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- 2021-06-16 发布
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第二节 直线的交点与距离公式
最新考纲
考情分析
1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.
1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离.
2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查,有时也会命制新定义题目.
3.题型以选择题、填空题为主,属于中低档题.
知识点一 两条直线平行与垂直的判定
知识点二 两条直线的交点
知识点三 三种距离
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式且x,y
的系数对应相等.
1.思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若两条直线的方程组成的方程组有解,则两条直线相交.( × )
(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )
(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( √ )
(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ )
解析:(1)当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.
(2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即点P到直线的距离为.
(3)因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离.
(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.
(5)根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB,所以直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.
2.小题热身
(1)已知直线(k-3)x+(4-k)y+1=0与2(k-3)x-2y+3=0平行,那么k的值为( C )
A.1或3 B.1或5
C.3或5 D.1或2
解析:法1:把k=1代入已知两条直线,得-2x+3y+1=0与-4x-2y+3=0,此时两条直线的斜率不相等,所以两条直线不平行,所以k≠1,排除A,B,D.
法2:因已知两条直线平行,所以k=3或
解得k=3或k=5.
(2)直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( D )
A.-3 B.-
C.2 D.3
解析:由2a+2×(-3)=0,得a=3.
(3)直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为.
解析:由得代入y=ax-2得a=.
(4)点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是(-b-1,-a-1).
解析:设对称点的坐标为(x0,y0),
则即
解之得即对称点坐标为(-b-1,-a-1).
(5)直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是.
解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,则两平行线间的距离为d==.
考点一 两条直线的平行与垂直问题
【例1】 (1)已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a等于( )
A.-1 B.2
C.0或-2 D.-1或2
(2)已知两直线方程分别为l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若l1⊥l2,则a=________.
【解析】 (1)若a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0;
当a≠0时,两直线平行,则有=≠,解得a=-1或2.
(2)因为l1⊥l2,所以k1k2=-1.即(-1)·=-1,解得a=-2.
【答案】 (1)D (2)-2
方法技巧
(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
1.若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为( D )
A. B. C. D.
解析:由已知得3(a-1)+a=0,解得a=.
2.已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0平行,则2a+3b的最小值为25.
解析:由两直线平行可得,a(b-3)=2b,即2b+3a=ab,+=1.又a,b为正数,所以2a+3b=(2a+3b)·=13++≥13+2=25,当且仅当a=b=5时取等号,故2a+3b的最小值为25.
考点二 两直线的交点与距离问题
【例2】 (1)求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程为________.
(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.
(3)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________.
【解析】 (1)先解方程组
得l1,l2的交点坐标为(-1,2),
再由l3的斜率求出l的斜率为-,
于是由直线的点斜式方程求出l:
y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.
(2)由题意得,点P到直线的距离为
=.
又≤3,即|15-3a|≤15,
解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].
(3)依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间距离为,所以=,解得c=2或-6.
【答案】 (1)5x+3y-1=0 (2)[0,10]
(3)2或-6
方法技巧
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.
1.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是( A )
A.- B.
C.- D.
解析:由题意,设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x
-y-7=0联立解得M,N.又因为MN的中点是P(1,-1),所以由中点坐标公式得k=-.
2.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )
A. B.
C. D.
解析:因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.
3.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解析:解法1:设P(x,x+),x>0,则点P到直线x+y=0的距离d==≥=4,当且仅当2x=,即x=时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解法2:由y=x+(x>0)得y′=1-,令1-=-1,得x=,则当点P的坐标为(,3)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为=4.
考点三 对称问题
命题方向1 点关于点对称
【例3】 (1)点M(m,-1)关于点N(-2,n)的对称点为P(4,-5),则( )
A.m=-3,n=8 B.m=3,n=-8
C.m=-3,n=-8 D.m=-8,n=-3
(2)直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是________.
【解析】 (1)因为点M,P关于点N对称,所以由中点坐标公式可知-2=,即m=-8,n==-3,故选D.
(2)方法1:设对称的直线上的一点的坐标为(x,y),则其关于点M(-2,1)对称的点的坐标为(-4-x,2-y).∵(-4-x,2-y)在直线x-2y-3=0上,∴(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.
方法2:根据对称性知对称直线与已知直线平行,因此可设对称直线的方程为x-2y+λ=0(λ≠-3),则点M到两条直线的距离相等,即=,解得λ=11,所以所求的直线方程为x-2y+11=0.
【答案】 (1)D (2)x-2y+11=0
命题方向2 点关于线对称
【例4】如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.3 B.6
C.2 D.2
【解析】 直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2.
【答案】 C
命题方向3 直线关于直线对称
【例5】 直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是________.
【解析】 设所求直线上任意一点P(x,y),
则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
由得
由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
∴2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
【答案】 x-2y+3=0
方法技巧
(2)轴对称
①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A′(m,n),则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1.(方向2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n等于( A )
A. B. C. D.
解析:由已知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是
解得所以m+n=.
2.(方向2)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为6x-y-6=0.
解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,所以
解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.
3.(方向1)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为x+4y-4=0.
解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.