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- 2021-06-16 发布
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高中数学(平面向量)综合练习含解析
1.在 ABC△ 中, AB c , AC b .若点 D 满足 2BD DC ,则 AD ( )
A. 2 1
3 3b c
B. 5 2
3 3c b
C. 2 1
3 3b c
D. 1 2
3 3b c
2.已知 1, 3OA OB , 0OA OB ,点 C 在 AOB 内,且 30AOC ,
,OC mOA nOB m n R ,则 m
n
等于( )
A.3 B. 1
3
C. 3
3
D. 3
3.若向量 , ,a b c
满足 a b
∥ ,且 a c ,则 2c a b ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
4.已知向量 ( , 2), (1,1 )m a n a ,且 m n
∥ ,则实数 a ( )
A. 1 B. 2 或 1 C. 2 D. 2
5.已知向量 (1,2)a ,向量 ( , 2)b x ,且 ( )a a b ,则实数 x 等于
A. 4 B. 4 C.0 D.9
6.已知| a
|=1,|b
|= 2 ,且 ( )a a b ,则向量 a
与向量b
的夹角为( )
A.
6
B.
4
C.
3
D. 2
3
7.已知平面向量 a
, b
满足 3a a b ,且 2a , 1b ,则向量 a
与 b
夹角的
正弦值为( )
A. 1
2
B. 3
2
C. 1
2
D. 3
2
8.在平行四边形 ABCD中, 2AD , 60BAD ,E 为CD 的中点.若 1AD BE ,
则 AB 的长为 ( )
A. 6 B. 4 C.5 D. 6
9 . O 为 平 面 上 的 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 若
( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA ,则 ABC 是( )
A.以 AB 为底面的等腰三角形
B.以 BC 为底面的等腰三角形
C.以 AB 为斜边的直角三角形
D.以 BC 为斜边的直角三角形
2
10.在 ABC 中, 1
4MB AB ,且对 AB 边上任意一点 N,恒有 NB NC MB MC ,
则有( )
A. AB BC B. AB AC
C. AB AC D. AC BC
11.点 P 是 ABC 所在平面内的一点,若 ( )CB PA PB R ,则点 P 在( )
A. ABC 内部
B.AC 边所在的直线上
C.AB 边所在的直线上
D.BC 边所在的直线上
12.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c , 6c b , 2c b a ,
且O 为此三角形的内心,则 AO CB
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.在 ABC 中, 3,3||,2||,, bababACaBC 则∠C 的大小为( )
A.30 B. 60 C.120 D.150
14.在 ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,且 cos 3 cos cosb C a B c B ,
2BA BC ,则 ABC 的面积为( )
A. 2 B. 3
2
C. 2 2 D. 4 2
15.若非零向量 ,a b 满足| | | | 2 | |a b a b a ,则向量b 与 a b 的夹角为 .
16.在平面直角坐标系中,设 , ,M N T 是圆C : 2 2( 1) 4x y 上不同三点,若存在正
实数 ,a b ,使得CT aCM bCN ,则
3 2 2 1a ab ab b
a
的取值范围为 .
17.已知向量 (1, 3)a ,向量 ,a c
的夹角是
3
, 2a c ,则| |c
等于 .
18.已知正方形 ABCD,过正方形中心O 的直线 MN 分别交正方形的边 CDAB, 于点
NM、 ,则 2
2
BN
MN 最小值为_________________.
19.若 ,a b
均为非零向量,且 2 , 2a b a b a b ,则 ,a b
的夹角为 .
20.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB//DC,∠ABC=60°,BC= 1
2
AB=2,动点 E 和 F 分别在
线段 BC 和 DC 上,且 BE
= BC
,DF
=
2
1 DC
,则 AE
·BF
的最小值为 .
21.已知 ABC 是边长为 1 的正三角形,动点 M 在平面 ABC 内,若 0AM AB ,
| | 1CM ,则CM AB 的取值范围是 .
22.向量 (1,1)a ,且 a
与 a b 的方向相反,则 a b 的取值范围是 .
23.如图,在三棱锥中 D ABC 中,已知 2AB , 3AC BD ,设 AD a ,BC b ,
CD c ,则
2
1
c
ab
的最小值为 .
24.已知 A 点坐标为 ( 1,0) ,B 点坐标为 (1,0) ,且动点 M 到 A 点的距离是 4 ,线段 MB
的
垂直平分线l 交线段 MA 于点 P .
(1)求动点 P 的轨迹 C 方程.
(2)若 P 是曲线 C 上的点,,求 k PA PB 的最大值和最小值.
25.△ABC 中,内角为 A,B,C,所对的三边分别是 a,b,c,已知 2 b ac , 3cos 4B .
(1)求 1 1
tan tanA C
;
(2)设 BA
· 3
2BC ,求 a c .
26.已知函数 1
1f x x
,点O 为坐标原点, 点 , (nA n f n nN * ) ,向量 0,1i ,
n 是向量 nOA
与 i 的夹角,则 20161 2
1 2 2016
coscos cos
sin sin sin
的值为 .
27.已知向量 3(sin , ), (cos , 1).2a x b x
(1)当 //a b
时,求 22cos sin 2x x 的值;
(2)求 bbaxf )()( 在 ,02
上的值域.
28.如图,在平面直角坐标系中,方程为 022 FEyDXyx 的圆 M 的内接四
边形 ABCD的对角线 BDAC和 互相垂直,且 BDAC和 分别在 x 轴和 y 轴上.
(1)若四边形 ABCD的面积为 40,对角线 AC 的长为 8, 0 ADAB ,且 ADC 为
锐角,求圆的方程,并求出 DB, 的坐标;
(2)设四边形 ABCD的一条边 CD 的中点为 G , ABOH ,且垂足为 H ,试用平
面解析几何的研究方法判断点 HGO 、、 是否共线,并说明理由.
29.在直角坐标系 xOy 中,已知点 (1,1), (2,3), (3,2)A B C ,点 ( , )P x y 在 ABC 中三边
围成的区域(含边界)上,且 ( , )OP AB AC R .
(1)若 2
3
,求 OP ;
(2)用 ,x y 表示 并求 的最大值.
30.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
,过左焦点 1( 1,0)F 的直线与椭圆C 交于 M 、
N 两点,且 2F MN 的周长为8 ;过点 (4,0)P 且不与 x 轴垂直的直线l 与椭圆 C 相交
于 A 、 B 两点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)求OA OB 的取值范围;
(3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.
参考答案
1.C
【解析】
试题分析:如图所示,在 ABC 中, AD AB BD
又 2BD DC ,
2 2 2 2 1
3 3 3 3 3BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c
故选 C.
考点:向量加法
2.A
【解析】
试题分析:如图所示,建立直角坐标系.则 1,0 , 0, 3 ,OA OB
∴ 3 3, 3 , tan30 33
n mOC mOA nOB m n m n
.故选 B
考点:共线向量
【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识,属基础题.解题时对一个向量根
据平面向量基本定理进行分解,关键是要根据平行四边形法则,找出向量在基底两个向量方
向上的分量,再根据已知条件构造三角形,解三角形即可得到分解结果.
3.D
【解析】
试 题 分 析 : 设 ba , 则 由 已 知 可 得
( 2 ) (2 ) (2 b) 2 1 0c a b c a c b c a c c a
考点:向量的运算
4.B
【解析】
试题分析:由已知 m n
∥ ,则 2(1 ) 2 1 2 0 1, 2a a a a a a
考点:共线向量
5.D
【解析】
试题分析: 1 ,4a b x
由 ( ) 1,2 1 ,4 1 8 0 9a a b x x x
考点;向量垂直的充要条件
6.B
【解析】
试题分析:由题意得 2 2( ) 0 1 cos , 2| | | |
a ba a b a b a a b
a b
,所以向量 a
r
与
向量 b
r
的夹角为 4
,选B.
考点:向量夹角
7.D
【解析】
试 题 分 析 :
2 1 23 3 1 cos , , .2 3a a b a a b a b a b a b
选 D.
考点:向量夹角
8.D
【解析】
试 题 分 析 :
1 1+ ) + ) )2 2AD BE AD BA AD DE AD AB AD AB AD AD AB ( (- (
1 14 2 cos 4 12 3 2AB AB
,因此 6.AB 选 D.
考点:向量数量积
9.B
【解析】
试 题 分 析 : 设 BC 的 中 点 为 D , ∵ ( ) ( )2 0OB OC OB OC OA
, ∴
( )2 2 0CB OD OA
,
∴ 2 0CB AD
,∴CB AD
,故△ABC 的 BC 边上的中线也是高线.故△ABC 是以 BC 为
底边的等腰三角形,故选 B.
考点:三角形的形状判断.
10.D
【解析】
试题分析:以 A 为原点, AB
为 x 轴,建立直角坐标系,设 (4,0), ( , )B C a b , ( ,0)N x ,则
(3,0)M , (1,0) ( 3, ) 3MB MC a b a ,
(4 ,0) ( , ) (4 )( )NB NC x a x b x a x ,
2(4 )( ) ( 4) 4x a x x a x a
2
24 ( 4)( ) 42 4
a ax a ,
由题意
2( 4)4 34
aa a (或 4 32
a ),解得 2a ,所以 AC BC .故选 D.
考点:向量的数量积,数量积的坐标运算.
【名师点睛】1.平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA
= a
,点 A 的位置被 a
所唯
一确定,此时 a
的坐标与点 A 的坐标都是(x,y).向量的坐标表示和以坐标原点为起点的
向量是一一对应的,即向量(x,y) 向量 OA
点 A(x,y).要把点
的坐标与向量的坐标区分开,相等的向量坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,也
不能认为向量的坐标是终点的坐标,如 A(1,2),B(3,4),则 AB
=(2,2).
3.用坐标法解向量问题,可以把几何问题代数化,用函数思想研究几何问题,可以减少思
维量,降低难度.本题建立坐标系后, (4 ,0) ( , ) (4 )( )NB NC x a x b x a x ,问
题转化为函数 ( ) (4 )( )f x x a x 的最小值是 3a 或在 3x 时取得最小值,由二次函数
的性质结论易得.
11.B
【解析】
试题分析:由CB PA PB 得CB PB PA ,即 CP PA ,所以CP
与 PA
共线,
故选 B.
考点:向量的线性运算,向量的共线.
12.C
【解析】
试题分析:如下图所示,过 O 作OD AB 于 D ,OE AC 于 E ,
∴ ( ) | | | | | | | |AO CB AO AB AC AO AB AO AC AD AB AE AC ,
又∵ O 为 ABC 内心,∴| | | | | | | | | | | |AD AB AE AC AD c AD b ,
(| | | | | |)| | 2 2
a b c BD BC CE c b aAD ,
∴ ( )( )( ) 62
c b c b aAO CB AO AB AC AO AB AO AC ,故选 C.
考点:1.三角形内心性质;2.平面向量数量积.
【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查,在解题时运用向量的运算,
数量积的几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件,常利用数形结
合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化,一般会与函数,不等式等
几个知识点交汇,或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势.
13.B
【解析】
试题分析: cos 3a b a b C ,解得
2
1cos C ,所以 060C ,故选 B.
考点:平面向量数量积的应用.
14.C
【解析】
试 题 分 析 : 由 cos 3 cos cosb C a B c B , 根 据 正 弦 定 理 可 得
sin cos 3sin cos sin cosB C A B C B ,
1sin 3sin cos sin , cos 3B C A B A B ; 再 根 据 2BA BC , 得
cos 2c a B , 6ac ,所以 ABC 的面积为 1 sin 2 22 ac B ,故 C 为正确答案.
考点:1、正弦定理;2、向量的数量积.
【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用,
属于中档题;由 cos 3 cos cosb C a B c B ,根据正弦定理求出 cos B 的值,进而求出sin B
的值;再根据 2BA BC ,利用两个向量的数量积的定义求得 ac 的值,最后根据面积公式
1 sin2 ac B 求出 ABC 的面积即可.
15.
6
【解析】
试题分析:如图所示,设 AB ,a AD b ,∵两个非零向量满足| | | | 2 | |a b a b a ,
则四边形 ABCD 是矩形,且 1 2 3 6
AB cos BAC BAC OAB OADAC
, , .
而向量b
与 a b 的夹角即为 OAD ,故向量b
与 a b 的夹角为
6
考点:向量的夹角的计算
16. (2, )
【解析】
试题分析:由题意, 2CT CM CN
,设 ,CM CN
夹角为 ,对CT aCM bCN
两 边 平 方 , 整 理 得
2 22 2 2 24 4 2 4 1 12 o 11 c sa abCM CN cos a b ab ba ab b
,可得到
1 1, 1 1a b a b a b 或 ,以为 a 横坐标, b 为纵坐标,表示出满足上面条件的平
面 区 域 . 如 图 阴 影 部 分 所 示 , 则
3 2
22 2 22 1 1 12 1 1a ab ab b b ba b b a ba a a
,
它表示点 ,a b 到点 0, 1 的距离的平方及点 ,a b 与点 0, 1 连线斜率的和,由可行域
可 知 当 点 ,a b 位 于 点 1,0 时 取 到 最 小 值 2 , 但 由 题 意 ,a b 为 正 实 数 , 故
3 2 2 1a ab ab b
a
的取值范围为 (2, )
【名师点睛】本题主要考查向量的运算,简单的线性规划,及目标函数的实际意义等知识,
属难题.解题时由两个难点,一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义,
需要一定的数学功底.
考点:
17.2
【解析】
试题分析: cos , =2 cos 2 23a c a c a c c c
考点:向量的运算
18. 53
【解析】
试题分析:以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系,设正方形边长为 2 个单
位 , 则 (1,1), ( ,1), ( , 1), [ 1,1]B M m N m m , 因 此
2 2
2 2
4 4
(1 ) 4
MN my BN m
, 由
2
2 2
8( 4 1) 0[(1 ) 4]
m my m
得 5 2 5 2( )m m 或 舍 ,因此函数在 ( 5 2,1) 单调增,在
( 1, 5 2) 单调减,即 5 2m 时,函数取最小值 53
y
x
CND
A M B
O
考点:利用导数求函数最值
【思路点睛】
函数最值存在的两条定论
1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端
点取到.不单调时,利用导数探求极值点,为函数取最值的可疑点.
2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.“单峰”利用导数探求.
19. 3
【解析】
试题分析: 2 2
2 , 2 2 0, 2 0 2a b a b a b a b a b a b a b a b ,
因此 1cos , .2 3| || |
a b
a b
考点:向量夹角
20. 4 6 l3
【解析】
试题分析:由题意得 4, 2AB CD
( ) ( )AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF BE CF
| | | | cos120 | | | | | | | | | || |cos60AB BC BE BC AB CF BE CF
21 1 1 14 2 ( ) 2 4 (1 ) 2 2 (1 ) 22 2 2 2
4 413 6 13 2 6
4 6 l3 ,当且仅
6= 3
当时取等号,即 AE
·BF
的最小值为 4 6 l3
考点:向量数量积,基本不等式求最值
21. 1[ 1, )2
【解析】
试题分析:如图,以 A 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系,则 1 3(1,0), ( , )2 2B C ,设
( , )M x y , ( , ) (1,0) 0AM AB x y x ,由 1CM 得 2 21 3( ) ( ) 12 2x y ,所以
1 02 x ,所以 1 3 1( , ) (1,0)2 2 2CM AB x y x 1[ 1, )2
.
考点:向量的数量积,数量积的坐标运算.
【名师点睛】1.在解决具体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便.在解有关三角形
的问题时,可以不去特意选择两个基本向量,而可以用三边所在的三个向量,最后可以根据
需要任意留下两个即可,这样思考问题要简单得多.
2.平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA
= a
,点 A 的位置被 a
所唯一确定,此时 a
的坐标与点 A 的坐标都是(x,y).向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应
的,即向量(x,y) 向量OA
点 A(x,y).要把点的坐标与向量的
坐标区分开,相等的向量坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,也不能认为向量的
坐标是终点的坐标,如 A(1,2),B(3,4),则 AB
=(2,2).
3.用坐标法解向量问题,可以把几何问题代数化,用函数思想研究几何问题,可以减少思
维量,降低难度.
22. ( , 2)
【解析】
试题分析:因为 a
与 a b 的方向相反,所以 a
与b
共线,且方向相反.设 ( , )b ka k k
( 0k ), 又 (1 ,1 )a b k k 与 a
方 向 相 反 , 所 以 1 0k , 1k , 所 以
2 2a b k k k .
考点:向量的数量积,共线向量,数量积的坐标运算.
23. 2 .
【解析】
试题分析:设 AD a ,CB b ,DC c ,∵ 2AB ,∴ 2 2 2 2| | 4a b c a b c
2( ) 4a b b c c a , 又 ∵ 3AC BD , ∴
2( ) ( ) 3 3a c b c a b b c c a c ,
∴ 2 2 2 2 2 2 22(3 )=4 2a b c c c a b ,∴
2 2 2 2 2 21 1
a b ab
ab ab
,当且仅当
a b 时,等号成立,即
2
1
c
ab
的最小值是 2 .
考点:1.空间向量的数量积;2.不等式求最值.
【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查,在解题时运用向量的运算,数
量积的几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件,将问题简化,一
般会与函数,不等式等几个知识点交汇,或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试
命题的趋势.
24.(1)
2 2
14 3
x y ;(2) max 4k , min 3k .
【解析】
试题分析:(1)根据题意知| | | | | | | | 4 2PA PB PA PM ,所以 P 的轨迹是以 ,A B 为
焦点的椭圆,且 2 4,2 2a c ,所以轨迹的方程为
2 2
14 3
x y ;(2)设点 0 0( , )P x y 则
2 2
0 0 14 3
x y ,根据两点之间的距离公式得: 2 2 2 2
0 0 0 0( 1) ( 1)k x y x y ,化简
得: 2
0
14 4k x ,又有椭圆的范围知 02 2x ,求函数的最值.
试题解析:(1)∵| | | | | | | | 4PA PB PA PM ;又| | 2AB ,
∴ P 的轨迹是以 ,A B 为焦点的椭圆,
∵ 2 4,2 2a c ,∴ 2 2 2 3b a c ,
所求轨迹方程为
2 2
14 3
x y .
(2)解:设点 0 0( , )P x y 则
2 2
0 0 14 3
x y
2 2 2 2
0 0 0 0( 1) ( 1)k x y x y 0( 2 2)x
2 2
0 0 0 0
1 12 4 2 44 4x x x x 0 0
1 1(2 )(2 )2 2x x 2
0
14 4 x
0 max0 4x k 当 时, 0 min2 3x k 当 时,
考点:1、椭圆的定义;2、椭圆的标准方程;3、两点间距离;4、二次函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性
质,两点间距离,二次函数求最值,属于中档题题.求点的轨迹时,可以根据某些曲线的定
义先确定轨迹,再求其轨迹方程,在利用二次函数求最值的过程中,一定要分析自变量的取
值范围,否则容易产生错误.
25.(1) 4 77
;(2)3.
【解析】
试题分析:(1)根据条件,采取化角的策略,由正弦定理得: ² sin B sinAsinC ,又
3cos 4B ,所以 7
4sin A C sinB ( ) ,所以 7 4 sin A C sinAsinC ( )= ,展开两边
同除以 sinAsinC 即可;(2)因为 BA
· 3
2BC , 3cos 4B ,所以 3 3
4 2ac cosB ac ,
则 ² 2b ac ,由余弦定理得
2 2 2
cos 2
a c bB ac
2 2 22 ( ) 2 2 3
4 4 4
a c a c ac ,所以 ² 9a c ( ) , 3a c .
试题解析:(1) ² ² b ac sin B sinAsinC
3 7 4 4cosB B sin A C sinB 且 为三角形内角 ( )
∴ 1 1 cos cos 4 7tan tan sin sin 7
A C
A C A C
(2)∵ BA
· 3
2BC , cosB 3
4
∴ ac cosB 3
4 ac 3
2
,
则 ² 2b ac
∴
2 2 2 2 2 22 ( ) 2 2 3cos 2 4 4 4
a c b a c a c acB ac
∴ ² 9a c ( ) , 3a c
考点:1、正弦定理;2、余弦定理;3、两角和正弦公式;4、数量积公式.
26. 2016
2017
【解析】
试 题 分 析 : 由 题 意 可 得 90 n 是 直 线 nOA 的 倾 斜 角 ,
90 1 1 19090
( )
( ) 1 1
n n
n
n n
f ncos sin tansin cos n n n n n
( ) ,
∴
20161 2
1 2 2016
coscos cos 1 1 1 1 1 1 20161 ... 1sin sin sin 2 2 3 2016 2017 2017 2017
.
考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算
27.(1) 22cos sin 2x x 20
13
;(2)
2
1,2
2)( 的值域为xf
【解析】
试题分析:(1)利用向量平行的坐标运算,同角三角函数间的关系,得到tanx 的值,然后
化简 22 2cos x sin x 即可
(2)先表示出 bbaxf )()( 2 22 4sin x
,再根据 x 的范围求出函数 f x( )的
最大值及最小值.
试题解析:(1) ||a b
,∴ 3 cos sin 02 x x ,∴ 3tan 2x
2
2
2 2 2
2cos 2sin cos 2 2tan 202cos sin 2 sin cos 1 tan 13
x x x xx x x x x
.
(2) 1(sin cos , )2a b x x
2( ) ( ) sin(2 )2 4f x a b b x
∵ 02 x ,∴ 3 24 4 4x ,∴ 21 sin(2 )4 2x
∴ 2 1( )2 2f x ∴函数
2
1,2
2)( 的值域为xf .
考点:正弦函数的性质
28.(1) 253 22 yx , )2,0(,8,0 DB (2)共线
【解析】
试题分析:(1)利用四边形 ABCD面积得直径 10BD ,因而半径为 5,利用弦 AC=8 可求
得圆心 M 到直线 AC 距离为 3,即圆心 3,0M ,方程为 253 22 yx ,可得圆在 y 轴上
的交点 )2,0(,8,0 DB (2)判断三点 HGO 、、 是否共线,一般利用斜率进行判定,即判
断 OG OHk k 是 否 成 立 , 而 OHAB , 因 此 只 需 判 断 1OG ABk k 是 否 成 立 , 设
0,0,,00, dDcCbBaA ,,, .则转化为判断 bd ac 是否成立:对于圆 M 的一般方
程 022 FEyDXyx ,a,c 为 02 FDXx 两根,b,d 为 02 FEyy 两
根,从而由韦达定理得 ac F bd ,因此三点共线.
试题解析:解:(1)不难发现,对角线互相垂直的四边形 ABCD面积 2
BDACS
,因
为 8,40 ACS 可得 10BD .
又 因为 0AB AD , 所以 A 为 直角 , 而因 为 四 边形 是 圆 M 的 内接 四 边形 , 故
5,102 rrBD , 连 接 MA , 求 得 3MO , 所 以 3,0M , 故 圆 M 的 方 程 为
253 22 yx ,
令 28,0 或yx ,求得 )2,0(,8,0 DB
证:设四边形四个顶点的坐标分别为 0,0,,00, dDcCbBaA ,,, .
则可得点G 的坐标为
2,2
dc
,即
2,2
dcOG
又 ,AB a b ,且 OHAB ,故使 HOG 、、 共线,只需证 0AB OG 即可
而
2
bd acAB OG ,且对于圆 M 的一般方程 022 FEyDXyx ,
当 0y 时,可得 02 FDXx ,其中方程的两根分别为点 A 和点C 的横坐标,
于是有 Facxx CA .
同理,当 0x 时,可得 02 FEyy ,其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐标,
于是有 Fbdyy DB ,所以, 02
bd acAB OG ,即 OGAB ,
故 HOG 、、 必定三点共线
考点:圆的方程,直线与圆位置关系
29.(1) 2 2OP ;(2) 的最大值为 1.
【解析】
试题分析:(1)直接求出向量的坐标,即可计算模的大小;(2)由向量相等的定义可得 , ,
试 题 解 析 :( 1 ) 由 已 知 (1,2), (2,1)AB AC , 所 以 2 2 (2,2)3 3OP AB AC ,
2 2OP ,
( 2 ) 由 已 知 得 (1,2) (2,1) ( 2 ,2 )OP , ∴ 2
2
x
y
,
1 (2 )3
1 (2 )3
y x
x y
,
∴ y x .由简单线性规划的思想可得 的最大值为 1.
考点:向量的坐标运算,向量的相等,简单线性规划.
30.(1)
22
14 3
yx ;(2) 13[ 4 )4
, ;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由题意得可得 1c ,由椭圆的定义可求得 2a ,再由 , ,a b c 的关系,可得
到椭圆的标准方程;(2)设直线 PB 的方程为 ( 4)y k x ,代入椭圆的方程,运用韦达定理,
以及向量的数量积的坐标表示、化简整理,由不等式的性质,即可得所求范围;(3)求得 E
的坐标,以及直线 AE 的方程,令 0y ,运用韦达定理,即可得到所求定点.
试题解析:(1)椭圆的方程为
22
14 3
yx
(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 ( 4)y k x
由 22
( 4)
14 3
y k x
yx
得:
2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k
由 2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0k k k 得: 2 1
4k
设 A(x1,y1),B (x2,y2),则
2 2
1 2 1 22 2
32 64 12
4 3 4 3
k kx x x x
k k
, ①
∴ 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 ( ) 16y y k x k x k x x k x x k
∴
2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
64 12 32 87(1 ) 4 16 25
4 3 4 3 4 3
k kOA OB x x y y k k k
k k k
∵ 2 10 4k ≤ ,∴ 2
87 87 87
3 44 3k
≤ ,∴ 13[ 4 )4OA OB ,
∴OA OB 的取值范围是 13[ 4 )4
, .
(3)证:∵B、E 两点关于 x 轴对称,∴E(x2,-y2)
直线 AE 的方程为 1 2
1 1
1 2
( )y yy y x xx x
,令 y = 0 得: 1 1 2
1
1 2
( )y x xx x y y
又 1 1 2 2( 4) ( 4)y k x y k x , ,∴ 1 2 1 2
1 2
2 4( )
8
x x x xx x x
由将①代入得:x = 1,∴直线 AE 与 x 轴交于定点(1,0).
考点:椭圆的简单几何性质及其应用;直线与圆锥曲线的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法,椭圆的简单的几何性质及其应用,直
线与圆锥曲线的综合应用,着重考查了直线方程和椭圆联立,运用韦达定理,以及化简整理
的运算能力,属于中档性试题,本题的解答中,把直线方程 ( 4)y k x 代入椭圆的方程,
得二次方程 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k ,把向量OA OB 的运算转化为二次方程韦达定
理的应用,是解答此类问题的关键,同时此类问题的运算量较大,需要认真审题、细致计算
也是解答的一个易错点.
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