 是 三 角 形 内 心 ， 由 向 量 的 关 系 ， 取 中 点 ， 可 得 ，得 三点共线， ．由三点共线，得三角形是等腰三角形， ，利用离心率和椭圆定义可求得 ，然后作 轴于 ， ，且 ，从而可求得 ． 【详解】A 是∠ 与∠ 的角平分线的交点，∴ 是 的内切圆的圆心，设 是 中点，连接 ，如图，则 ， 由 得 ， ∴ 三点共线， ，∴ ． 由 既是角 平分线，又是 中线，得 ， ，∴ 2 2 | 3 3 4 5| | 4 4 || | 9 9 a aCP a a × + − += = + + 15 2 2 2 | 4 4 |( 15) 1 9 a a  ++ =   +  4a = l 3 4 − 3 4 − 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2PF F 2 1PF F 21 4 4 )(P RAF AF Aλ λ+ = ∈   2 5 λ = A 2PF M 1 8 0AAF Mλ + =     1, ,F A M 1 8F A AM λ= 1 1 2 2PF F F c= = 2 3 2MF c= AN x⊥ N 1 1 2Rt F AN Rt F F M△ △ AN AM= λ 1 2PF F 2 1PF F A 1 2PF F△ M 2PF AM 2 2AP AF AM+ =   21 4 4PAF AFAλ + =    1 124 4 8 0AFA APF MAF Aλ λ+ + = + =     1, ,F A M 1 8AF MAλ =  1 8F A AM λ= 1F M 1 2PF F∠ 2PF 1 2F M PF⊥ 1 1 2 2PF F F c= = - 14 - ， ，又 ，∴ ， 作 轴于 ，则 ，且 ， ∴ ，∴ ，解得 ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形的性质，解题关键是利用向量的线性运算得出三角形是 等腰三角形，结合离心率，椭圆的定义从而可把焦点三角形的三边长用 表示，再构造相似三 角形，已知比值得出结论，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，转化与化归能力，逻 辑思维能力，属于中档题． 三､解答题：共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17〜21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .数列 是首项为 ， 公差不为零的等差数列，且 成等比数列． （1）求数列 与 的通项公式． （2）若 ，数列 的前项和为 恒成立，求 的范围． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 化简可得 成等比，求出 的通项，再由 可求出 2 2 2PF a c= − 2MF a c= − 2 5 ce a = = 2 3 2MF c= AN x⊥ N 1 1 2Rt F AN Rt F F M△ △ AN AM= 1 1 2 1 2 F A F F F A AN MF AM = = 2 8 3 2 c c λ= 6λ = c { }na n nS ( )*2 2,n nS a n N= − ∈ { }nb 1a 1 3 11, ,b b b { }na { }nb n n n bC a = { }nc ,n nT T m< m na 2n= nb 3 1n= − m 5≥ n n n 1a S S −= − { }na { }na 2 1 11 3b b b= { }nb - 15 - 的通项；（2）因为 ，用错位相减法求得 ，所以 . 【详解】解：（1）因为 ， 所以 所以 所以 成等比，首项 ，公比 q 所以 由题意知 ，设 公差为 d 则 ，即 ， 解得 或 （舍） 所以 （2） 所以 两式相减得 所以 所以 【点睛】本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和， 分列乘减算四步进行. 18. 如图甲，E 是边长等于 2 的正方形的边 CD 的中点，以 AE、BE 为折痕将△ADE 与△BCE 折 起，使 D，C 重合(仍记为 D)，如图乙. n n n b 3 1c a 2n n −= = n 3 5T 5 52n n += − < m 5≥ n nS 2a 2= − n 1 n 1S 2a 2− −= − n n n 1 n n 1a S S 2a 2a− −= − = − ( )n n 1a 2a 2n−= ≥ { }na 1 1a S 2= = 2= na 2n= 1 1b a 2= = { }nb 2 1 11 3b b b= ( ) ( )22 2 10 2 2d d+ = + d 3= d 0= nb 3 1n= − n n n b 3 1c a 2n n −= = n 1 2 3 2 5 8 3 1T 2 2 2 2n n −= + + +…+ n 2 3 4 1 1 2 5 8 3 4 3 1T2 2 2 2 2 2n n n n + − −= + + +…+ + 1 n 1 2 3 1 1 1 3 111 2 3 3 3 3 1 3 1 5 3 54 2T 1 12 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n− + + +  − − − + = + + +…+ − = + − = − − n 3 5T 5 52n n += − < m 5≥ - 16 - （1）探索:折叠形成的几何体中直线 DE 的几何性质(写出一条即可，不含 DE⊥DA，DE⊥DB， 说明理由)； （2）求二面角 D-BE-A 的余弦值 【答案】（1）几何性质见解析，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据折前折后折痕同侧的位置关系、长度不变，可以证明 平面 ，据此结论也 可得到 ，或 与平面 内任一直线都垂直，也可计算直线 与平面 所成 角等于 ； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】（1）性质 1： 平面 . 证明如下：翻折前， ， 翻折后仍然 ， 且 ， 则 平面 . 性质 2： . 证明如下： 与性质 1 证明方法相同，得到 平面 . 又因 平面 ，则 . 性质 3： 与平面 内任一直线都垂直. 证明如下： 与性质 1 证明方法相同，得到 平面 ， 从而 与平面 内任一直线都垂直. 1 4 DE ⊥ ABD DE AB⊥ DE ABD DE ABE π 3 DE ⊥ ABD DE DA DE BC⊥ ⊥， DE DA DE DB⊥ ⊥， DA DB D∩ = DE ⊥ ABD DE AB⊥ DE ⊥ ABD AB Ì ABD DE AB⊥ DE ABD DE ⊥ ABD DE ABD - 17 - 性质 4：直线 与平面 所成角等于 . 证明如下： 如图，取 中点 ，连接 ， ， 由 得 ， 与性质 2 证明相同，得 ， 再因 ，则 平面 ，进而平面 平面 . 作 于 ，则 平面 ， 即 就是直线 与平面 所成的角. ， ， ， . （2）与（1）之性质 4 证明相同，得到 ， 平面 ， ， 平 面 内，则平面 平面 . 以 为坐标原点、 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系. ， ， ，则平面 的一个法向量 ， ， ， ， . 设 是平面 的法向量， 则 取 ，求得一个法向量 的 DE ABE π 3 AB F DF EF DA DB= ， DF AB⊥ DE AB⊥ DE DF⊥ ， DE DF D∩ = AB ⊥ DEF DEF ⊥ ABE DH EF⊥ H DH ⊥ ABE DEF∠ DE ABE 1DE = 2EF = 1cos 2 DEDEF EF ∠ = = π 3DEF∠ = DE DF⊥ AB ⊥ DEF AB EF⊥ AB Ì ABE DEF ⊥ ABE E EF x 2 2 3DF DA AF= − = 3 2 DE DFDH EF ×= = 1 2EH = ABE 30 0 2HD →  =     ， ， (0 0 0)E ， ， (2 1 0)B ，， 1 302 2D       ， ， 1 302 2ED →  =     ， ， ( )n x y z → = ， ， BDE · 2 0 1 3· 02 2 n EB x y n ED x z  = + = = + =   ， ， 1z = ( 3 2 3 1)n → = − ， ， ， - 18 - 记二面角 的大小为 ，则 与 相等或互补， ， 因 是锐角，则 . 【点睛】本题主要考查了折叠问题，线线、线面垂直的判定，线面角，二面角的求法，考查 了空间想象力，运算能力，属于中档题. 19. 2020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据 表明 2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒)，人传人，传播快，传播广，病亡率高， 对人类生命形成巨大危害.在中华人民共和国，在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全 国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人 数 3869 人).然而，国外因国家体制、思想观念与中国的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来 越严重.据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午 6 时公布的统计数据，选取 5 月 6 日至 5 月 10 日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中 t 表示时间变量，日期“5 月 6 日”、“5 月 7 日”对应 于“t=6"、“t=7"，依次下去)，由下表求得累计病亡人数与时间的相关系数 r=0.98. （1）在 5 月 6 日~10 日，美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性? （2）选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为 0 的近似数，求每日累计病亡人数 y 随 时间 t 变化的线性回归方程； （3）请估计美国 5 月 11 日新冠肺炎病亡累计人数，请初步预测病亡人数达到 9 万的日期. 附:回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 D BE A− − θ θ n HD → → 〈 〉， 33 0 2 3 0 1 2| | 1| cos | | cos | 43| | | | 4 2 n HDn HD n HD θ → → → → → → − × + × + × ⋅= 〈 〉 = = = ⋅ × ， θ 1cos 4 θ = y a bt ∧ ∧ ∧ = + 1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i t t y y b a y bt t t ∧ ∧ ∧ = = − − = = − − ∑ ∑ - 19 - 【答案】（1）是；（2） ；（3）82160 人，5 月 16 日 【解析】 【分析】 （1）根据相关系数 可得到结论； （2）首先算出 和 ，然后根据公式计算出答案即可； （3）求出当 时 值，然后解出不等式 即可. 【详解】（1）每日累计病亡人数与时间的相关系数 ， 所以每日病亡累计人数 与时间 呈现强线性相关性， （2）5 天 5 个时间的均值 . 5 天 5 个病亡累计人数 均值 . 计算 5 个时间与其均值的差 ，计算 5 个累计病亡人数与其均值的差 ，制作下表： 日 期 5 月 6 日 5 月 7 日 5 月 8 日 5 月 9 日 5 月 10 日 均值 时间 6 7 8 9 10 新冠肺炎 累计病亡人数 72300 75500 76900 78500 80000 −2 −1 0 1 2 −4340 −1140 260 1860 3360 用公式 进行计算： ， . 的 的 ˆ 1840 61920y t= + 0.98 0.7r ≈ > t y 11t = ˆy ˆ 1840 61920 90000y t= + ≥ 0.98 0.7r ≈ > y t 6 7 8 9 10 85t + + + += = 23 55 69 85 10070000 100 766405y + + + += + × = t t− y y− t 8t = 76640y = t t− y y− 1 2 1 ( )( ) ˆ ˆ ( ) n i i i n i i t t y y b a y bt t t - - - - å å ，= = = = 2 2 2 2 2 ( 2)( 4340) ( 1)( 1140) 0 260 1 1860 2 3360ˆ 1840( 2) ( 1) 0 1 2b − − + − − + × + × + ×= =− + − + + + ˆˆ 76640 1840 8 61920a y b t= − = − × = - 20 - 所以每日累计病亡人数 随时间 变化的线性回归方程是 . （3）日期 5 月 11 日对应时间 ， ， 所以，估计 5 月 11 日累计病亡人数是 82160. 令 ，解得 ， 病亡人数要达到或超过 9 万，即 ， 对应于 5 月 16 日， 因此预测 5 月 16 日美国新冠肺炎病亡人数超过 9 万人. 【点睛】本题考查的是线性回归的相关知识，考查了学生的阅读能力和计算能力，属于基础 题. 20. 已知抛物线 的焦点为 F，倾斜角为锐角的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且直线 l 过点 ， . （1）求直线 l 的方程； （2）如果 C 是抛物线上一点，O 为坐标原点，且存在实数 t，使得 ， 求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设直线 l 的方程为 ，( )， ， ，直线方程代入抛物线 方程整理后应用韦达定理得 ，由圆锥曲线中的弦长公式求出 ，得直线方程； （2）设 AB 的中点为 M，已知条件等价于 F，C，M 三点共线.，设 ，由（1）可得 ，从而可得直线 的方程，与抛物线方程联立可解得交点坐标，再由焦点弦长公式得 弦长． 【详解】（1）设直线 l 的方程为 ，( )， ， . 则 ， . 由 可得 ，因此 , , y t ˆ 1840 61920y t= + 11t = ˆ 1840 11 61920 82160y = × + = ˆ 1840 61920 90000y t= + ≥ 15.26t ≥ 16t ≥ 16t = 2 4y x= ( 2,0)− | | 13AB = ( )OC OF t FA FB= + +    | |FC 2 3 4 0x y− + = 5 5 2 ± 2x my= − 0m > 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2,y y y y+ m 0 0( , )M x y 0 0,x y FC 2x my= − 0m > 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 13x x y y− + − = 2 2 1 2( 1)( ) 13m y y+ − = 2 4 2 y x x my  =  = − 2 4 8 0y my− + = 1 2 4y y m+ = 1 2 8y y = - 21 - ， 因此 ， ， ， ，解得 . 从而所求直线方程为 ，即 . （2）设 AB 的中点为 M，则由 可知 ，因此 F，C，M 三 点共线. 设 ，则由（1）知 ， . 因此直线 FC 的方程为 . 由 可得 ，因此 ，从而可知 . 【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦长问题，考查韦达定理、抛物线的焦点弦长，应用韦 达定理求弦长是直线与抛物线相交中的常用方法，本题属于基础题． 21. 已知函数 （1）若 f(x)在[0，2]上是单调函数，求 a 的值； （2）已知对 ∈[1，2]，f(x)≤1 均成立，求 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据 求导，令 解得 ， ，然后分 讨论求解. （2）解法一：根据“对 ， 均成立”，则 成立，得到 ，则 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 =16 32y y y y y y m− = + − − 2AB = 2 2( 1)(16 32) 13m m+ − = 4 216 16 45 0m m− − = 2 2(4 9)(4 5) 0m m− + = 2 9 4m = 3 2m = 3 22x y= − 2 3 4 0x y− + = ( )OC OF t FA FB= + +    2FC tFM=  0 0( , )M x y 1 2 0 32 y yy += = 0 3 53 22 2x = × − = 3 ( 1) 2( 1)5 12 y x x= − = − − 2 4 2( 1) y x y x  =  = − 2 3 1 0x x− + = 3 5 2x ±= 3 5 5 5| | 12 2FC ± ±= + = 2 1( ) [ ( 2) 1] xf x x a x e −= − + + x∀ 2− 1 2 e− + ∞ , ． 2 1( ) [ ( 2) 1]e xf x x a x −= − + + ， ( ) 0f x′ = ， 1 1x = 2 3x a= + 3 1a + = ， 3 1a + < ， 3 1a + > ， [1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤ (1) 1f a= − ≤ 1a ≥ − - 22 - 结合（1）， 时， ， 在 上增，将“对 ， 均成立”转化为 求解即可. 【详解】（1）因为 所以 ， 令 解得 ， . 若 即 ， 则 对 成立，函数 在 上单调，符合题目要求； 若 即 ， 当 时， ，当 时， ， 函数 在 上不单调，不符合题目要求； 若 即 ， 当 时， ，当 时， ， 函数 在 上不单调，不符合题目要求. 综上，若 在 上是单调函数，则 取唯一值： . （2）解法一：已知“对 ， 均成立”， 取 得 ， 则 ， ，则 时， ， 在 上增， “对 ， 均成立”等价于 ， ， 与 取交集，得 ， 所以 的取值范围是 解法二：根据（1），若 ，则 在 上单减， “在区间 上， 恒成立”等价于 ，不成立； 若 即 ，则 时， ，函数 在 上单减， 3 2a + ≥ (1 2)x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]， [1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤ max 1 2( ) (2) 1e af x f −= = ≤ 2 1( ) [ ( 2) 1]e xf x x a x −= − + + ， 1( ) ( 1)[ ( 3)]e ( )xf x x x a x−′ = − − − + ∈R ( ) 0f x′ = ， 1 1x = 2 3x a= + 3 1a + = ， 2a = − ( ) 0f x′ ≤ x R∀ ∈ ( )f x [0 2]， 3 1a + < ， 2a < − ( 3 1)x a∈ + ， ( ) 0f x′ > (1 + )x∈ ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [0 2]， 3 1a + > ， 2a > − ( 1)x∈ −∞， ( ) 0f x′ < (1 3)x a∈ +， ( ) 0f x′ > ( )f x [0 2]， ( )f x [0 2]， a 2a = − [1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤ 1x = ， (1) 1f a= − ≤ 1a ≥ − 3 2a + ≥ (1 2)x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]， [1 2]x∀ ∈ ， ( ) 1f x ≤ max 1 2( ) (2) 1e af x f −= = ≤ 1 e 2a −≥ 1a ≥ − 1 e 2a −≥ a 1 e 2 − + ∞ ， ． 2a = − ( )f x R [1 2]， ( ) 1f x ≤ max( ) (1)f x f= 2 1= ≤ 3 1a + < ， 2a < − (1 )x∈ + ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x [1 2]， - 23 - 在区间 上， ，“在区间 上， 恒成立”不成立； 若 即 ，则 时， ，函数 在 上单增， 在区间 上， ， “在区间 上， 恒成立” ， 解得 ，与 相交取交集，得 ； 若 即 ，则 时， ， 时， ， 函数 在 上递增，在 上递减， 在区间 上， ， “在区间 上， 恒成立” . 设 ， 则 ， 在 上递增， ， 则函数 在 上递增， ， 因此 时， 均不成立. 综上，所求 的取值范围是 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨 论思想和运算求解的能力，属于难题. 22. 在极坐标系中，方程 C: 表示的曲线被称作“四叶玫瑰线”(如图) （1）求以极点为圆心的单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标和直角坐标； （2）直角坐标系的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合.求直线 l: 上的点 M 与 四叶攻瑰线上的点 N 的距离的最小值. [1 2]， max( ) (1) 2f x f a= = − > [1 2]， ( ) 1f x ≤ 3 2a + ≥ ， 1a ≥ − [1 2]x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2]， [1 2]， max 1 2( ) (2) e af x f −= = [1 2]， ( ) 1f x ≤ max( ) 1f x⇔ ≤ 1 2(2) 1e af −⇔ = ≤ 1 e 2a −≥ 1a ≥ − 1 e 2a −≥ 1 3 2a< + < ， 2 1a− < < − (1 3)x a∈ +， ( ) 0f x′ > ( 3 2)x a∈ + ， ( ) 0f x′ < ( )f x (1 3)a +， ( 3 2)a + ， [1 2]， max 2 4( ) ( 3) ea af x f a + += + = [1 2]， ( ) 1f x ≤ 2 4 1ea a + +⇔ ≤ 2e 4 0a a+⇔ − − ≥ 2( ) e 4( 2 1)xg x x x+= − − − < < − 2( ) e 1xg x +′ = − ( )′g x ( 2 1)− −， ( ) ( 2) 0g x g′ > − = ( )g x ( 2 1)− −， ( ) ( 1) e 3 0g x g< − = − < 2 1a− < < − ( )g a = 2e 4 0a a+ − − ≥ a 1 e 2 − + ∞ ， ． =sin 2 ( )Rρ θ ρ ∈ 1 1 x t y t = −  = + - 24 - 【 答 案 】（ 1 ） 极 坐 标 为 ， 直 角 坐 标 为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）先求出以极点为圆心的单位圆的极坐标方程，与玫瑰线方程联立即可求出交点的极坐标； （2）首先可得四叶玫瑰线关于直线 对称，将直线方程转化为普通方程，直线 与直线 垂直，且玫瑰线在直线 的同侧，即可得到距离的最小值； 【详解】解：（1）因为 所以 ， 取 ，得 从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为 ， 化成直角坐标就是 （2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线 对称. 事实上，将极坐标方程 化作直角坐标方程得 ， 将 互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线 对称； 将 换作 ， 换作 后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线 对称； 直线 的普通方程是 ， 直线 与直线 垂直，且玫瑰线在直线 的同侧， 故 的最小值等于点 到直线 的距离： π 3π 5π 7π1 1 1, 1,4 4 4 4A B C D                      , , , , ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A B C D        − − − −                      , , , , , , , 2 1− y x= l y x= l sin 2 ( )ρ θ ρ= ∈R | sin 2 | ( 0)ρ θ ρ∴ = ≥ sin 2 1 ρ θ ρ  =∴ = sin 2 1θ∴ = sin 2 1θ∴ = ± π2 π( )2 k kθ = + ∈Z π π 4 2 kθ = + 0 1 2 3k = ，， ， π 3π 5π 7π 4 4 4 4 θ = ， ， ， π 3π 5π 7π1 1 1 14 4 4 4A B C D                      ， ， ， ， ， ， ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A B C D        − − − −                      ， ， ， ， ， ， ， ． y x= sin 2 ( )ρ θ ρ= ∈R 2 2 2 2( ) 2x y x y xy+ + = x y， y x= x y− y x− y x= − 1 1 x tl y t = −  = + ，： 2 0x y+ − = l y x= l | |MN 2 2 2 2A       ， 2 0x y+ − = - 25 - . 【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与参数方程，属于中档题． 23. 已知函数 . （1）若 ，解不等式 f(x)≤1； （2）已知当 x>0 时， 的最小值等于 m，若 使不等式 成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）当 时， ，等价于 ，然后分 去绝对值求解. （2）当 时，利用柯西不等式，求得 的最小值 m，然后将 转化为 ，再利用绝对值不等式求得 最 大值求解即可. 【详解】（1）当 时，因为 ， 所以 所以 或 ， 所以 或 解得 或 ，即 ， 所以当 时，不等式 的解集是 . （2）当 时，利用柯西不等式， ， 当且仅当 时取等号，所以 . min 2 2 22 2 | | 2 1 2 MN + − = = − ( ) 2f x x x a= + + 1a = − 2 3 1 2 3( )( )x x x x x x− − −+ + + + 0x R∃ ∈ 0 0( ) ( )f x a f x m− > + { | 0}x x ≤ { | 3}a a < − 1a = − ( ) 1f x ≤ 2 | 1| 1x x+ − ≤ 1, 1x x≥ < 0x > 2 3 1 2 3( )( )x x x x x x− − −+ + + + 0 0( ) ( )f x a f x m− > + 2 9 | | | |a x x a+ < − + | | | ||x x a− + 1a = − ( ) 1f x ≤ 2 | 1| 1x x+ − ≤ 1 2 ( 1) 1 x x x ≥  + − ≤ ， 1 2 (1 ) 1 x x x <  + − ≤ ， 1 2 3 x x ≥ ≤ ， 1 0 x x <  ≤ ， x∈∅ 0x ≤ 0x ≤ 1a = − ( ) 1f x ≤ { | 0}x x ≤ 0x > 2 2 3 1 2 3 3 3 1 1 1( )( ) 9x x x x x x x x xxx x − − −  + + + + + + =     ≥ 1x = 9m = - 26 - 因为 . 因为 ， 或 时取等号， 则 . 所以，“ 使 成立”等价于 ， ， 当 时，无解，当 时，解得 所以 的取值范围是 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用以及不等式有解问题， 还考查了运算求解的能力，属于中档题. ( ) ( )f x a f x m− > + 2( ) | | 2 | | 9x a x x x a⇔ − + > + + + 2 9 | | | |a x x a⇔ + < − + | | | | | ( ) | | |x x a x x a a− + − + =≤ ( 0)2 ax a< − > ( 0)2 ax a> − < max(| | | |) | |x x a a− + = 0x∃ ∈R， 0 0( ) ( )f x a f x m− > + max2 9 (| | | |) | |a x x a a+ < − + = 2 9 | |a a+ < 0a > 0a < 3a < − ， a { | 3}a a < − ．