【数学】2020届一轮复习北师大版组合与组合数公式课时作业 4页

知识点一 组合的概念 ‎1.给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法；②从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个；③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次，其中是组合问题的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　D 解析　①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.‎ 知识点二 组合的列举问题 ‎2.从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．‎ 解　要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：‎ 由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10个.‎ 知识点三 组合数的计算 ‎3.(1)计算：‎ ‎①C－CA；‎ ‎②C＋2C＋C；‎ ‎③C＋C＋C＋C＋C＋C.‎ ‎(2)证明：mC＝nC.‎ 解　(1)①C－CA＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.‎ ‎②原式＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝C＝＝161700.‎ ‎③原式＝(C＋C)＋C＋C＋C＋C＝(C＋C)＋C＋C＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝＝462.‎ ‎(2)证明：左边＝m·＝＝n＝nC＝右边，‎ ‎∴mC＝nC.‎ ‎4．解方程：C＝C.‎ 解　∵C＝C，‎ ‎∴x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，‎ 即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，‎ ‎∴x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.‎ 经检验x＝3，x＝－9不合题意，舍去，故原方程的解是x1＝－1，x2＝1.‎ ‎5．解不等式：C＞C.‎ 解　由C＞C得 ‎⇒⇒又n∈N*，‎ ‎∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．‎ 一、选择题 ‎1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　)‎ A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地 答案　C 解析　只有从100位幸运观众选出2位幸运之星，与顺序无关，是组合问题．‎ ‎2．方程C＝C的解为(　　)‎ A．4或9 B．4 C．9 D．其他 答案　A 解析　解法一：(验证法)当x＝4时，C＝C；当x＝9时，C＝C.‎ 解法二：(直接法)当x＝3x－8，解得x＝4；当28－x＝3x－8，解得x＝9.‎ ‎3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 答案　A 解析　分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有CC＋CC＝30种不同的选法．‎ ‎4．(C＋C)÷A的值为(　　)‎ A．6 B．101 C. D. 答案　C 解析　(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷(CA)＝＝.‎ ‎5．从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面体的个数为(　　)‎ A．70 B．64 C．58 D．52‎ 答案　C 解析　四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C－12＝58.故选C.‎ 二、填空题 ‎6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．‎ 答案　10‎ 解析　从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．‎ ‎7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答)‎ 答案　210‎ 解析　从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210种分法．‎ ‎8．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．‎ 答案　7315‎ 解析　原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7315.‎ 三、解答题 ‎9．已知C，C，C成等差数列，求C的值．‎ 解　由已知得2C＝C＋C，所以2·＝＋，整理得n2－21n＋98＝0，‎ 解得n＝7或n＝14，‎ 要求C的值，故n≥12，‎ 所以n＝14，‎ 于是C＝C＝＝91.‎ ‎10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如下图)‎ ‎(1)图中有多少个矩形？‎ ‎(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？‎ 解　(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C·C＝210个．‎ ‎(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210种走法．‎