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  • 2021-06-16 发布

高中数学(平面向量)综合练习含解析

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高中数学(平面向量)综合练习含解析 1.在 ABC△ 中, AB c  , AC b  .若点 D 满足 2BD DC  ,则 AD  ( ) A. 2 1 3 3b c  B. 5 2 3 3c b  C. 2 1 3 3b c  D. 1 2 3 3b c  2.已知 1, 3OA OB   , 0OA OB   ,点 C 在 AOB 内,且 30AOC   ,  ,OC mOA nOB m n R     ,则 m n 等于( ) A.3 B. 1 3 C. 3 3 D. 3 3.若向量 , ,a b c    满足 a b  ∥ ,且 a c  ,则  2c a b     ( ) A.4 B.3 C.2 D.0 4.已知向量 ( , 2), (1,1 )m a n a     ,且 m n  ∥ ,则实数 a ( ) A. 1 B. 2 或 1 C. 2 D. 2 5.已知向量 (1,2)a  ,向量 ( , 2)b x  ,且 ( )a a b    ,则实数 x 等于 A. 4 B. 4 C.0 D.9 6.已知| a  |=1,|b  |= 2 ,且 ( )a a b    ,则向量 a  与向量b  的夹角为( ) A. 6  B. 4  C. 3  D. 2 3  7.已知平面向量 a  , b  满足   3a a b     ,且 2a  , 1b  ,则向量 a  与 b  夹角的 正弦值为( ) A. 1 2  B. 3 2  C. 1 2 D. 3 2 8.在平行四边形 ABCD中, 2AD , 60BAD   ,E 为CD 的中点.若 1AD BE   , 则 AB 的长为 ( ) A. 6 B. 4 C.5 D. 6 9 . O 为 平 面 上 的 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 若 ( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA         ,则 ABC 是( ) A.以 AB 为底面的等腰三角形 B.以 BC 为底面的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形 2 10.在 ABC 中, 1 4MB AB  ,且对 AB 边上任意一点 N,恒有 NB NC MB MC      , 则有( ) A. AB BC B. AB AC C. AB AC D. AC BC 11.点 P 是 ABC 所在平面内的一点,若 ( )CB PA PB R      ,则点 P 在( ) A. ABC 内部 B.AC 边所在的直线上 C.AB 边所在的直线上 D.BC 边所在的直线上 12.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c , 6c b  , 2c b a   , 且O 为此三角形的内心,则 AO CB    ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 13.在 ABC 中, 3,3||,2||,,  bababACaBC 则∠C 的大小为( ) A.30 B. 60 C.120 D.150 14.在 ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,且 cos 3 cos cosb C a B c B  , 2BA BC   ,则 ABC 的面积为( ) A. 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 4 2 15.若非零向量 ,a b 满足| | | | 2 | |a b a b a    ,则向量b 与 a b 的夹角为 . 16.在平面直角坐标系中,设 , ,M N T 是圆C : 2 2( 1) 4x y   上不同三点,若存在正 实数 ,a b ,使得CT aCM bCN    ,则 3 2 2 1a ab ab b a     的取值范围为 . 17.已知向量 (1, 3)a  ,向量 ,a c   的夹角是 3  , 2a c   ,则| |c  等于 . 18.已知正方形 ABCD,过正方形中心O 的直线 MN 分别交正方形的边 CDAB, 于点 NM、 ,则 2 2 BN MN 最小值为_________________. 19.若 ,a b   均为非零向量,且    2 , 2a b a b a b         ,则 ,a b   的夹角为 . 20.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB//DC,∠ABC=60°,BC= 1 2 AB=2,动点 E 和 F 分别在 线段 BC 和 DC 上,且 BE  =  BC  ,DF  = 2 1 DC  ,则 AE  ·BF  的最小值为 . 21.已知 ABC 是边长为 1 的正三角形,动点 M 在平面 ABC 内,若 0AM AB   , | | 1CM  ,则CM AB  的取值范围是 . 22.向量 (1,1)a  ,且 a  与 a b  的方向相反,则 a b  的取值范围是 . 23.如图,在三棱锥中 D ABC 中,已知 2AB  , 3AC BD    ,设 AD a ,BC b , CD c ,则 2 1 c ab  的最小值为 . 24.已知 A 点坐标为 ( 1,0) ,B 点坐标为 (1,0) ,且动点 M 到 A 点的距离是 4 ,线段 MB 的 垂直平分线l 交线段 MA 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 C 方程. (2)若 P 是曲线 C 上的点,,求 k PA PB  的最大值和最小值. 25.△ABC 中,内角为 A,B,C,所对的三边分别是 a,b,c,已知 2 b ac , 3cos 4B  . (1)求 1 1 tan tanA C  ; (2)设 BA  · 3 2BC  ,求 a c . 26.已知函数   1 1f x x   ,点O 为坐标原点, 点   , (nA n f n nN * ) ,向量  0,1i , n 是向量 nOA  与 i 的夹角,则 20161 2 1 2 2016 coscos cos sin sin sin        的值为 . 27.已知向量 3(sin , ), (cos , 1).2a x b x    (1)当 //a b   时,求 22cos sin 2x x 的值; (2)求 bbaxf   )()( 在 ,02     上的值域. 28.如图,在平面直角坐标系中,方程为 022  FEyDXyx 的圆 M 的内接四 边形 ABCD的对角线 BDAC和 互相垂直,且 BDAC和 分别在 x 轴和 y 轴上. (1)若四边形 ABCD的面积为 40,对角线 AC 的长为 8, 0 ADAB ,且 ADC 为 锐角,求圆的方程,并求出 DB, 的坐标; (2)设四边形 ABCD的一条边 CD 的中点为 G , ABOH  ,且垂足为 H ,试用平 面解析几何的研究方法判断点 HGO 、、 是否共线,并说明理由. 29.在直角坐标系 xOy 中,已知点 (1,1), (2,3), (3,2)A B C ,点 ( , )P x y 在 ABC 中三边 围成的区域(含边界)上,且 ( , )OP AB AC R        . (1)若 2 3    ,求 OP ; (2)用 ,x y 表示   并求   的最大值. 30.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ,过左焦点 1( 1,0)F  的直线与椭圆C 交于 M 、 N 两点,且 2F MN 的周长为8 ;过点 (4,0)P 且不与 x 轴垂直的直线l 与椭圆 C 相交 于 A 、 B 两点. (1)求椭圆C 的方程; (2)求OA OB  的取值范围; (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点. 参考答案 1.C 【解析】 试题分析:如图所示,在 ABC 中, AD AB BD    又 2BD DC  ,  2 2 2 2 1 3 3 3 3 3BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c                             故选 C. 考点:向量加法 2.A 【解析】 试题分析:如图所示,建立直角坐标系.则    1,0 , 0, 3 ,OA OB   ∴   3 3, 3 , tan30 33 n mOC mOA nOB m n m n            .故选 B 考点:共线向量 【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识,属基础题.解题时对一个向量根 据平面向量基本定理进行分解,关键是要根据平行四边形法则,找出向量在基底两个向量方 向上的分量,再根据已知条件构造三角形,解三角形即可得到分解结果. 3.D 【解析】 试 题 分 析 : 设 ba   , 则 由 已 知 可 得  ( 2 ) (2 ) (2 b) 2 1 0c a b c a c b c a c c a                            考点:向量的运算 4.B 【解析】 试题分析:由已知 m n  ∥ ,则   2(1 ) 2 1 2 0 1, 2a a a a a a              考点:共线向量 5.D 【解析】 试题分析:  1 ,4a b x     由    ( ) 1,2 1 ,4 1 8 0 9a a b x x x             考点;向量垂直的充要条件 6.B 【解析】 试题分析:由题意得 2 2( ) 0 1 cos , 2| | | | a ba a b a b a a b a b                        ,所以向量 a r 与 向量 b r 的夹角为 4  ,选B. 考点:向量夹角 7.D 【解析】 试 题 分 析 :   2 1 23 3 1 cos , , .2 3a a b a a b a b a b a b                            选 D. 考点:向量夹角 8.D 【解析】 试 题 分 析 : 1 1+ ) + ) )2 2AD BE AD BA AD DE AD AB AD AB AD AD AB                     ( (- ( 1 14 2 cos 4 12 3 2AB AB        ,因此 6.AB  选 D. 考点:向量数量积 9.B 【解析】 试 题 分 析 : 设 BC 的 中 点 为 D , ∵ ( ) ( )2 0OB OC OB OC OA         , ∴ ( )2 2 0CB OD OA     , ∴ 2 0CB AD   ,∴CB AD  ,故△ABC 的 BC 边上的中线也是高线.故△ABC 是以 BC 为 底边的等腰三角形,故选 B. 考点:三角形的形状判断. 10.D 【解析】 试题分析:以 A 为原点, AB  为 x 轴,建立直角坐标系,设 (4,0), ( , )B C a b , ( ,0)N x ,则 (3,0)M , (1,0) ( 3, ) 3MB MC a b a       , (4 ,0) ( , ) (4 )( )NB NC x a x b x a x         , 2(4 )( ) ( 4) 4x a x x a x a      2 24 ( 4)( ) 42 4 a ax a     , 由题意 2( 4)4 34 aa a   (或 4 32 a   ),解得 2a  ,所以 AC BC .故选 D. 考点:向量的数量积,数量积的坐标运算. 【名师点睛】1.平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA  = a  ,点 A 的位置被 a  所唯 一确定,此时 a  的坐标与点 A 的坐标都是(x,y).向量的坐标表示和以坐标原点为起点的 向量是一一对应的,即向量(x,y) 向量 OA  点 A(x,y).要把点 的坐标与向量的坐标区分开,相等的向量坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,也 不能认为向量的坐标是终点的坐标,如 A(1,2),B(3,4),则 AB  =(2,2). 3.用坐标法解向量问题,可以把几何问题代数化,用函数思想研究几何问题,可以减少思 维量,降低难度.本题建立坐标系后, (4 ,0) ( , ) (4 )( )NB NC x a x b x a x         ,问 题转化为函数 ( ) (4 )( )f x x a x   的最小值是 3a  或在 3x  时取得最小值,由二次函数 的性质结论易得. 11.B 【解析】 试题分析:由CB PA PB    得CB PB PA    ,即 CP PA  ,所以CP  与 PA  共线, 故选 B. 考点:向量的线性运算,向量的共线. 12.C 【解析】 试题分析:如下图所示,过 O 作OD AB 于 D ,OE AC 于 E , ∴ ( ) | | | | | | | |AO CB AO AB AC AO AB AO AC AD AB AE AC                    , 又∵ O 为 ABC 内心,∴| | | | | | | | | | | |AD AB AE AC AD c AD b       , (| | | | | |)| | 2 2 a b c BD BC CE c b aAD         , ∴ ( )( )( ) 62 c b c b aAO CB AO AB AC AO AB AO AC                     ,故选 C. 考点:1.三角形内心性质;2.平面向量数量积. 【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查,在解题时运用向量的运算, 数量积的几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件,常利用数形结 合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化,一般会与函数,不等式等 几个知识点交汇,或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势. 13.B 【解析】 试题分析: cos 3a b a b C     ,解得 2 1cos C ,所以 060C ,故选 B. 考点:平面向量数量积的应用. 14.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 cos 3 cos cosb C a B c B  , 根 据 正 弦 定 理 可 得 sin cos 3sin cos sin cosB C A B C B  ,   1sin 3sin cos sin , cos 3B C A B A B      ; 再 根 据 2BA BC   , 得 cos 2c a B   , 6ac  ,所以 ABC 的面积为 1 sin 2 22 ac B  ,故 C 为正确答案. 考点:1、正弦定理;2、向量的数量积. 【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用, 属于中档题;由 cos 3 cos cosb C a B c B  ,根据正弦定理求出 cos B 的值,进而求出sin B 的值;再根据 2BA BC   ,利用两个向量的数量积的定义求得 ac 的值,最后根据面积公式 1 sin2 ac B 求出 ABC 的面积即可. 15. 6  【解析】 试题分析:如图所示,设 AB ,a AD b     ,∵两个非零向量满足| | | | 2 | |a b a b a    , 则四边形 ABCD 是矩形,且 1 2 3 6 AB cos BAC BAC OAB OADAC          , , . 而向量b  与 a b 的夹角即为 OAD ,故向量b  与 a b 的夹角为 6  考点:向量的夹角的计算 16. (2, ) 【解析】 试题分析:由题意, 2CT CM CN     ,设 ,CM CN   夹角为 ,对CT aCM bCN    两 边 平 方 , 整 理 得    2 22 2 2 24 4 2 4 1 12 o 11 c sa abCM CN cos a b ab ba ab b                  ,可得到 1 1, 1 1a b a b a b        或 ,以为 a 横坐标, b 为纵坐标,表示出满足上面条件的平 面 区 域 . 如 图 阴 影 部 分 所 示 , 则   3 2 22 2 22 1 1 12 1 1a ab ab b b ba b b a ba a a               , 它表示点  ,a b 到点 0, 1 的距离的平方及点 ,a b 与点 0, 1 连线斜率的和,由可行域 可 知 当 点  ,a b 位 于 点  1,0 时 取 到 最 小 值 2 , 但 由 题 意 ,a b 为 正 实 数 , 故 3 2 2 1a ab ab b a     的取值范围为 (2, ) 【名师点睛】本题主要考查向量的运算,简单的线性规划,及目标函数的实际意义等知识, 属难题.解题时由两个难点,一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义, 需要一定的数学功底. 考点: 17.2 【解析】 试题分析: cos , =2 cos 2 23a c a c a c c c                考点:向量的运算 18. 53 【解析】 试题分析:以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系,设正方形边长为 2 个单 位 , 则 (1,1), ( ,1), ( , 1), [ 1,1]B M m N m m    , 因 此 2 2 2 2 4 4 (1 ) 4 MN my BN m     , 由 2 2 2 8( 4 1) 0[(1 ) 4] m my m      得 5 2 5 2( )m m    或 舍 ,因此函数在 ( 5 2,1) 单调增,在 ( 1, 5 2)  单调减,即 5 2m   时,函数取最小值 53 y x CND A M B O 考点:利用导数求函数最值 【思路点睛】 函数最值存在的两条定论 1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端 点取到.不单调时,利用导数探求极值点,为函数取最值的可疑点. 2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.“单峰”利用导数探求. 19. 3  【解析】 试题分析:        2 2 2 , 2 2 0, 2 0 2a b a b a b a b a b a b a b a b                              , 因此 1cos , .2 3| || | a b a b         考点:向量夹角 20. 4 6 l3 【解析】 试题分析:由题意得 4, 2AB CD  ( ) ( )AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF BE CF                          | | | | cos120 | | | | | | | | | || |cos60AB BC BE BC AB CF BE CF                21 1 1 14 2 ( ) 2 4 (1 ) 2 2 (1 ) 22 2 2 2                  4 413 6 13 2 6           4 6 l3 ,当且仅 6= 3  当时取等号,即 AE  ·BF  的最小值为 4 6 l3 考点:向量数量积,基本不等式求最值 21. 1[ 1, )2   【解析】 试题分析:如图,以 A 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系,则 1 3(1,0), ( , )2 2B C ,设 ( , )M x y , ( , ) (1,0) 0AM AB x y x      ,由 1CM  得 2 21 3( ) ( ) 12 2x y    ,所以 1 02 x   ,所以 1 3 1( , ) (1,0)2 2 2CM AB x y x        1[ 1, )2    . 考点:向量的数量积,数量积的坐标运算. 【名师点睛】1.在解决具体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便.在解有关三角形 的问题时,可以不去特意选择两个基本向量,而可以用三边所在的三个向量,最后可以根据 需要任意留下两个即可,这样思考问题要简单得多. 2.平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA  = a  ,点 A 的位置被 a  所唯一确定,此时 a  的坐标与点 A 的坐标都是(x,y).向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应 的,即向量(x,y) 向量OA  点 A(x,y).要把点的坐标与向量的 坐标区分开,相等的向量坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,也不能认为向量的 坐标是终点的坐标,如 A(1,2),B(3,4),则 AB  =(2,2). 3.用坐标法解向量问题,可以把几何问题代数化,用函数思想研究几何问题,可以减少思 维量,降低难度. 22. ( , 2)  【解析】 试题分析:因为 a  与 a b  的方向相反,所以 a  与b  共线,且方向相反.设 ( , )b ka k k   ( 0k  ), 又 (1 ,1 )a b k k     与 a  方 向 相 反 , 所 以 1 0k  , 1k   , 所 以 2 2a b k k k       . 考点:向量的数量积,共线向量,数量积的坐标运算. 23. 2 . 【解析】 试题分析:设 AD a  ,CB b  ,DC c  ,∵ 2AB  ,∴ 2 2 2 2| | 4a b c a b c         2( ) 4a b b c c a           , 又 ∵ 3AC BD    , ∴ 2( ) ( ) 3 3a c b c a b b c c a c                       , ∴ 2 2 2 2 2 2 22(3 )=4 2a b c c c a b        ,∴ 2 2 2 2 2 21 1 a b ab ab ab      ,当且仅当 a b 时,等号成立,即 2 1 c ab  的最小值是 2 . 考点:1.空间向量的数量积;2.不等式求最值. 【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查,在解题时运用向量的运算,数 量积的几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件,将问题简化,一 般会与函数,不等式等几个知识点交汇,或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试 命题的趋势. 24.(1) 2 2 14 3 x y  ;(2) max 4k  , min 3k  . 【解析】 试题分析:(1)根据题意知| | | | | | | | 4 2PA PB PA PM     ,所以 P 的轨迹是以 ,A B 为 焦点的椭圆,且 2 4,2 2a c  ,所以轨迹的方程为 2 2 14 3 x y  ;(2)设点 0 0( , )P x y 则 2 2 0 0 14 3 x y  ,根据两点之间的距离公式得: 2 2 2 2 0 0 0 0( 1) ( 1)k x y x y      ,化简 得: 2 0 14 4k x  ,又有椭圆的范围知 02 2x   ,求函数的最值. 试题解析:(1)∵| | | | | | | | 4PA PB PA PM    ;又| | 2AB  , ∴ P 的轨迹是以 ,A B 为焦点的椭圆, ∵ 2 4,2 2a c  ,∴ 2 2 2 3b a c   , 所求轨迹方程为 2 2 14 3 x y  . (2)解:设点 0 0( , )P x y 则 2 2 0 0 14 3 x y  2 2 2 2 0 0 0 0( 1) ( 1)k x y x y      0( 2 2)x   2 2 0 0 0 0 1 12 4 2 44 4x x x x      0 0 1 1(2 )(2 )2 2x x   2 0 14 4 x  0 max0 4x k  当 时, 0 min2 3x k   当 时, 考点:1、椭圆的定义;2、椭圆的标准方程;3、两点间距离;4、二次函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性 质,两点间距离,二次函数求最值,属于中档题题.求点的轨迹时,可以根据某些曲线的定 义先确定轨迹,再求其轨迹方程,在利用二次函数求最值的过程中,一定要分析自变量的取 值范围,否则容易产生错误. 25.(1) 4 77 ;(2)3. 【解析】 试题分析:(1)根据条件,采取化角的策略,由正弦定理得: ² sin B sinAsinC ,又 3cos 4B  ,所以 7 4sin A C sinB  ( ) ,所以 7 4 sin A C sinAsinC ( )= ,展开两边 同除以 sinAsinC 即可;(2)因为 BA  · 3 2BC  , 3cos 4B  ,所以 3 3 4 2ac cosB ac   , 则 ² 2b ac  ,由余弦定理得 2 2 2 cos 2 a c bB ac   2 2 22 ( ) 2 2 3 4 4 4 a c a c ac       ,所以 ² 9a c ( ) , 3a c  . 试题解析:(1) ² ² b ac sin B sinAsinC   3 7 4 4cosB B sin A C sinB     且 为三角形内角 ( ) ∴ 1 1 cos cos 4 7tan tan sin sin 7 A C A C A C     (2)∵ BA  · 3 2BC  , cosB  3 4 ∴ ac cosB  3 4 ac  3 2 , 则 ² 2b ac  ∴ 2 2 2 2 2 22 ( ) 2 2 3cos 2 4 4 4 a c b a c a c acB ac           ∴ ² 9a c ( ) , 3a c  考点:1、正弦定理;2、余弦定理;3、两角和正弦公式;4、数量积公式. 26. 2016 2017 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 得 90 n 是 直 线 nOA 的 倾 斜 角 ,     90 1 1 19090 ( ) ( ) 1 1 n n n n n f ncos sin tansin cos n n n n n                  ( ) , ∴ 20161 2 1 2 2016 coscos cos 1 1 1 1 1 1 20161 ... 1sin sin sin 2 2 3 2016 2017 2017 2017                   . 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算 27.(1) 22cos sin 2x x 20 13  ;(2)       2 1,2 2)( 的值域为xf 【解析】 试题分析:(1)利用向量平行的坐标运算,同角三角函数间的关系,得到tanx 的值,然后 化简 22 2cos x sin x 即可 (2)先表示出 bbaxf   )()( 2 22 4sin x     ,再根据 x 的范围求出函数 f x( )的 最大值及最小值. 试题解析:(1) ||a b    ,∴ 3 cos sin 02 x x  ,∴ 3tan 2x   2 2 2 2 2 2cos 2sin cos 2 2tan 202cos sin 2 sin cos 1 tan 13 x x x xx x x x x       . (2) 1(sin cos , )2a b x x     2( ) ( ) sin(2 )2 4f x a b b x        ∵ 02 x   ,∴ 3 24 4 4x      ,∴ 21 sin(2 )4 2x     ∴ 2 1( )2 2f x   ∴函数       2 1,2 2)( 的值域为xf . 考点:正弦函数的性质 28.(1)   253 22  yx ,   )2,0(,8,0 DB (2)共线 【解析】 试题分析:(1)利用四边形 ABCD面积得直径 10BD ,因而半径为 5,利用弦 AC=8 可求 得圆心 M 到直线 AC 距离为 3,即圆心  3,0M ,方程为   253 22  yx ,可得圆在 y 轴上 的交点   )2,0(,8,0 DB (2)判断三点 HGO 、、 是否共线,一般利用斜率进行判定,即判 断 OG OHk k 是 否 成 立 , 而 OHAB  , 因 此 只 需 判 断 1OG ABk k   是 否 成 立 , 设        0,0,,00, dDcCbBaA ,,, .则转化为判断 bd ac 是否成立:对于圆 M 的一般方 程 022  FEyDXyx ,a,c 为 02  FDXx 两根,b,d 为 02  FEyy 两 根,从而由韦达定理得 ac F bd  ,因此三点共线. 试题解析:解:(1)不难发现,对角线互相垂直的四边形 ABCD面积 2 BDACS  ,因 为 8,40  ACS 可得 10BD . 又 因为 0AB AD   , 所以 A 为 直角 , 而因 为 四 边形 是 圆 M 的 内接 四 边形 , 故 5,102  rrBD , 连 接 MA , 求 得 3MO , 所 以  3,0M , 故 圆 M 的 方 程 为   253 22  yx , 令 28,0  或yx ,求得   )2,0(,8,0 DB 证:设四边形四个顶点的坐标分别为        0,0,,00, dDcCbBaA ,,, . 则可得点G 的坐标为      2,2 dc ,即      2,2 dcOG 又  ,AB a b  ,且 OHAB  ,故使 HOG 、、 共线,只需证 0AB OG   即可 而 2 bd acAB OG    ,且对于圆 M 的一般方程 022  FEyDXyx , 当 0y 时,可得 02  FDXx ,其中方程的两根分别为点 A 和点C 的横坐标, 于是有 Facxx CA  . 同理,当 0x 时,可得 02  FEyy ,其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐标, 于是有 Fbdyy DB  ,所以, 02 bd acAB OG     ,即 OGAB  , 故 HOG 、、 必定三点共线 考点:圆的方程,直线与圆位置关系 29.(1) 2 2OP  ;(2)   的最大值为 1. 【解析】 试题分析:(1)直接求出向量的坐标,即可计算模的大小;(2)由向量相等的定义可得 ,  , 试 题 解 析 :( 1 ) 由 已 知 (1,2), (2,1)AB AC   , 所 以 2 2 (2,2)3 3OP AB AC     , 2 2OP  , ( 2 ) 由 已 知 得 (1,2) (2,1) ( 2 ,2 )OP           , ∴ 2 2 x y          , 1 (2 )3 1 (2 )3 y x x y         , ∴ y x    .由简单线性规划的思想可得   的最大值为 1. 考点:向量的坐标运算,向量的相等,简单线性规划. 30.(1) 22 14 3 yx   ;(2) 13[ 4 )4  , ;(3)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)由题意得可得 1c  ,由椭圆的定义可求得 2a  ,再由 , ,a b c 的关系,可得 到椭圆的标准方程;(2)设直线 PB 的方程为 ( 4)y k x  ,代入椭圆的方程,运用韦达定理, 以及向量的数量积的坐标表示、化简整理,由不等式的性质,即可得所求范围;(3)求得 E 的坐标,以及直线 AE 的方程,令 0y  ,运用韦达定理,即可得到所求定点. 试题解析:(1)椭圆的方程为 22 14 3 yx   (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 ( 4)y k x  由 22 ( 4) 14 3 y k x yx     得: 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k     由 2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0k k k       得: 2 1 4k  设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 2 2 1 2 1 22 2 32 64 12 4 3 4 3 k kx x x x k k      , ① ∴ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k       ∴ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 64 12 32 87(1 ) 4 16 25 4 3 4 3 4 3 k kOA OB x x y y k k k k k k                 ∵ 2 10 4k ≤ ,∴ 2 87 87 87 3 44 3k      ≤ ,∴ 13[ 4 )4OA OB    , ∴OA OB  的取值范围是 13[ 4 )4  , . (3)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2) 直线 AE 的方程为 1 2 1 1 1 2 ( )y yy y x xx x    ,令 y = 0 得: 1 1 2 1 1 2 ( )y x xx x y y    又 1 1 2 2( 4) ( 4)y k x y k x   , ,∴ 1 2 1 2 1 2 2 4( ) 8 x x x xx x x     由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0). 考点:椭圆的简单几何性质及其应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法,椭圆的简单的几何性质及其应用,直 线与圆锥曲线的综合应用,着重考查了直线方程和椭圆联立,运用韦达定理,以及化简整理 的运算能力,属于中档性试题,本题的解答中,把直线方程 ( 4)y k x  代入椭圆的方程, 得二次方程 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k     ,把向量OA OB  的运算转化为二次方程韦达定 理的应用,是解答此类问题的关键,同时此类问题的运算量较大,需要认真审题、细致计算 也是解答的一个易错点.