浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法课件 35页

第 1 节　不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法 考试要求　 1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 ( 组 ) 的实际背景； 2. 会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型； 3. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 4. 会解一元二次不等式． 知 识 梳 理 1 . 两个实数比较大小的方法 ＞ ＜ ＞ ＜ 2 . 不等式的性质 (1) 对称性： a ＞ b ⇔ b ＜ a ； (2) 传递性： a ＞ b ， b ＞ c ⇒ a ＞ c ； (3) 可加性： a ＞ b ⇔ a ＋ c ____ b ＋ c ； a ＞ b ， c ＞ d ⇒ a ＋ c ____ b ＋ d ； (4) 可乘性： a ＞ b ， c ＞ 0 ⇒ ac ____ bc ； a ＞ b ＞ 0 ， c ＞ d ＞ 0 ⇒ ac ____ bd ； (5) 可乘方： a ＞ b ＞ 0 ⇒ a n ____ b n ( n ∈ N ， n ≥ 1) ； ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ 3 . 三个 “ 二次 ” 间的关系 判别式 Δ ＝ b 2 － 4 ac Δ ＞ 0 Δ ＝ 0 Δ ＜ 0 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ＞ 0) 的图象 { x | x ＞ x 2 或 x ＜ x 1 } R { x | x 1 ＜ x ＜ x 2 } ∅ ∅ [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 倒数性质 2. 有关分数的性质 若 a ＞ b ＞ 0 ， m ＞ 0 ，则 (1) 真分数的性质 (2) 假分数的性质 3. 对于不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 ，求解时不要忘记讨论 a ＝ 0 时的情形 . 4. 当 Δ <0 时， ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) 的解集为 R 还是  ，要注意区别 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) a ＞ b ⇔ ac 2 ＞ bc 2 .( 　　 ) (2) 若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，则必有 a ＞ 0.( 　　 ) (3) 若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ＜ 0) 没有实数根，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 R .( 　　 ) (4) 不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ 0 在 R 上恒成立的条件是 a ＜ 0 且 Δ ＝ b 2 － 4 ac ≤ 0.( 　　 ) 解析　 (1) 由不等式的性质， ac 2 ＞ bc 2 ⇒ a ＞ b ；反之， c ＝ 0 时， a ＞ b ac 2 ＞ bc 2 . (3) 若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a <0) 没有实根 . 则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 的解集为 ∅ . (4) 当 a ＝ b ＝ 0 ， c ≤ 0 时，不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ 0 也在 R 上恒成立 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. 若 a ＞ b ＞ 0 ， c ＜ d ＜ 0 ，则一定有 ( 　　 ) 答案　 B 答案　 A 答案　 ( － ∞ ， 0) 答案　－ 12 　－ 2 6. ( 必修 5P80A3 改编 ) 若关于 x 的一元二次方程 x 2 － ( m ＋ 1) x － m ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________. 解析　 由题意知 Δ ＝ [ － ( m ＋ 1)] 2 ＋ 4 m ＞ 0. 即 m 2 ＋ 6 m ＋ 1 ＞ 0 ， 考点一　比较大小及不等式的性质的应用 【例 1 】 (1) 已知实数 a ， b ， c 满足 b ＋ c ＝ 6 － 4 a ＋ 3 a 2 ， c － b ＝ 4 － 4 a ＋ a 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( 　　 ) A. c ≥ b > a B. a > c ≥ b C. c > b > a D. a > c > b (2) 已知非负实数 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，则 ( c － a )( c － b ) 的取值范围为 ________. 解析　 (1) ∵ c － b ＝ 4 － 4 a ＋ a 2 ＝ (2 － a ) 2 ≥ 0 ， ∴ c ≥ b . 又 b ＋ c ＝ 6 － 4 a ＋ 3 a 2 ， ∴ 2 b ＝ 2 ＋ 2 a 2 ， ∴ b ＝ a 2 ＋ 1 ， ∴ b > a ， ∴ c ≥ b > a . 规律方法 　 (1) 比较大小常用的方法： ① 作差法； ② 作商法； ③ 函数的单调性法 . (2) 判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除 . 答案　 (1)A 　 (2)B 考点二　一元二次不等式的解法 角度 1 　不含参的不等式 【例 2 － 1 】 求不等式－ 2 x 2 ＋ x ＋ 3<0 的解集 . 解 　化－ 2 x 2 ＋ x ＋ 3<0 为 2 x 2 － x － 3>0 ， 多维探究 角度 2 　含参不等式 【例 2 － 2 】 解关于 x 的不等式 ax 2 － 2 ≥ 2 x － ax ( a ∈ R ). 解 　原不等式可化为 ax 2 ＋ ( a － 2) x － 2 ≥ 0. ① 当 a ＝ 0 时，原不等式化为 x ＋ 1 ≤ 0 ，解得 x ≤ － 1. 当 a ＝－ 2 时，不等式的解集为 { － 1} ； 规律方法 　含有参数的不等式的求解，往往需要比较 ( 相应方程 ) 根的大小，对参数进行分类讨论： (1) 若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3) 其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集 . 【训练 2 】 (1) ( 角度 1)(2019· 天津卷 ) 设 x ∈ R ，使不等式 3 x 2 ＋ x － 2<0 成立的 x 的取值范围为 ________. (2) 已知不等式 x 2 － 2 x － 3 ＜ 0 的解集为 A ，不等式 x 2 ＋ x － 6<0 的解集为 B ，不等式 x 2 ＋ ax ＋ b ＜ 0 的解集为 A ∩ B ，则 a ＋ b ＝ ( 　　 ) A. － 3 B.1 C. － 1 D.3 (2) 由题意得 A ＝ { x | － 1 ＜ x ＜ 3} ， B ＝ { x | － 3 ＜ x ＜ 2} ，所以 A ∩ B ＝ { x | － 1 ＜ x ＜ 2} ，由题意知－ 1 ， 2 为方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 的两根，由根与系数的关系可知 a ＝－ 1 ， b ＝－ 2 ，则 a ＋ b ＝－ 3. 考点三　一元二次不等式的恒成立问题 角度 1 　在 R 上恒成立 多维探究 解之得－ 3 ＜ k ＜ 0. 答案 　 D 角度 2 　在给定区间上恒成立 【例 3 － 2 】 ( 一题多解 ) 设函数 f ( x ) ＝ mx 2 － mx － 1( m ≠ 0) ，若对于 x ∈ [1 ， 3] ， f ( x ) ＜－ m ＋ 5 恒成立，则 m 的取值范围是 ________. 解析 　要使 f ( x ) ＜－ m ＋ 5 在 [1 ， 3] 上恒成立， 则 mx 2 － mx ＋ m － 6 ＜ 0 ， 有以下两种方法： 当 m ＞ 0 时， g ( x ) 在 [1 ， 3] 上是增函数， 所以 g ( x ) max ＝ g (3) ＝ 7 m － 6 ＜ 0. 当 m ＜ 0 时， g ( x ) 在 [1 ， 3] 上是减函数， 所以 g ( x ) max ＝ g (1) ＝ m － 6 ＜ 0. 所以 m ＜ 6 ，所以 m ＜ 0. 角度 3 　给定参数范围的恒成立问题 【例 3 － 3 】 已知 a ∈ [ － 1 ， 1] 时，不等式 x 2 ＋ ( a － 4) x ＋ 4 － 2 a ＞ 0 恒成立，则 x 的取值范围为 ( 　　 ) A.( － ∞ ， 2) ∪ (3 ，＋ ∞ ) B.( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) D.(1 ， 3) 解析 　把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f ( a ) ＝ ( x － 2) a ＋ x 2 － 4 x ＋ 4 ， 则由 f ( a ) ＞ 0 对于任意的 a ∈ [ － 1 ， 1] 恒成立， 所以 f ( － 1) ＝ x 2 － 5 x ＋ 6 ＞ 0 ， 答案　 C 规律方法 　恒成立问题求解思路 (1) 一元二次不等式在 R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解 . (2) 一元二次不等式 f ( x ) ≥ 0 在 x ∈ [ a ， b ] 上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性求其最小值，让最小值大于等于 0 ，从而求参数的范围 . (3) 一元二次不等式对于参数 m ∈ [ a ， b ] 恒成立确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1) 若不等式 x 2 － 2 x ＋ 5 ≥ a 2 － 3 a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.[ － 1 ， 4] B.( － ∞ ，－ 2] ∪ [5 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 1] ∪ [4 ，＋ ∞ ) D.[ － 2 ， 5] (2) ( 角度 2) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ mx － 1 ，若对于任意 x ∈ [ m ， m ＋ 1] ，都有 f ( x ) ＜ 0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________. 解析 　 (1) 由于 x 2 － 2 x ＋ 5 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 4 的最小值为 4 ，所以 x 2 － 2 x ＋ 5 ≥ a 2 － 3 a 对任意实数 x 恒成立，只需 a 2 － 3 a ≤ 4 ，解得－ 1 ≤ a ≤ 4. (2) 二次函数 f ( x ) 对于任意 x ∈ [ m ， m ＋ 1] ， 都有 f ( x ) ＜ 0 成立，