人教新课标A版高考数学黄金题系列第08题函数的解析式文 19页

第 8 题 函数的解析式 I．题源探究·黄金母题 【例 1】如图， OAB 是边长为 2 的正三角形，记 OAB 位于 直线 ( 0)x t t  左侧的图形的面积为 ( )f x ，试求 ( )f x 的解析 式，并画出函数 ( )y f t 的图象． 【解析】当 0 1t  时， 21 3( ) tan 602 2f t t t t   ；当1 2t  时， 1 1( ) 2 3 (2 )(2 ) tan 602 2f t t t       ＝ 23 ( 2) 32 t   ；当 2t  时， 1( ) 2 32f t    ＝ 3 ．综上 知， 2 2 3 , 0 12 3( ) ( 2) 3,1 22 3, 2 t t f t t t t              精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修一第 13 页复习参考题 B 组第 2 题 【母题评析】本题以平面几何图形为 载体，考查函数解析式的求法，以及 根据函数解析画函数的图象．本类考 查方式是近几年高考试题常常采用的 命题形式，达到对学生能力的考查． 【思路方法】此类试题是平面几何图 中由于动点的运动引起了某些几何量 的变化，由此也与函数有了紧密联系， 也就产生了此类试题．解答此类试题 通常要利用分类讨论的思想，同时要 注意结合平面几何及三角知识进行求 解． II．考场精彩·真题回放 【例 2】【2017 高考新课标 II】已知函数   2 lnf x ax ax x x   ， 且   0f x  ． 求 a （节选）． 【解析】  f x 的定义域为  0，+ ．设  g x = ax - a - lnx ，则       f x = xg x , f x 0 等价于   0g x ，    g g x  1 =0 , 0 ，故  g' 1 =0 ，而    g' x a g' ax   1 , 1 = 1 ，得 a  1． 【命题意图】本类题通常主要考查函 数解析式的求法与图象识别．． 【考试方向】这类试题在考查题型上， 通常基本以选择题的形式出现，中等 偏上难度，往往与平面几何知识、三 角函数等知识有联系 【难点中心】此类试题的解答通常结 合图形的具体特点，首先明确哪个是 自变量 x ？哪个是因变量 y ，它们对 应于几何图形中哪些线段或角，然后 若 a  1，则   11 g' x = x ．当 0＜x＜1 时，    ＜0,g' x g x 单 调递减；当 x＞1 时，  g' x ＞0，  g x 单调递增．所以 x=1 是  g x 的极小值点，故    g x g 1 =0 综上， a  1． 【例 3】【2015 高考新课标Ⅱ】如图，长方形 ABCD 的边 2AB  ， 1BC  ，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动， 记 BOP x  ．将动 P 到 ,A B 两点距离之和表示为 x 的函数 ( )f x ，则 ( )y f x 的图象大致为（ ） 【答案】B 【解析】由已知得，当点 P 在 BC 边上运动时，即 0 4x   时， 2tan 4 tanPA PB x x    ；当点 P 在 CD 边上运动时，即 3 ,4 4 2x x     时， 2 21 1( 1) 1 ( 1) 1tan tanPA PB x x        ，当 2x  时， 2 2PA PB  ；当点 P 在 AD 边上运动时，即 3 4 x   时， 2tan 4 tanPA PB x x    ，综上可知 结合分类讨论的思想进行求解． 2 2 2 2 2 2 tan 4 tan ,0 4 1 1( 1) 1 ( 1) 1,tan tan 4 2 ( ) 2 2, 2 1 1 3( 1) 1 ( 1) 1,tan tan 2 2 3tan 4 tan , 4 x x x xx x f x x xx x x x x                                        由此可知函数 ( )f x 的图象是非直线型的，排除 A，C．又 ( ) ( )4 2f f  ，排 除 D，故选 B． III．理论基础·解题原理 考点一 函数解析式概念 （1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式． （2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值． 考点二 基本初等函数的解析式 （1）一次函数： ,( 0)y kx b k   ； （2）反比例函数： ,( 0)ky kx   ； （3）二次函数： 2 ,( 0)y ax bx c a    ； （4）指数函数： ,( 0, 1)xy a a a  且 ； （5）对数函数： log ,( 0, 1)ay x a a  且 ； （7）幂函数： ,( )y x   R ； （8）三角函数： sin , cos , tan ,( )2y x y x y x x k       ． Ⅳ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际 问题的应用、涉及函数的导数问题应用． 【技能方法】 求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法（方程法）、图象法、性质法 等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法． 【易错指导】 （1）因为解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析 后要注意函数的定义域； （2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错 点，因为这类题主要涉及到复合函数问题； （3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，因为这类题实 质上是涉及到分段函数问题． （4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变 量的取值还必须符合实际意义． Ⅴ．举一反三·触类旁通 考向 1 利用待定系数法求解析式 【例 1】已知二次函数 ( )f x 满足条件 (0) 1f  ，及 ( 1) ( ) 2f x f x x   ，则求 ( )f x  ___________． 【例 2】【改编题】已知函数 2n( 1) la xx x bxf     在点 (1, )(1)f 处的切线方程为 4 12 0x y   ，则 函数 ( )f x  ___________． 【解析】因为 bxx axf  2)(' ，则由题意 8)1(,4)1('  ff ，则      42)1(' 82)1( baf bf ，解得      10 12 b a ，所以 110ln12)( 2  xxxxf ． 【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如 一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达 式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数． 【跟踪练习】 1．【2017 河南安阳一模】已知  'f x 是定义在  0, 上的函数  f x 的导函数，若方程  ' 0f x  无解， 且  0,x   ，   2016log 2017f f x x    ，设  0.52a f ，  log 3b f  ，  4log 3c f ， 则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A．b c a  B． a c b  C． c b a  D． a b c  【答案】D 点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用，以及真数相同底数不同的 对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点．有三个关键点： （1）由方程   0f x  无解，可知函数  f x 在 0, 上为单调函数； （2）由   2016log 2017f f x x    （常数），可知   2016logf x x 是定值； （3）对于对数函数 log ( 1)ay x x  ，在真数相同底数不同的函数值中，当 0 1a  时，底数 a 越小， 函数值越大；当 1a  时，底数 a 越大，函数值越小． 2．【2018 山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知   2 3g x x   ，  f x 是二次函数，且    f x g x 为奇函数，当  1,2x  时，  f x 最小值为 1，求  f x 的解析式． 【答案】   2 3 3f x x x   或   2 2 2 3f x x x   【解析】试题分析：令   2f x ax bx c   ，而       21 3f x g x a x bx c      为奇函数，故 1 0, 3 0a c    ，解得 1, 3a b  ，   2 3f x x bx   ．其对称轴为 2 bx   ，根据对称轴和区间  1,2 的位置关系，分成3类讨论当 x 为何值时取得最小值，由此求得函数的解析式． 【试题解析】 设    2 0f x ax bx c a         F x f x g x  则    2 2 23 1 3F x ax bx c x a x bx c          为奇函数     F x F x   对任意 x 恒成立，即      2 21 3 1 3a x bx c a x bx c             21 3 0a x c    对任意 x 恒成立 1, 3a c     2 3f x x bx     f x 的图象的对称轴为直线 2 bx    当  1,2x  时，  f x 的最小值为 1    1{ 2 1 1 b f      或 1 22{ 12 b bf          或   2{ 2 2 1 b f     2{ 1 3 1 b b     或 4 2 { 2 2 2 2 b b b        或 4{ 4 2 3 1 b b      即 3b  或 2 2b   或 3b   （舍） 综上可知：   2 3 3f x x x   或   2 2 2 3f x x x   点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性 与单调性．由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得 ,a c 的 值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得b 的值． 考向 2 利用换元法（或配凑法）求解析式 【例 3】【改编题】（1）若 2 2 1 1( )f x xx x    ，则 ( )f x  （ ） A． 2( ) 2f x x  B． 2( ) 2f x x  C． 2( ) ( 1)f x x  D． 2( ) ( 1)f x x  （2）已知 xxf lg)12(  ，则 ( )f x  ___________． 【点评】已知复合函数 [ ( )]f g x 的表达式，要求 ( )f x 的解析式时，可考虑令 ( )g x t ，反解出 ( )x h t ， 将其代入 [ ( )]f g x 的表达式中，再用 x 替换t 便可得到函数 ( )f x 的表达式；（2）已知复合函数 [ ( )]f g x 的 表达式，要求 ( )f x 的解析式时，若 [ ( )]f g x 的表达式右边易配成 ( )g x 的运算形式，则可用配凑法，使 用配凑法时要注意定义域的变化． 【跟踪练习】 1．【四川省双流中学 2017-2018 学年高一上学期期中考试】已知 1 1 1f x x       ，则  2f 的值为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C．3 D． 3 2 【答案】B 【解析】令 1 2x  ，则 1 2x  ，所以   1 22 1 312 f    ，故选 B． 2．【山西省实验中学 2017-2018 学年高一上学期 10 月月考】若  1 1f x x   ，则  f x 的解析式为 （ ） A．    2 2 2, 1f x x x x    B．    2 2 , 1f x x x x   C．    2 2 2, 0f x x x x    D．    2 2 , 0f x x x x   【答案】A 考向 3 利用函数性质求解析式 【例4】已知 )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数，且 )1(log2)()( 2 xxgxf  ，则函数 ( )f x  ___________， ( )g x  ___________． 【 解 析 】 ∵ )(xf 为 奇 函 数 ， )(xg 为 偶 函 数 ， ∴ )()(),()( xgxgxfxf  ． 又 )1(log2)()( 2 xxgxf  ①，故 )1(log2)()( 2 xxgxf  ，即 )1(log2)()( 2 xxgxf  ②． 由①②得： )1,1(,1 1log)1(log)1(log)( 222   xx xxxxf ， 2 2( ) log (1 ) log (1 )g x x x    ＝ 2 2log (1 )x  ， ( 1,1)x  ． 【例 5】 函数 )(xfy  是 R 上的奇函数，满足 )3()3( xfxf  ，当  3,0x 时， xxf 2)(  ，则当  3,6 x 时， )(xf ___________． 【解析】因为 )3()3( xfxf  ，所以函数 )(xf 的图象关于直线 3x 对称，即 )6()( xfxf  成 立．又 )(xf 为奇函数，所以 ( ) ( ) (6 )f x f x f x      ．设  3,6 x ，则  6 0,3x   ，则 6( 6) 2xf x   ，所以 6( ) (6 ) 2xf x f x      ，即当  3,6 x 时， 62)(  xxf ． 【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解．常常涉及到两个转 换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称 的转换，如将 ( )f x 转换为 ( )f x 、 ( )f x m （ m 为常数）转化为 ( )f x 等． 【跟踪练习】 1．【2018 江西六校第五次联考】设函数  f x 是定义在 R 上的奇函数，且  f x =     1 ,{ , 0 log x x x g x x    ， 则  8g f    （ ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】A 2．【2017 河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知 是定义在 上的偶函数，且 恒成 立，当 时， ，则当 时， （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析： ， ， ，即 是最小正周期为 的函数，令 ，则 ，当 时， ， ， ， 是定义在 上的偶函数， ，令 ，则 ， ， ， ，当 时，函数的解析式为: ．所以 B 选项是正 确的． 考点：利用函数的性质求解析式． 【思路点睛】根据 将 换为 ，再将 换为 ，得到函数的最小正周期为 ， 由当 时， ，求出 的解析式，再由 是定义在 上的偶函数，求出 的 解析式，再将 的图象向左平移 个单位即得 的图象，合并并用绝对值表示 的解析式． 考向 4 利用方程法（消元法）求函数解析式 【例 6】【改编 2016 届湖北龙泉中学等校 9 月联考】定义在 ( 1,0) (0, )  上的函数 ( )f x 满足: 2 1 1( ) 2 ( ) ln xf x f x x   ，则 ( )f x  ___________． 【例 7】【改编题】定义在 R 上的函数 ( )g x 及二次函数 ( )h x 满足： 2( ) 2 ( ) 9x xg x g x e e      ，则 ( )g x  ___________． 【 解 析 】（ 1 ） ∵ 2( ) 2 ( ) 9x xg x g x e e      ① ， 2( ) 2 ( ) 9x xg x g x e e       ， 即 1( ) 2 ( ) 2 9x xg x g x e e      ②．由①②联立解得 ( ) 3xg x e  ． 【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数 ( )f x 混合运算，则充分利用变量代换， 然后联立方程消去其余部分可求得函数 ( )f x 的表达式． 【跟踪练习】 1．【2018 江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数  f x 对于任意实数 x 恒有    2 3 1f x f x x    ，则  f x 等于 A． 1x  B． 1x  C． 2 1x  D．3 3x  【答案】A 【解析】∵  f x 对任意实数 x 恒有    2 3 1f x f x x    ，∴用 x 代替式中的 x 可得    2 3 1f x f x x     ，联立可解得   1f x x  ，故选 A． 点睛：本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：①待定系数法，已知函 数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法：已知复合函数   f g x 的解析式，可用换元法，此时要 注意新元的取值范围；③配凑法：由已知条件     f g x F x ，可将  F x 改写成关于  g x 的表达式； ④消去法：已知  f x 与 1f x      或  f x 之间的关系，通过构造方程组得解． 2．【2017 河南新乡三模】若    2 f x f x   3 3x x  对 Rx 恒成立，则曲线  y f x 在点   2, 2f 处的切线方程为__________． 【答案】 13 15y x  （或13 15 0x y   ） 考向 5 根据图象确定解析式 【例 8】【2018 山东枣庄模拟】函数 ( )f x 的部分图象如图所示，则 ( )f x 的解析式可以是（ ） A． ( ) sinf x x x  B． cos( ) xf x x  C． ( ) cosf x x x D． 3( ) ( )( )2 2f x x x x    【解析】根据已知条件可知，函数 ( )f x 为奇函数，所以应排除 D ；函数的图象过原点，所以应排除 B ； 图象过 ( ,0)2  ，所以排除 A ；故选C ． 【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式， 解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出 了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决． 【例 9】【2017 安徽江南十校高三 3 月联考】若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ) A． B． C． D． 【答案】B 点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是 巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解． 【跟踪练习】 【2017 四川成都七中 6 月 1 日高考热身考试】如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，动点 P 在其表面上运动，且 PA x ，把点的轨迹长度  L f x 称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ① 1 3 2 16f      ；②   31 2f  ；③   32 2f  ；④ 21 3 3 3f       其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号） 【答案】②③④ 考向 6 建立解析式识别图象 【例 10】如图，圆O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ，终边为 射线OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 ( )f x ，则 ( )y f x 在[0, ] 上的图象大致为( ) A B C D 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 作 MD OP ， 垂 足 为 D ， 当 0 2x   时 ， 在 Rt OPM 中 ， cos cosOM OP x x  ．在 Rt OMD 中， 1sin cos sin sin 22MD OM x x x x   ；当 2 x   时， 在 Rt OPM 中， cos( ) cosOM OP x x    ，在 Rt OPM 中， sin( ) cos sinMD OM x x x    ＝ 1 sin 22 x ．综上可知 1 sin 2 ,02 2( ) 1 sin 2 ,2 2 x x f x x x           ，所以当 0 x   时， ( )y f x 的图象大致为 C． 【例 11】【2017 福建厦门双十中学下期热身】如图，半径为 2 的圆O 与直线 MN 切于点 P ，射线 PK 从 PN 出发，绕 P 点逆时针旋转到 PM ，旋转过程中与圆O 交于Q ，设 (0 2 )POQ x x     ，旋转扫 过的弓形 PmQ 的面积为 ( )S f x ，那么 ( )f x 的图象大致为（ ） 【点评】此类试题比较灵活，是近几年考查的热点之一．解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合 三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式，然后作出选择， 有时也要根据函数的性质（奇偶性、单调性、定义域与值域），利用动态过程中涉及的界点情况作出判断． 【跟踪练习】 1．【2017 广西 5 月份考前 模拟】函数     2 24 4 logx xf x x  的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 点睛：本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用．解答本题的关键是借助函数的图象 和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函 数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案． 2．【2018 贵州遵义航天中学一模】已知 P 是圆 2 21 1x y   上异于坐标原点 O 的任意一点，直线 OP 的倾斜角为 ，若 OP d ，则函数  d f  的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 π2cos , 0 , ,2 π2cos , , π2 d                   ，所以对应图象是 D 点睛：(1)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．(2) 在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关 系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调 性可实现去 “ ”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系． 考向 7 建立解析式解决实际问题 【例 12】【2018 湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示，桶 1 中的水按一定规律流入桶 2 中，已知开 始时桶 1 中有 a 升水，桶 2 是空的，t 分钟后桶 1 中剩余的水量符合指数衰减曲线 1 nty ae （其中 n 是 常数， e 是自然对数的底数）．假设在经过 5 分钟时，桶 1 和桶 2 中的水恰好相等．求： （1）桶 2 中的水 2y （升）与时间t （分钟）的函数关系式； （2）再过多少分钟，桶 1 中的水是 8 a 升? 【点评】在函数应用题中，建立函数的解析式常常设置在解答题的第（1）题的位置上，只有进行正确的 建模，才能解答第（1）题后面的其它小题．而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设 条件确定函数的定义域． 【例 13】【2018 福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司 5 月份销售某种型号汽车，当 月该型号汽车的进价为 30 万元/辆，若当月销售量超过 5 辆时，每多售出 1 辆，所有售出的汽车进价均 降低 0．1 万元/辆．根据市场调查，月销售辆不会突破 30 台． （1）设当月该型号汽车的销售量为 x 辆（ 30x  ，且 x 为正整数），实际进价为 y 万元/辆，求 y 与 x 的 函数关系式； （2）已知该型号汽车的销售价为 32 万元/辆，公司计划当月销售利润 25 万元，那么月需售出多少辆汽 车？（注：销售利润=销售价-进价） 【答案】（1） 30(0 5, ){ 0.1 30.5(5 30, ) x xy x x x       为整数 为整数 （2）该月需售出 10 辆汽车． 试题解析：解：（1）由题意， 当 0 5x  时， 30y  ． 当5 30x  时，  30 0.1 5 0.1 30.5y x x      ． ∴ 30(0 5, ){ 0.1 30.5(5 30, ) x xy x x x       为整数 为整数 ； 当 0 5x  时，  32 30 5 10 25    ，不符合题意， 当5 30x  时，  32 0.1 30.5 25x x      ， 解得： 1 25x   （舍去）， 2 10x  ． 答：该月需售出 10 辆汽车． 【例 14】【2018 江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有 100 名工人接受了生产 1000 台某产品的总任务， 每台产品由 9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙 型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有 x 人，他们加工完甲型 装置所需时间为 t1 小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为 t2 小时． 设 f(x)＝t1＋t2． （Ⅰ）求 f(x)的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当 x 等于多少时，f(x)取得最小值？ 【答案】（1）   9000 1000 100f x x x    定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}（2）当 x＝75 时，f(x)取得最小 值． 试题解析：解：（1）因为 1 9000t x   2 3000 1000 3 100 100t x x    所以   1 2 9000 1000 100f x t t x x      定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}． （2）f(x)＝ 9000 1000 100x x   ＝    9 1009 110 100 10 10100 100 x xx x x x x x                  ， 因为 1≤x≤99，x∈N*，所以  9 100 x x  ＞0， 100 x x ＞0， 所以  9 100 100 x x x x    ≥2  9 100 100 x x x x   ＝6， 当且仅当  9 100 x x  ＝ 100 x x ，即当 x＝75 时取等号． 答：当 x＝75 时，f(x)取得最小值． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即 条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应 用，否则会出现错误． 【跟踪练习】 1 ．【 2017 湖 南 株 洲 一 模 】 某 市 家 庭 煤 气 的 使 用 量 和 煤 气 费 ( 元 ) 满 足 关 系     ,0 { , C x A f x C B x A x A       已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表： 若四月份该家庭使用了 320m 的煤气，则其煤气费为____元． 【答案】11．5； 点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件 建立方程组从而求出函数解析式中的参数，确定函数的解析式，求出了问题 320m 燃气的燃气费中而获解． 2．【2018 江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测， 投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益 与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2)．（注：收益与投资额单位：万元） (1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系； (2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其 最大收益是多少万元？ 【答案】（1）    1 08f x x x  ；    1 02g x x x  （2）， max 3y  万元 【解析】试题分析：（1）根据图象写出函数    1 2,f x k x g x k x  ，分别将点  10.125 , 1,0.5（， ） 代 入对应函数即可求得 1 2,k k 的值，得到函数关系式（2）根据已知条件写出总投资收益的方程     120 208 2 xy f x g x x      ，将其转化为方程  21 2 38y t    ，通过 x 的取值范围求 出t 的取值范围，进而可求出 y 的最大值． (2)设投资债券类产品 x 万元，则股票类投资为  20 x 万元， 依题意得：    20y f x g x   1 208 2 x x    0 20x  ， 令 20t x   0 2 5t  ，则 220 8 2 t ty    21 2 38 t    ， 所以当 2t  ，即 16x  万元时，收益最大， max 3y  万元． 【点睛】 本题（1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型，根据类型写 出  f x 的解析式，再结合其它已知条件确定函数的系数即可．