高二数学人教a必修5练习：2-5等比数列的前n项和（一）word版含解析 4页

§2.5 等比数列的前 n 项和(一) 课时目标 1．掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法． 2．会用等比数列前 n 项和公式解决一些简单问题． 1．等比数列前 n 项和公式： (1)公式：Sn＝ a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q q≠1 na1 q＝1 . (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略 q＝1 的情况． 2．若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝ a1 1－q(1－qn)＝A(qn－1)．其中 A＝ a1 q－1 . 3．推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等 比数列对应项积的前 n 项和． 一、选择题 1．设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则S5 S2 等于( ) A．11 B．5 C．－8 D．－11 答案 D 解析 由 8a2＋a5＝0 得 8a1q＋a1q4＝0， ∴q＝－2，则S5 S2 ＝a11＋25 a11－22 ＝－11. 2．记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝2，S6＝18，则S10 S5 等于( ) A．－3 B．5 C．－31 D．33 答案 D 解析 由题意知公比 q≠1，S6 S3 ＝ a11－q6 1－q a11－q3 1－q ＝1＋q3＝9， ∴q＝2，S10 S5 ＝ a11－q10 1－q a11－q5 1－q ＝1＋q5 ＝1＋25＝33. 3．设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则S4 a2 等于( ) A．2 B．4 C.15 2 D.17 2 答案 C 解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2 q ＋a2＋a2q＋a2q2， 得S4 a2 ＝1 q ＋1＋q＋q2＝15 2 . 方法二 S4＝a11－q4 1－q ，a2＝a1q， ∴S4 a2 ＝ 1－q4 1－qq ＝15 2 . 4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和，已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5 等 于( ) A.15 2 B.31 4 C.33 4 D.17 2 答案 B 解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且 a2a4＝1， ∴设{an}的公比为 q，则 q>0，且 a23＝1，即 a3＝1. ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝ 1 q2 ＋1 q ＋1＝7， 即 6q2－q－1＝0. 故 q＝1 2 或 q＝－1 3(舍去)， ∴a1＝ 1 q2 ＝4. ∴S5＝ 41－ 1 25 1－1 2 ＝8(1－ 1 25)＝31 4 . 5．在数列{an}中，an＋1＝can(c 为非零常数)，且前 n 项和为 Sn＝3n＋k，则实数 k 的值为 ( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案 C 解析 当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋k， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k) ＝3n－3n－1＝2·3n－1. 由题意知{an}为等比数列，所以 a1＝3＋k＝2， ∴k＝－1. 6．在等比数列{an}中，公比 q 是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前 8 项和 为( ) A．514 B．513 C．512 D．510 答案 D 解析 由 a1＋a4＝18 和 a2＋a3＝12， 得方程组 a1＋a1q3＝18 a1q＋a1q2＝12 ，解得 a1＝2 q＝2 或 a1＝16 q＝1 2 . ∵q 为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝228－1 2－1 ＝29－2＝510. 二、填空题 7．若{an}是等比数列，且前 n 项和为 Sn＝3n－1＋t，则 t＝________. 答案 －1 3 解析 显然 q≠1，此时应有 Sn＝A(qn－1)， 又 Sn＝1 3·3n＋t，∴t＝－1 3. 8．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________. 答案 3 解析 S6＝4S3⇒a11－q6 1－q ＝4·a11－q3 1－q ⇒q3＝3(q3＝1 不合题意，舍去)． ∴a4＝a1·q3＝1×3＝3. 9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前 n 项和为 Sn＝－341，则 n 的值是________． 答案 10 解析 Sn＝a1－anq 1－q ，∴－341＝1＋512q 1－q ， ∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1， ∴n＝10. 10．如果数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an－1，则此数列的通项公式 an＝________. 答案 2n－1 解析 当 n＝1 时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1) ∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列， ∴an＝2n－1，n∈N*. 三、解答题 11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求 n 和 q. 解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组 a1an＝128， a1＋an＝66， 得 a1＝64， an＝2， ① 或 a1＝2， an＝64. ② 将①代入 Sn＝a1－anq 1－q ，可得 q＝1 2 ， 由 an＝a1qn－1 可解得 n＝6. 将②代入 Sn＝a1－anq 1－q ，可得 q＝2， 由 an＝a1qn－1 可解得 n＝6.故 n＝6，q＝1 2 或 2. 12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)． 解 分 x＝1 和 x≠1 两种情况． (1)当 x＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1 2 . (2)当 x≠1 时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn 1－x －nxn＋1. ∴Sn＝x1－xn 1－x2 －nxn＋1 1－x . 综上可得 Sn＝ nn＋1 2 x＝1 x1－xn 1－x2 －nxn＋1 1－x x≠1 且 x≠0 . 能力提升 13．已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，Sn＝54，S2n＝60，求 S3n. 解 方法一 由题意 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列， ∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝182 3 . 方法二 由题意得 a≠1，∴Sn＝a11－qn 1－q ＝54 ① S2n＝a11－q2n 1－q ＝60 ② 由②÷①得 1＋qn＝10 9 ， ∴qn＝1 9 ，∴ a1 1－q ＝9×54 8 ， ∴S3n＝a11－q3n 1－q ＝9×54 8 (1－ 1 93)＝182 3 . 14．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋2－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝an·log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4， n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1， 当 n＝1 时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，n∈N*. (2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1， ∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ① 2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. ② ②－①得， Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2 ＝－23－231－2n－1 1－2 ＋(n＋1)·2n＋2 ＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2 ＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1 ＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2. 1．在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中 首项 a1 和公比 q 为基本量，且“知三求二”． 2．前 n 项和公式的应用中，注意前 n 项和公式要分类讨论，即 q≠1 和 q＝1 时是不同 的公式形式，不可忽略 q＝1 的情况． 3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为 q，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减的方法求和．