高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1 变化率与导数全册课堂导学全文 word版含答案 135页

1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 [学习目标] 1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． [知识链接] 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数 学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数关系是 r(V)＝ 3 3V 4π ， (1)当 V从 0增加到 1 L时，气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r1－r0 1－0 ≈0.62(dm/L)． (2)当 V从 1 L增加到 2 L时，气球半径增加了 r(2)－r(1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r2－r1 2－1 ≈0.16(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． [预习导引] 1．函数的变化率 定义 实例 平均 变化率 函数 y＝f(x)从 x1到 x2的平均变化率为 fx2－fx1 x2－x1 ，简记作： Δy Δx ①平均速度；②曲线割线的斜率 瞬时 变化率 函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0到 x0 ＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝ limΔx→0 Δy Δx . ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜 率 2.函数 f(x)在 x＝x0处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率 limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx 称为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0， 即 f′(x0)＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . 要点一 求平均变化率 例 1 已知函数 h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从 x＝1到 x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数 h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时， Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当Δx＝1时， Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当Δx＝0.1时， Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当Δx＝0.01时， Δy Δx ＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. (2)当|Δx|越来越小时，函数 f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率 Δy Δx ＝ fx2－fx1 x2－x1 . 跟踪演练 1 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 解 函数 y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fx0＋Δx－fx0 x0＋Δx－x0 ＝ [3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2 Δx ＝ 6x0·Δx＋3Δx2 Δx ＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1时，函数 y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二 物体运动的瞬时速度 例 2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)之间的关系式为 h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，求运动员在 t＝65 98 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 解 令 t0＝65 98 ，Δt为增量．则 ht0＋Δt－ht0 Δt ＝ －4.9× 65 98 ＋Δt 2＋6.5× 65 98 ＋Δt ＋10 Δt ＋ 4.9× 65 98 2－6.5×65 98 －10 Δt ＝ －4.9Δt 65 49 ＋Δt ＋6.5Δt Δt ＝－4.9 65 49 ＋Δt ＋6.5， ∴limΔt→0 ht0＋Δt－ht0 Δt ＝limΔt→0 －4.9 65 49 ＋Δt ＋6.5 ＝0， 即运动员在 t0＝65 98 s时的瞬时速度为 0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处． 规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移 s与时间 t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求时间 t0到 t0＋Δt之间的平均速度 v ＝ Δs Δt ； (3)求limΔt→0 Δs Δt 的值，即得 t＝t0时的瞬时速度． 跟踪演练 2 一质点按规律 s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s时的瞬时速度为 8 m/s， 求常数 a的值． 解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴ Δs Δt ＝4a＋aΔt. 在 t＝2 s时，瞬时速度为 limΔx→0 Δs Δt ＝4a，即 4a＝8，∴a＝2. 要点三 函数在某点处的导数 例 3 求函数 f(x)＝3x2－2x在 x＝1处的导数． 解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx， ∵ Δy Δx ＝ 3Δx2＋4Δx Δx ＝3Δx＋4， ∴y′|x＝1＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 (3Δx＋4)＝4. 规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率 Δy Δx ＝ fx0＋Δx－fx0 Δx ； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝ limΔx→0 Δy Δx . 跟踪演练 3 利用导数的定义求函数 f(x)＝－x2＋3x在 x＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在 x＝2处的导数 f′(2)＝ limΔx→0 f2＋Δx－f2 Δx ，而 f(2＋Δx)－f(2) ＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx， 于是 f′(2)＝ limΔx→0 －Δx2－Δx Δx ＝ limΔx→0 (－Δx－1)＝－1. 1．如果质点 M按规律 s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 答案 B 解析 v ＝ 3＋2.12－3＋22 0.1 ＝4.1. 2．函数 f(x)在 x0处可导，则 limΔx→0 fx0＋h－fx0 h ( ) A．与 x0、h都有关 B．仅与 x0有关，而与 h无关 C．仅与 h有关，而与 x0无关 D．与 x0、h均无关 答案 B 3．已知函数 f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 Δy Δx 等于( ) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案 C 解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴ Δy Δx ＝2Δx＋4. 4．已知函数 f(x)＝ 1 x ，则 f′(1)＝________. 答案 － 1 2 解析 f′(1)＝ limΔx→0 f1＋Δx－f1 Δx ＝ limΔx→0 1 1＋Δx －1 Δx ＝ limΔx→0 －1 1＋Δx1＋ 1＋Δx ＝－ 1 2 . 利用导数定义求导数三步曲： (1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)作比求平均变化率 Δy Δx ＝ fx0＋Δx－fx0 Δx ； (3)取极限得导数 f′(x0)＝ limΔx→0 Δy Δx ， 简记为一差，二比，三极限. 一、基础达标 1．函数 y＝f(x)在 x0到 x0＋Δx之间的平均变化率 fx0＋Δx－fx0 Δx 中，Δx不可能是( ) A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．大于 0或小于 0 答案 C 2． 如图，函数 y＝f(x)在 A，B两点间的平均变化率是( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案 B 解析 Δy Δx ＝ f3－f1 3－1 ＝ 1－3 2 ＝－1. 3．如果某物体的运动方程为 s＝2(1－t2) (s的单位为 m，t的单位为 s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为( ) A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 答案 A 解析 物体运动在 1.2 s末的瞬时速度即为 s在 1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数 f(x)可导，则 limΔx→0 f1＋3Δx－f1 3Δx 等于( ) A．f′(1) B．3f′(1) C．1 3 f′(1) D．f′(3) 答案 A 解析 limΔx→0 f1＋3Δx－f1 3Δx ＝f′(1)． 5．已知函数 y＝2 x ＋3，当 x由 2变到 1.5时，函数的增量Δy＝________. 答案 1 3 解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝ 2 1.5 ＋3 － 2 2 ＋3 ＝ 4 3 －1＝1 3 . 6．一做直线运动的物体，其位移 s与时间 t的关系是 s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 答案 3 解析 v 初＝s′|t＝0＝ limΔx→0 s0＋Δt－s0 Δt ＝ limΔx→0 (3－Δt)＝3. 7．利用定义求函数 y＝－2x2＋5在 x＝2处的瞬时变化率． 解 因为在 x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为 Δy Δx ＝ －8Δx－2Δx2 Δx ＝－8－2Δx.故函数 y＝－2x2＋5在 x＝2处的瞬时变化率为 limΔx→0 (－8－2Δx)＝－8. 二、能力提升 8. 甲、乙两厂污水的排放量 W与时间 t的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 答案 B 解析 在 t0处，虽然 W1(t0)＝W2(t0)， 但是，在 t0－Δt处，W1(t0－Δt)0，对于任意实数 x，有 f(x)≥0，则 f1 f′0 的最小值为________． 答案 2 解析 由导数的定义， 得 f′(0)＝ limΔx→0 fΔx－f0 Δx ＝ limΔx→0 aΔx2＋bΔx＋c－c Δx ＝ limΔx→0 [a·(Δx)＋b]＝b＞0. 又 Δ＝b2－4ac≤0 a>0 ，∴ac≥b2 4 ，∴c>0. ∴ f1 f′0 ＝ a＋b＋c b ≥ b＋2 ac b ≥ 2b b ＝2. 11．求函数 y＝f(x)＝2x2＋4x在 x＝3处的导数． 解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ Δy Δx ＝ 2Δx2＋16Δx Δx ＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 (2Δx＋16)＝16. 12．若函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，求 a的值． 解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c ＝a(Δx)2＋2aΔx. ∴f′(1)＝ limΔx→0 f1＋Δx－f1 Δx ＝ limΔx→0 aΔx2＋2aΔx Δx ＝ limΔx→0 (aΔx＋2a)＝2a，即 2a＝2，∴a＝1. 三、探究与创新 13．已知 f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足 f′(x)＋2＝g′(x)的 x的值． 解 由导数的定义知， f′(x)＝ limΔx→0 x＋Δx2－x2 Δx ＝2x， g′(x)＝ limΔx→0 x＋Δx3－x3 Δx ＝3x2. ∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2. 即 3x2－2x－2＝0，解得 x＝1－ 7 3 或 x＝1＋ 7 3 . 1．1.3 导数的几何意义 [学习目标] 1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义． 3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接] 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象 上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是 Δy Δx ＝ fx0＋Δx－fx0 Δx . 当点 B沿曲线趋近于点 A时，割线 AB绕点 A转动，它的极限位置为直线 AD，这条直线 AD叫做此曲线在点 A处的切线．于是， 当Δx→0时，割线 AB的斜率无限趋近于过点 A的切线 AD的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝ limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . [预习导引] 1．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x＝x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的导函数 当 x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x变化时，f′(x)是 x的一个函数，称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记 作 y′，即 f′(x)＝y′＝ limΔx→0 fx＋Δx－fx Δx . 要点一 过曲线上一点的切线方程 例 1 若曲线 y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为 y＝3x＋1，求 a的值． 解 ∵y＝x3＋3ax. ∴y′＝ limΔx→0 x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax Δx ＝ limΔx→0 3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx Δx ＝ limΔx→0 [3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a. 设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)， 结合已知条件，得 3x20＋3a＝3， x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1， 解得 a＝1－ 3 2 2 ， x0＝－ 3 4 2 . ∴a＝1－ 3 2 2 . 规律方法 一般地，设曲线 C是函数 y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线 C上的定点，由导数的几何意义知 k＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程． 跟踪演练 1 求曲线 y＝1 x 在点 2，1 2 处的切线方程． 解 因为 limΔx→0 f2＋Δx－f2 Δx ＝ limΔx→0 1 2＋Δx － 1 2 Δx ＝ limΔx→0 －1 22＋Δx ＝－ 1 4 .所以这条曲线在点 2，1 2 处的切线斜率为－ 1 4 ，由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－1 2 ＝－ 1 4 (x－2)，即 x＋4y－4＝0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程 例 2 已知曲线 y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程． 解 y′＝ limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 [2x＋Δx2－7]－2x2－7 Δx ＝ limΔx→0 (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则 4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点 P(3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0， 故所求的切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)． 将 P(3,9)及 y0＝2x20－7代入上式， 得 9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)． 解得 x0＝2或 x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为 8x－y－15＝0或 16x－y－39＝0. 规律方法 若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进 而求出切线方程． 跟踪演练 2 求过点 A(2,0)且与曲线 y＝1 x 相切的直线方程． 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为 P(x0，y0)，由 y′|x＝x0＝ limΔx→0 limΔx→0 1 x0＋Δx － 1 x0 Δx ＝－ 1 x20 ， 得所求直线方程为 y－y0＝－ 1 x20 (x－x0)． 由点(2,0)在直线上，得 x20y0＝2－x0，再由 P(x0，y0)在曲线上，得 x0y0＝1，联立可解得 x0＝1，y0＝1，所求直线方程为 x＋y－ 2＝0. 要点三 求切点坐标 例 3 在曲线 y＝x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6y＋5＝0； (3)与 x轴成 135°的倾斜角． 解 f′(x)＝ limΔx→0 fx＋Δx－fx Δx ＝ limΔx→0 x＋Δx2－x2 Δx ＝2x，设 P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线 y＝4x－5平行， 所以 2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即 P(2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线 2x－6y＋5＝0垂直， 所以 2x0·13 ＝－1，得 x0＝－ 3 2 ，y0＝9 4 ， 即 P － 3 2 ， 9 4 是满足条件的点． (3)因为切线与 x轴成 135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即 2x0＝－1， 得 x0＝－ 1 2 ，y0＝1 4 ， 即 P － 1 2 ， 1 4 是满足条件的点． 规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此 点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练 3 已知抛物线 y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x＋8y－3＝0? 解 设点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴ Δy Δx ＝4x0＋2Δx. 当Δx无限趋近于零时， Δy Δx 无限趋近于 4x0. 即 f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0垂直， ∴斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)． 1．已知曲线 y＝f(x)＝2x2上一点 A(2,8)，则点 A处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 答案 C 解析 f′(2)＝ limΔx→0 f2＋Δx－f2 Δx ＝ limΔx→0 22＋Δx2－8 Δx ＝ limΔx→0 (8＋2Δx)＝8，即 k＝8. 2．若曲线 y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案 A 解析 由题意，知 k＝y′|x＝0 ＝ limΔx→0 0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b Δx ＝1，∴a＝1. 又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选 A. 3．已知曲线 y＝1 2 x2－2上一点 P 1，－ 3 2 ，则过点 P的切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135° D．165° 答案 B 解析 ∵y＝1 2 x2－2， ∴y′＝ limΔx→0 1 2 x＋Δx2－2－ 1 2 x2－2 Δx ＝ limΔx→0 1 2 Δx2＋x·Δx Δx ＝ limΔx→0 x＋1 2 Δx ＝x. ∴y′|x＝1＝1.∴点 P 1，－ 3 2 处切线的斜率为 1，则切线的倾斜角为 45°. 4．已知曲线 y＝f(x)＝2x2＋4x在点 P处的切线斜率为 16.则 P点坐标为________． 答案 (3,30) 解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)， 则 f′(x0)＝ limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝ limΔx→0 2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx Δx ＝4x0＋4， 令 4x0＋4＝16得 x0＝3，∴P(3,30)． 1．导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝ limΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ＝f′(x0)，物理意义是运动 物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数 f(x)在点 x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0) 是其导数 y＝f′(x)在 x＝x0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 y－f(x0) ＝ f′(x0)(x － x0) ； 若 已 知 点 不 在 切 线 上 ， 则 设 出 切 点 (x0 ， f(x0)) ， 表 示 出 切 线 方 程 ， 然 后 求 出 切 点. 一、基础达标 1．下列说法正确的是( ) A．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则 f′(x0)有可能存在 答案 C 解析 k＝f′(x0)，所以 f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切 线方程为 x＝x0. 2．已知 y＝f(x)的图象如图所示，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)0，且 a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a (a>0，且 a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 要点一 利用导数定义求函数的导数 例 1 用导数的定义求函数 f(x)＝2 013x2的导数． 解 f′(x)＝ limΔx→0 2 013x＋Δx2－2 013x2 x＋Δx－x ＝ limΔx→0 2 013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2 013x2 Δx ＝ limΔx→0 4 026x·Δx＋2 013Δx2 Δx ＝ limΔx→0 (4 026x＋2 013Δx) ＝4 026x. 规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx趋于 0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于 0. (3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练 1 用导数的定义求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数． 解 y′＝ limΔx→0 x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b Δx ＝ limΔx→0 x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b Δx ＝ limΔx→0 2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 Δx ＝ limΔx→0 (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. 要点二 利用导数公式求函数的导数 例 2 求下列函数的导数 (1)y＝sin π 3 ；(2)y＝5x；(3)y＝1 x3 ；(4)y＝ 4 x3；(5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0； (2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4； (4)y′＝ 4 x3 ′＝ x3 4 ′＝ 3 4 x－1 4 ＝ 3 4 4 x ； (5)y′＝(log3x)′＝ 1 xln 3 . 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择 合适的求导公式． 跟踪演练 2 求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝ 1 2 x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 3 x. 解 (1)y′＝8x7； (2)y′＝ 1 2 xln 1 2 ＝－ 1 2 xln 2； (3)∵y＝x x＝x3 2 ，∴y′＝ 3 2 x1 2 ； (4) y′＝ 1 xln 1 3 ＝－ 1 xln 3 . 要点三 利用导数公式求曲线的切线方程 例 3 求过曲线 y＝sin x上点 P π 6 ， 1 2 且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲线在点 P π 6 ， 1 2 处的切线斜率是： y′|x＝π 6 ＝cosπ 6 ＝ 3 2 . ∴过点 P且与切线垂直的直线的斜率为－ 2 3 ， 故所求的直线方程为 y－1 2 ＝－ 2 3 x－π 6 ， 即 2x＋ 3y－ 3 2 － π 3 ＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键． 跟踪演练 3 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2上的两点，求与直线 PQ平行的曲线 y＝x2的切线方程． 解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ的斜率为 k＝4－1 2＋1 ＝1，而切线平行于 PQ， ∴k＝2x0＝1，即 x0＝1 2 ，所以切点为 M 1 2 ， 1 4 . ∴所求的切线方程为 y－1 4 ＝x－1 2 ，即 4x－4y－1＝0. 1．已知 f(x)＝x2，则 f′(3)＝( ) A．0 B．2x C．6 D．9 答案 C 解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( ) A. 3 6 B．0 C． 1 2 x D． 3 2 答案 A 解析 ∵f′(x)＝( x)′＝ 1 2 x ，∴f′(3)＝ 1 2 3 ＝ 3 6 . 3．设正弦曲线 y＝sin x上一点 P，以点 P为切点的切线为直线 l，则直线 l的倾斜角的范围是( ) A. 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π B．[0，π) C． π 4 ， 3π 4 D． 0，π 4 ∪ π 2 ， 3π 4 答案 A 解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈ 0，π 4 ∪ 3π 4 ，π . 4．曲线 y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 1 2 e2 解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为 y－e2＝e2(x－2)， 即 y＝e2x－e2.当 x＝0时，y＝－e2，当 y＝0时，x＝1. ∴S△＝ 1 2 ×1×|－e2|＝1 2 e2. 1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的 结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 如求 y＝1－2sin2 x 2 的导数．因为 y＝1－2sin2x 2 ＝cos x， 所以 y′＝(cos x)′＝－sin x. 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 一、基础达标 1．下列结论中正确的个数为( ) ①y＝ln 2，则 y′＝ 1 2 ；②y＝1 x2 ，则 y′|x＝3＝－ 2 27 ；③y＝2x，则 y′＝2xln 2；④y＝log2x，则 y′＝ 1 xln 2 . A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析 ①y＝ln 2为常数，所以 y′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线 y＝1 x 上一点 P的切线的斜率为－4，则点 P的坐标为( ) A. 1 2 ，2 B． 1 2 ，2 或 － 1 2 ，－2 C． － 1 2 ，－2 D． 1 2 ，－2 答案 B 解析 y′＝ 1 x ′＝－ 1 x2 ＝－4，x＝±1 2 ，故选 B. 3．已知 f(x)＝xa，若 f′(－1)＝－4，则 a的值等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案 A 解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函数 f(x)＝x3的斜率等于 1的切线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案 B 解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x20＝1，得 x0＝± 3 3 ，即在点 3 3 ， 3 9 和点 － 3 3 ，－ 3 9 处有斜率为 1的切线． 5．曲线 y＝9 x 在点 M(3,3)处的切线方程是________． 答案 x＋y－6＝0 解析 ∵y′＝－ 9 x2 ，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y－3＝－(x－3)即 x＋y－6＝0. 6．若曲线 y＝x－1 2 在点 a，a－1 2 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a＝________. 答案 64 解析 ∵y＝x－1 2 ，∴y′＝－ 1 2 x－3 2 ， ∴曲线在点 a，a－1 2 处的切线斜率 k＝－ 1 2 a－3 2 ， ∴切线方程为 y－a－1 2 ＝－ 1 2 a－3 2 (x－a)． 令 x＝0得 y＝3 2 a－1 2 ；令 y＝0得 x＝3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝1 2 ·3a·3 2 a－1 2 ＝ 9 4 a1 2 ＝18，∴a＝64. 7．求下列函数的导数： (1) y＝ 5 x3；(2)y＝1 x4 ；(3)y＝－2sin x 2 1－2cos2x 4 ； (4)y＝log2x2－log2x. 解 (1)y′＝ 5 x3 ′＝ x3 5 ′＝ 3 5 x3 5 －1＝3 5 x－2 5 ＝ 3 5 5 x2 . (2)y′＝ 1 x4 ′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－ 4 x5 . (3)∵y＝－2sinx 2 1－2cos2x 4 ＝2sin x 2 2cos2x 4 －1 ＝2sin x 2 cos x 2 ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝ 1 x·ln 2 . 二、能力提升 8．已知直线 y＝kx是曲线 y＝ex的切线，则实数 k的值为( ) A.1 e B．－ 1 e C．－e D．e 答案 D 解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 y0＝kx0 y0＝ex0 k＝ex0. ∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲线 y＝ln x在 x＝a处的切线倾斜角为 π 4 ，则 a＝________. 答案 1 解析 y′＝ 1 x ，∴y′|x＝a＝ 1 a ＝1，∴a＝1. 10．点 P是曲线 y＝ex上任意一点，则点 P到直线 y＝x的最小距离为________． 答案 2 2 解析 根据题意设平行于直线 y＝x的直线与曲线 y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0) 处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为 2 2 . 11．已知 f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合 f′(x)＋g′(x)≤0的 x的值． 解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由 f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即 sin x≥1，但 sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋π 2 ，k∈Z. 12．已知抛物线 y＝x2，直线 x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线 x－y－2＝0平行的抛物线 y＝x2的切线，对应的切点到直线 x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为 (x0，x20)，则 y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以 x0＝1 2 ，所以切点坐标为 1 2 ， 1 4 ， 切点到直线 x－y－2＝0的距离 d＝ |12－ 1 4 －2| 2 ＝ 7 2 8 ， 所以抛物线上的点到直线 x－y－2＝0的最短距离为 7 2 8 . 三、探究与创新 13．设 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求 f2 014(x)． 解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为 4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x． 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) [学习目标] 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接] 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们 已经会求 f(x)＝5和 g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或 差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函 数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 fx gx ′＝ f′xgx－fx·g′x [gx]2 (g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘 上分母的导数，再除以分母的平方 2．复合函数的求导法则 复合函数 的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成 x的函数， 那么称这个函数为 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)) 复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积 要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1. (3)函数 y＝3x－lg x是函数 f(x)＝3x与函数 g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝ 1 xln 10 ，利用函数差 的求导法则可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－ 1 xln 10 . 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结 构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练 1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－1 x2 . 解 (1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝ ex x ＋ex·ln x； (4)y′＝ 1 xln 10 ＋ 2 x3 . 要点二 求复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝(1＋sin x)2； 解 (1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝ 1 u ·1＝ 1 x＋2 . (2)y＝u2，u＝1＋sin x， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′ ＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构． (2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体． (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练 2 (1)y＝e2x＋1； (2)y＝( x－2)2. 解 (1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4， ∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4×1 2 x－1 2 ＝1－ 2 x . 法二 令 u＝ x－2， 则 yx′＝yu′·ux′＝2( x－2)·( x－2)′＝ 2( x－2) 1 2 · 1 x －0 ＝1－ 2 x . 要点三 导数的应用 例 3 求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x相切的直线方程． 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)． 解得 x0＝1或 x0＝－ 1 2 . 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1或 y＋1＝－ 5 4 (x－1)． 即 x－y－2＝0或 5x＋4y－1＝0. 规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交 点，解题时注意不要失解． 跟踪演练 3 已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝t－1 t2 ＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求 t＝3 s时物体的瞬时速度． 解 ∵s(t)＝t－1 t2 ＋2t2＝ t t2 － 1 t2 ＋2t2＝1 t － 1 t2 ＋2t2， ∴s′(t)＝－ 1 t2 ＋2·1 t3 ＋4t， ∴s′(3)＝－ 1 9 ＋ 2 27 ＋12＝323 27 ， 即物体在 t＝3 s时的瞬时速度为 323 27 m/s. 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 f(x)＝3x＋1，则 f′(1)＝3 C．若 y＝－ x＋x，则 y′＝－ 1 2 x ＋1 D．若 y＝sin x＋cos x，则 y′＝cos x＋sin x 答案 D 解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函数 y＝cos x 1－x 的导数是( ) A.－sin x＋xsin x 1－x2 B．xsin x－sin x－cos x 1－x2 C．cos x－sin x＋xsin x 1－x2 D．cos x－sin x＋xsin x 1－x 答案 C 解析 y′＝ cos x 1－x ′＝ －sin x1－x－cos x·－1 1－x2 ＝ cos x－sin x＋xsin x 1－x2 . 3．曲线 y＝ x x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A 解析 ∵y′＝ x′x＋2－xx＋2′ x＋22 ＝ 2 x＋22 ， ∴k＝y′|x＝－1＝ 2 －1＋22 ＝2， ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1. 4．直线 y＝1 2 x＋b是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝________. 答案 ln 2－1 解析 设切点为(x0，y0)， ∵ y′＝ 1 x ，∴ 1 2 ＝ 1 x0 ， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝1 2 ×2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函 数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等 变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题. 一、基础达标 1．设 y＝－2exsin x，则 y′等于( ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案 D 解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．当函数 y＝x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0处的导数为 0时，那么 x0＝( ) A．a B．±a C．－a D．a2 答案 B 解析 y′＝ x2＋a2 x ′＝ 2x·x－x2＋a2 x2 ＝ x2－a2 x2 ， 由 x20－a2＝0得 x0＝±a. 3．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0垂直，则 a等于( ) A．2 B．1 2 C．－ 1 2 D．－2 答案 D 解析 ∵y＝x＋1 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ， ∴y′＝－ 2 x－12 .∴y′|x＝3＝－ 1 2 . ∴－a＝2，即 a＝－2. 4．已知曲线 y＝x3在点 P处的切线斜率为 k，则当 k＝3时的 P点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D． － 1 2 ，－ 1 8 答案 B 解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1， 则 P点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ________． 答案 4 解析 依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x， f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 6．已知 f(x)＝1 3 x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________. 答案 1 解析 由于 f′(0)是一常数，所以 f′(x)＝x2＋3f′(0)， 令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝x－sin x 2 cos x 2 . 解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9. 法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝x－sin x 2 cos x 2 ＝x－1 2 sin x， ∴y′＝x′－ 1 2 sin x ′＝1－1 2 cos x. 二、能力提升 8．曲线 y＝ sin x sin x＋cos x － 1 2 在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为( ) A．－ 1 2 B．1 2 C．－ 2 2 D． 2 2 答案 B 解析 y′＝ cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2 ＝ 1 sin x＋cos x2 ，故 y′| x＝π 4 ＝ 1 2 ， ∴曲线在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为 1 2 . 9．已知点 P在曲线 y＝ 4 ex＋1 上，α为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A．[0，π 4 ) B．[π 4 ， π 2 ) C．(π 2 ， 3π 4 ] D．[3π 4 ，π) 答案 D 解析 y′＝－ 4ex ex＋12 ＝－ 4ex e2x＋2ex＋1 ，设 t＝ex∈(0，＋∞)，则 y′＝－ 4t t2＋2t＋1 ＝－ 4 t＋1 t ＋2 ，∵t＋1 t ≥2，∴y′∈[－1,0)， α∈[3π 4 ，π)． 10．(2013·江西)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________. 答案 2 解析 令 t＝ex，则 x＝ln t，所以函数为 f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x，所以 f′(x)＝1 x ＋1，即 f′(1)＝1 1 ＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3相切的直线方程． 解 点(2,0)不在曲线 y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程的斜率 k＝x30－0 x0－2 ＝y′|x＝x0＝3x20，即 x30 x0－2 ＝ 3x20，解得 x0＝0或 x0＝3. 当 x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0； 当 x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27， 则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)， 即 27x－y－54＝0. 综上，所求的直线方程为 y＝0或 27x－y－54＝0. 12．已知曲线 f(x)＝x3－3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x20－3， ∴切线方程为 y＝(3x20－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x20－1)x0＋16， 即 x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16， 解得 x0＝－2， ∴切线方程为 9x－y＋16＝0. 三、探究与创新 13．设函数 f(x)＝ax－b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0和直线 y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由 7x－4y－12＝0得 y＝7 4 x－3. 当 x＝2时，y＝1 2 ，∴f(2)＝1 2 ， ① 又 f′(x)＝a＋b x2 ， ∴f′(2)＝7 4 ， ② 由①，②得 2a－b 2 ＝ 1 2 a＋b 4 ＝ 7 4 . 解之得 a＝1 b＝3 . 故 f(x)＝x－3 x . (2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3 x2 知 曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋3 x20 (x－x0)， 即 y－ x0－3 x0 ＝ 1＋3 x20 (x－x0)． 令 x＝0得 y＝－ 6 x0 ，从而得切线与直线 x＝0的交点坐标为 0，－ 6 x0 . 令 y＝x得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x所围成的三角形面积为 1 2 |－6 x0||2x0|＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6. 1．3 导数在研究函数中的应用 1．3.1 函数的单调性与导数 [学习目标] 1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． [知识链接] 以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设 x1＜x2的前提下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小，在函数 y＝f(x)比较复杂的情况 下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？ 答 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角， 函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单 调递减． [预习导引] 函数的单调性与导数的关系 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 (2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 要点一 利用导数判断函数的单调性 例 1 证明：函数 f(x)＝sin x x 在区间 π 2 ，π 上单调递减． 证明 f′(x)＝xcos x－sin x x2 ，又 x∈ π 2 ，π ， 则 cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0， ∴f′(x)<0，∴f(x)在 π 2 ，π 上是减函数． 规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则 f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则 f′(x)≥(或≤)0. 跟踪演练 1 证明：函数 f(x)＝ln x x 在区间(0，e)上是增函数． 证明 ∵f(x)＝ln x x ，∴f′(x)＝ x·1 x －ln x x2 ＝ 1－ln x x2 . 又 00， 故 f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数． 要点二 利用导数求函数的单调区间 例 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1； (2)f(x)＝sin x－x(00得 6x2＋6x－36>0， 解得 x< －3或 x>2； 由 f′(x)＜0解得－30，即 2·3x 2－1 x ＞0， 解得－ 3 3 ＜x＜0或 x＞ 3 3 . 又∵x＞0，∴x＞ 3 3 . 令 f′(x)＜0，即 2·3x 2－1 x ＜0， 解得 x＜－ 3 3 或 0＜x＜ 3 3 . 又∵x＞0，∴0＜x＜ 3 3 . ∴f(x)的单调递增区间为 3 3 ，＋∞ ， 单调递减区间为 0， 3 3 . (4) f′(x)＝3x2－3t，令 f′(x)≥0，得 3x2－3t≥0， 即 x2≥t.∴当 t≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)． 当 t>0时，解 x2≥t得 x≥ t或 x≤－ t； 由 f′(x)≤0解得－ t≤x≤ t. 故函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)， 减区间是(－ t， t)． 规律方法 求函数的单调区间的具体步骤是 (1)优先确定 f(x)的定义域；(2)计算导数 f′(x)；(3)解 f′(x)＞0和 f′(x)＜0；(4)定义域内满足 f′(x)＞0的区间为增区间，定 义域内满足 f′(x)＜0的区间为减区间． 跟踪演练 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝x3－x2－x. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－1 x ，由 f′(x)＝2x－1 x ＞0且 x＞0，得 x＞ 2 2 ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 2 2 ，＋∞ ； 由 f′(x)＜0得 x＜ 2 2 ，又 x∈(0，＋∞)， 所以函数 f(x)的单调递减区间为 0， 2 2 . (2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)． 由 f′(x)＞0得 x＜－ 1 3 或 x＞1； 由 f′(x)＜0得－ 1 3 ＜x＜1， 故函数 f(x)的单调递增区间为 －∞，－ 1 3 ，(1，＋∞)，单调递减区间为 － 1 3 ，1 . 要点三 已知函数单调性求参数的取值范围 例 3 已知函数 f(x)＝x2＋a x (x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求 a的取值范围． 解 f′(x)＝2x－a x2 ＝ 2x3－a x2 . 要使 f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的， 则 f′(x)≥0在 x∈[2，＋∞)时恒成立， 即 2x3－a x2 ≥0在 x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0， ∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在 x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的， ∴(2x3)min＝16，∴a≤16. 当 a＝16时，f′(x)＝2x3－16 x2 ≥0(x∈[2，＋∞))有且只有 f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]． 规律方法 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数 f(x)在区间 I 上单调递增(或减)，转化为不等式 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在区间 I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围． 跟踪演练 3 设 f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数 a的取值范围． 解 ∵f′(x)＝3ax2＋1，且 f(x)有三个单调区间， ∴方程 f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a＞0，∴a＜0. ∴a的取值范围为(－∞，0)． 1．函数 f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( ) A．单调增函数 B．单调减函数 C．在 0，1 e 上是减函数，在 1 e ，6 上是增函数 D．在 0，1 e 上是增函数，在 1 e ，6 上是减函数 答案 A 解析 ∵x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋1 x ＞0，∴函数 f(x)在(0,6)上单调递增． 2．f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( ) 答案 D 解析 由导函数的图象可知，当 x＜0时，f′(x)＞0，即函数 f(x)为增函数；当 0＜x＜2时，f′(x)＜0，即 f(x)为减函数；当 x ＞2时，f′(x)＞0，即函数 f(x)为增函数．观察选项易知 D正确． 3．若函数 f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数 a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0,1) 答案 A 解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又 f(x)在(0,1)内单调递减， ∴不等式 3x2－2ax－1＜0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且 f′(1)≤0，∴a≥1. 4．函数 y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________． 答案 (2，＋∞) (－∞，2) 解析 y′＝2x－4，令 y′＞0，得 x＞2；令 y′＜0，得 x＜2， 所以 y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)． 1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度． 2．利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)＞0和 f′(x)＜0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间. 一、基础达标 1．命题甲：对任意 x∈(a，b)，有 f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但 f′(x)＝3x2≥0(－10，∴04， ∴m>2或 m<－2.故选 C. 9．(2013·福建)设函数 f(x)的定义域为 R，x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A．∀x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是 f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 答案 D 解析 x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点，并不是最大值点．故 A错；f(－x)相当于 f(x)关于 y轴的对称图象的函数，故－x0应是 f(－ x)的极大值点，B错；－f(x)相当于 f(x)关于 x轴的对称图象的函数，故 x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系，C错；－ f(－x)相当于 f(x)关于坐标原点的对称图象的函数．故 D正确． 10． 如果函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数 y＝f(x)在区间 －3，－ 1 2 内单调递增； ②函数 y＝f(x)在区间 － 1 2 ，3 内单调递减； ③函数 y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当 x＝2时，函数 y＝f(x)有极小值； ⑤当 x＝－ 1 2 时，函数 y＝f(x)有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③ 解析 函数的单调性由导数的符号确定，当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理 f(x)在(2,4) 上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在 x＝2的左侧递增， 右侧递减，所以当 x＝2时，函数有极大值；而在 x＝－ 1 2 的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在 x＝－ 1 2 的左右两侧均 为增函数，所以 x＝－ 1 2 不是函数的极值点．排除④和⑤. 11．已知 f(x)＝x3＋1 2 mx2－2m2x－4(m为常数，且 m＞0)有极大值－ 5 2 ，求 m的值． 解 ∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)， 令 f′(x)＝0，则 x＝－m或 x＝2 3 m. 当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞， －m) －m －m，2 3 m 2 3 m 2 3 m，＋∞ f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋ 1 2 m3＋2m3－4＝－ 5 2 ，∴m＝1. 12．设 a为实数，函数 f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求 f(x)的极值； (2)当 a在什么范围内取值时，曲线 y＝f(x)与 x轴仅有一个交点？ 解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令 f′(x)＝0，则 x＝－ 1 3 或 x＝1. 当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －∞，－ 1 3 － 1 3 － 1 3 ，1 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的极大值是 f － 1 3 ＝ 5 27 ＋a，极小值是 f(1)＝a－1. (2)函数 f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有 f(x)＞0， x取足够小的负数时，有 f(x)＜0， 所以曲线 y＝f(x)与 x轴至少有一个交点． 由(1)知 f(x)极大值＝f － 1 3 ＝ 5 27 ＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1. ∵曲线 y＝f(x)与 x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或 f(x)极小值＞0， 即 5 27 ＋a＜0或 a－1＞0，∴a＜－ 5 27 或 a＞1， ∴当 a∈ －∞，－ 5 27 ∪(1，＋∞)时，曲线 y＝f(x)与 x轴仅有一个交点． 三、探究与创新 13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2时，证明 f(x)＞0. (1)解 f′(x)＝ex－ 1 x＋m . 由 x＝0是 f(x)的极值点得 f′(0)＝0，所以 m＝1. 于是 f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝ex－ 1 x＋1 . 函数 f′(x)＝ex－ 1 x＋1 在(－1，＋∞)单调递增，且 f′(0)＝0，因此当 x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)证明 当 m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当 m＝2时，f(x)＞0. 当 m＝2时， 函数 f′(x)＝ex－ 1 x＋2 在(－2，＋∞)单调递增． 又 f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故 f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根 x0，且 x0∈(－1,0)． 当 x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当 x＝x0时，f(x)取得最小值． 由 f′(x0)＝0得 ex0＝ 1 x0＋2 ，ln(x0＋2)＝－x0， 故 f(x)≥f(x0)＝ 1 x0＋2 ＋x0＝ x0＋12 x0＋2 ＞0. 综上，当 m≤2时，f(x)＞0. 1．3.3 函数的最大(小)值与导数 [学习目标] 1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2．会求某闭区间上函数的最值． [知识链接] 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？ 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极 值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未 必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值． [预习导引] 1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必 在端点处或极值点处取得． 2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．函数在开区间(a，b)的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极 大(小)值就是函数 f(x)在区间 I上的最大(小)值． 4．极值与最值的意义 (1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值； (2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值 x0附近相比较最大(小)的值． 要点一 求函数在闭区间上的最值 例 1 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 解 (1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当 x变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 极大 值 4 极小 值 3 极大 值 4 －5 ∴当 x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1或 x＝1时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故 x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2. 规律方法 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点． ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪演练 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝1 3 x3－4x＋4，x∈[0,3]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]． 解 (1)∵f(x)＝1 3 x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4. 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2. ∵f(2)＝－ 4 3 ，f(0)＝4，f(3)＝1， ∴函数 f(x)在[0,3]上的最大值为 4，最小值－ 4 3 . (2)∵f(x)＝3ex－exx2， ∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， ∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5. 要点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)．求 f(x)在区间[0,2]上的最大值． 解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2a 3 . ①当 2a 3 ≤0，即 a≤0时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当 2a 3 ≥2，即 a≥3时， f(x)在[0,2]上单调递减， 从而 f(x)max＝f(0)＝0. ③当 0<2a 3 <2，即 02. 规律方法 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常 需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪演练 2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？ 解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2 3 a， ①当 2 3 a≥0，即 a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而 f(x)max＝f(0)＝0； ②当 2 3 a≤－1，即 a≤－ 3 2 时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而 f(x)max＝f(－1)＝－1－a； ③当－1<2 3 a<0，即－ 3 2 1. 故实数 m的取值范围是(1，＋∞)． 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔ λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可． (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”． 跟踪演练 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的 x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2成立，求 c的取值范围； (2)若对任意的 x∈(0,3)，都有 f(x)＜c2成立，求 c的取值范围． 解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)＞0. ∴当 x＝1时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c. 又 f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. ∵对任意的 x∈[0,3]，有 f(x)＜c2恒成立， ∴9＋8c＜c2，即 c＜－1或 c＞9. ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知 f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即 c≤－1或 c≥9， ∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)． 1．函数 f(x)＝－x2＋4x＋7，在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 答案 B 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， ∴当 x∈[3,5]时，f′(x)<0， 故 f(x)在[3,5]上单调递减， 故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3)，f(5)． 2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案 D 解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值， 故选 D. 3．函数 y＝x－sin x，x∈ π 2 ，π 的最大值是( ) A．π－1 B．π 2 －1 C．π D．π＋1 答案 C 解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈ π 2 ，π 时，y′＞0，则函数在区间 π 2 ，π 上为增函数，所以 y的最大值为 ymax＝π－sin π＝π， 故选 C. 4．(2012·安徽改编)函数 f(x)＝exsin x在区间 0，π 2 上的值域为( ) A. 0，eπ 2 B． 0，eπ 2 C． 0，eπ 2 D． 0，eπ 2 答案 A 解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)． ∵x∈ 0，π 2 ，f′(x)＞0. ∴f(x)在 0，π 2 上是单调增函数， ∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f π 2 ＝eπ 2 . 5．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为 10，则其最小值为________． 答案 －71 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由 f′(x)＝0得 x＝3或 x＝－1. 又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71. 1．求函数的最值时，应注意以下几点： (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题， 是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数 的最值． (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值) 不一定就是最大值(最小值)． 2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题. 一、基础达标 1．函数 y＝f(x)在[a，b]上( ) A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 答案 D 解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值． 2．函数 y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( ) A．0 B．1 e C．4 e4 D．2 e2 答案 B 解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令 y′＝0，∴x＝1， ∴f(0)＝0，f(4)＝4 e4 ，f(1)＝e－1＝1 e ，∴f(1)为最大值，故选 B. 3．函数 y＝ln x x 的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D．10 3 答案 A 解析 令 y′＝ ln x′x－ln x·x′ x2 ＝ 1－ln x x2 ＝0.(x＞0) 解得 x＝e.当 x>e时，y′<0；当 0＜x0)． y′＝2t－1 t ＝ 2t2－1 t ＝ 2 t＋ 2 2 t－ 2 2 t . 当 0＜t＜ 2 2 时，y′＜0，可知 y在 0， 2 2 上单调递减； 当 t＞ 2 2 时，y′＞0，可知 y在 2 2 ，＋∞ 上单调递增． 故当 t＝ 2 2 时，|MN|有最小值． 9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数 f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的 a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数 f(x)在区间[a，b]上单调递减， 则实数 t的取值范围是( ) A．(－∞，3] B．(－∞，5] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞) 答案 D 解析 ∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则有 f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即 不等式 3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有 t≥3 2 x＋1 x 在[a，b]上恒成立，而函数 y＝3 2 x＋1 x 在[1,3]上单调递增，由于 a ∈[1,2]，b∈(2,3]，当 b＝3时，函数 y＝3 2 x＋1 x 取得最大值，即 ymax＝3 2 3＋1 3 ＝5，所以 t≥5，故选 D. 10．如果函数 f(x)＝x3－3 2 x2＋a在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的最小值是________． 答案 － 1 2 解析 f′(x)＝3x2－3x，令 f′(x)＝0得 x＝0，或 x＝1. ∵f(0)＝a，f(－1)＝－ 5 2 ＋a，f(1)＝－ 1 2 ＋a， ∴f(x)max＝a＝2. ∴f(x)min＝－ 5 2 ＋a＝－ 1 2 . 11．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数 f(x)在 x＝－1和 x＝3处取得极值，试求 a，b的值； (2)在(1)的条件下，当 x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求 c的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1和 x＝3处取得极值， ∴－1,3是方程 3x2－2ax＋b＝0的两根． ∴ －1＋3＝2 3 a －1×3＝b 3 ，∴ a＝3 b＝－9 . (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9，令 f′(x)＝0，得 x＝－1或 x＝3. 当 x变化时，f′(x)，f(x)随 x的变化如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 c＋5 极小值 c－27 而 f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， ∴当 x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为 c＋54， 要使 f(x)＜2|c|恒成立，只要 c＋54＜2|c|即可， 当 c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54； 当 c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18. ∴c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)， 此即为参数 c的取值范围． 12．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)＜0，解得 x＜－1或 x＞3， ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)． 于是有 22＋a＝20，∴a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即 f(x)最小值为－7. 三、探究与创新 13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P处有相 同的切线 y＝4x＋2. (1)求 a，b，c，d的值； (2)若 x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求 k的取值范围． 解 (1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4， g′(0)＝4，而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， ∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)， 设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)． 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1， 令 F′(x)＝0得 x1＝－ln k，x2＝－2， ①若 1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当 x∈(－2，x1)时， F′(x)＜0，当 x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即 F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故 F(x)在 x＝x1取最小值 F(x1)，而 F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0. ∴当 x≥－2时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立． ②若 k＝e2，则 F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)， ∴当 x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而 F(－2)＝0，∴当 x≥－2时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立， ③若 k＞e2，则 F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当 x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上所述，k的取值范围为[1，e2]. 1．4 生活中的优化问题举例 [学习目标] 1．了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接] 设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式 a＋b 2 ≥ ab(a，b＞0)? 答 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为 f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x. 令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝c 2 . 故当 x＝c 2 时，f(x)有最大值 f c 2 ＝ c2 4 ，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的 1 4 . 若设这两个正数分别为 a，b，则有 a＋b2 4 ≥ab(a＞0，b＞0)，即 a＋b 2 ≥ ab(a，b＞0)，当且仅当 a＝b时等号成立． [预习导引] 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是 优化问题 → 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 要点一 用料最省问题 例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40千米的 B处，乙厂 到河岸的垂足 D与 A相距 50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a元，问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解 如图，由题意知，只有点 C位于线段 AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点 C距点 D为 x km，则 BC＝ BD2＋CD2 ＝ x2＋402，又设总的水管费用为 y元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(020时，q′>0， ∴当 v＝20时，q取得最小值， 即速度为 20海里/时时，航行 1海里所需费用总和最小． 要点二 面积、容积的最值问题 例 2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告 面积最小？ 解 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20 cm， y－25 2 cm， 其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－25 2 ＝18 000， 由此得 y＝18 000 x－20 ＋25. 广告的面积 S＝xy＝x 18 000 x－20 ＋25 ＝ 18 000x x－20 ＋25x， ∴S′＝ 18 000[x－20－x] x－202 ＋25＝－360 000 x－202 ＋25. 令 S′>0得 x>140，令 S′<0得 200)；固定部分为 a元． (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 s v ，全程运输成本为 y＝a·s v ＋bv2·s v ＝s a v ＋bv ， ∴所求函数及其定义域为 y＝s a v ＋bv ，v∈(0，c] (2)由题意 s、a、b、v 均为正数． y′＝s b－ a v2 ＝0得 v＝ a b .但 v∈(0，c]． ①若 a b ≤c，则当 v＝ a b 时，全程运输成本 y最小； ②若 a b >c，则 v∈(0，c]， 此时 y′<0，即 y在(0，c]上为减函数． 所以当 v＝c时，y最小． 综上可知，为使全程运输成本 y最小， 当 a b ≤c时，行驶速度 v＝ a b ； 当 a b >c时，行驶速度 v＝c. 规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意： ①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系． ③必要时注意分类讨论思想的应用． 跟踪演练 3 已知某商品生产成本 C与产量 q的函数关系式为 C＝100＋4q，价格 p与产量 q的函数关系式为 p＝25－1 8 q.求产 量 q为何值时，利润 L最大？ 解 收入 R＝q·p＝q 25－1 8 q ＝25q－1 8 q2， 利润 L＝R－C＝ 25q－1 8 q2 －(100＋4q) ＝－ 1 8 q2＋21q－100(00)．∴S′＝ 3 x2 (x3－4V)．令 S′＝0，得 x＝ 3 4V. 3．在边长为 60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为 多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解 设箱底边长为 x cm，则箱高 h＝60－x 2 cm，箱子容积 V(x)＝x2h＝60x2－x3 2 (0＜x＜60)． V′(x)＝60x－3 2 x2令 V′(x)＝60x－3 2 x2＝0， 解得 x＝0(舍去)或 x＝40，并求得 V(40)＝16 000. 由题意知，当 x过小(接近 0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值． 答 当 x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是 16 000 cm3. 4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y＝ 1 128 000 x3－ 3 80 x＋8(00，h(x)是增函数， 所以当 x＝80时，h(x)取得极小值 h(80)＝11.25(升)． 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值． 答 汽车以 80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25升． 1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并 确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义． 2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使 f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极 值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点． 一、基础达标 1．方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( ) A．4 B．6 C．4.5 D．8 答案 A 解析 设底面边长为 x，高为 h， 则 V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256 x2 ， ∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256 x2 ＝x2＋4×256 x ， ∴S′(x)＝2x－4×256 x2 . 令 S′(x)＝0，解得 x＝8，∴h＝256 82 ＝4. 2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k>0)．已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为 x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x的取值为( ) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6 答案 B 解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其中 x∈(0,0.048 6)． 所以银行的收益是 y＝0.048 6kx2－kx3(00； 当 0.032 40， ∴r＝ l 6 是其唯一的极值点． ∴当 r＝ l 6 时，V取得最大值，最大值为 l 6 3π. 4．用边长为 120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接成水箱， 则水箱最大容积为( ) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 答案 B 解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h＝60－x 2 (cm)． 水箱容积 V＝V(x)＝x2h＝60x2－x3 2 (00. 求导数，得 S′(x)＝2－512 x2 . 令 S′(x)＝2－512 x2 ＝0，解得 x＝16(x＝－16舍去)． 于是宽为 128 x ＝ 128 16 ＝8.当 x∈(0,16)时，S′(x)<0； 当 x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0. 因此，x＝16是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点． 所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升 8．把长为 12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.3 2 3 cm2 B．4 cm2 C．3 2 cm2 D．2 3 cm2 答案 D 解析 设一个正三角形的边长为 x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为 S＝ 3 4 x2＋ 3 4 (4 －x)2＝ 3 2 [(x－2)2＋4]≥2 3(cm2)，故选 D. 9．某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000元，每生产一单位的产品，成本增加 100元，若总收入 R与年产量 x的关系是 R(x)＝ － x3 900 ＋400x，0≤x≤390， 90 090，x>390， 则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( ) A．150 B．200 C．250 D．300 答案 D 解析 由题意得，总利润 P(x)＝ － x3 900 ＋300x－20 000，0≤x≤390， 70 090－100x，x>390， 令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D. 10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱 体的长为 a米，高为 b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b的乘积 ab成反比，现有制箱材料 60平方米，问当 a＝ ________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)． 答案 6 3 解析 设 y为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ k ab ，其中 k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的 a，b值使 y值最小，根据 题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得 b＝30－a 2＋a .于是 y＝ k ab ＝ k 30a－a2 2＋a ＝ k2＋a 30a－a2 .(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64处取得最小值． 此时 n＝m x －1＝640 64 －1＝9. 故需新建 9个桥墩才能使 y最小． 12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h时，每小时消耗的煤价值 40元，其 他费用每小时需 200元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km. 则总费用 f(x)＝(kx3＋200)·a x ＝a(kx2＋200 x )． 由已知条件，得 40＝k·203，∴k＝ 1 200 ， ∴f(x)＝a 1 200 x2＋200 x (0＜x＜100)． 令 f′(x)＝ax3－20 000 100x2 ＝0， 得 x＝10 3 20. 当 00. ∴当 x＝10 3 20时，f(x)有最小值， 即速度为 10 3 20 km/h时，总费用最少． 三、探究与创新 13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计 要求容器的容积为 80π 3 立方米，且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千 元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y千元． (1)写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解 (1)设容器的容积为 V，由题意知 V＝πr2l＋4 3 πr3， 又 V＝80π 3 ， 故 l＝ V－4 3 πr3 πr2 ＝ 80 3r2 － 4r 3 ＝ 4 3 20 r2 －r .由于 l≥2r，因此 03，所以 c－2>0. 当 r3－ 20 c－2 ＝0时，r＝ 3 20 c－2 .令 3 20 c－2 ＝m，则 m>0， 所以 y′＝ 8πc－2 r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当 09 2 时，令 y′＝0，得 r＝m. 当 r∈(0，m)时，y′<0；当 r∈(m,2]时，y′>0， 所以 r＝m是函数 y的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2，即 39 2 时，建造费用最小时 r＝ 3 20 c－2 . 1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程 1．5.3 定积分的概念 [学习目标] 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 3．了解定积分的概念． 4．了解定积分的几何意义和性质． [知识链接] 1．如何计算下列两图形的面积？ 答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解． 2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 答 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小． 3．当 f(x)在区间[a，b]上且 f(x)<0 时，错误!f(x)dx表示的含义是什么？ 答 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，错误!f(x)dx表示由 y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所围成的图形的面积的相反数． [预习导引] 1．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯 形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)． (3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限． 2．求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数 v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在 a≤t≤b内所作的位移 s. 3．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0 ②< 1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n等分区间[a，b]； (2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]； (3)求和：错误!(ξi)· b－a n ； (4)取极限：S＝li m n→∞ 错误!(ξi)· b－a n .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的 端点(或中点)． 2．定积分 错误!f(x)dx是一个和式 错误!b－a n f(ξi)的极限，是一个常数． 3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算. 一、基础达标 1．当 n很大时，函数 f(x)＝x2在区间 i－1 n ， i n 上的值，可以近似代替为( ) A．f 1 n B．f 2 n C．f i n D．f(0) 答案 C 2．一物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在 t＝0到 t＝1这段时间内所走的路程为( ) A.1 3 B．1 2 C．1 D．3 2 答案 B 解析 曲线 v(t)＝t与直线 t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积 S＝1 2 即为这段时间内物体所走的路程． 3．由直线 x＝1，y＝0，x＝0和曲线 y＝x3所围成的曲边梯形，将区间 4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A. 1 19 B．111 256 C．11 27 D．25 64 答案 D 解析 将区间[0,1]四等分，得到 4个小区间： 0，1 4 ， 1 4 ， 1 2 ， 1 2 ， 3 4 ， 3 4 ，1 ， 以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值 S＝ 1 4 3× 1 4 ＋ 1 2 3× 1 4 ＋ 3 4 3× 1 4 ＋13×1 4 ＝ 25 64 . 4．下列命题不正确的是( ) A．若 f(x)是连续的奇函数，则错误!－af(x)dx＝0 B．若 f(x)是连续的偶函数，则错误!－af(x)dx＝2错误!f(x)dx C．若 f(x)在[a，b]上连续且恒正，则 错误!f(x)dx＞0 D．若 f(x) 在[a，b]上连续且 错误!f(x)dx>0，则 f(x)在[a，b]上恒正 答案 D 解析 对于 A，f(－x)＝－f(x)，错误!－af(x)dx＝错误!－af(x)dx＋错误!f(x)dx＝－∫a0f(x)dx＋错误!f(x)dx＝0，同理 B正确；由定积分的几何意义 知，当 f(x)>0时，错误!f(x)dx>0即 C正确；但 错误!f(x)dx>0，不一定有 f(x)恒正，故选 D. 5．已知 错误!xdx＝2，则错误!－txdx等于________． 答案 －2 解析 ∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数， ∴错误!－txdx＝0.而错误!－txdx＝错误!－txdx＋错误!xdx， 又 错误!xdx＝2，∴错误!－txdx＝－2. 6．由 y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是 S＝________. 答案 －错误!－πsin xdx 解析 由定积分的意义知，由 y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为 S＝－错误!－π sin xdx. 7．求直线 x＝0，x＝2，y＝0与曲线 y＝x2所围成的曲边梯形的面积． 解 令 f(x)＝x2. (1)分割 将区间[0,2]n等分，分点依次为 x0＝0，x1＝2 n ，x2＝4 n ，…，xn－1＝ 2n－1 n ，xn＝2. 第 i个区间为 2i－2 n ， 2i n (i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝2i n － 2i－2 n ＝ 2 n . (2)近似代替、求和 取ξi＝2i n (i＝1,2，…，n)， Sn＝错误! 2i n ·Δx＝错误! 2i n 2·2 n ＝ 8 n3 错误!2 ＝ 8 n3 (12＋22＋…＋n2) ＝ 8 n3 ·nn＋12n＋1 6 ＝ 4 3 2＋3 n ＋ 1 n2 . (3)取极限 S＝li m n→∞ Sn＝li m n→∞ 4 3 2＋3 n ＋ 1 n2 ＝ 8 3 ， 即所求曲边梯形的面积为 8 3 . 二、能力提升 8．已知 f(x)＝x3－x＋sin x，则错误!－2f(x)dx的值为( ) A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．不确定 答案 A 解析 易知 f(x)为奇函数，由奇函数的性质错误!－2f(x)dx＝－错误!f(x)dx，而错误!－2f(x)dx＝错误!－2f(x)dx＋错误!f(x)dx＝0. 9．设 a＝错误!x1 3 dx，b＝错误!x2 dx，c＝错误!x3 dx，则 a，b，c的大小关系是( ) A．c>a>b B．a>b>c C．a＝b>c D．a>c>b 答案 B 解析 根据定积分的几何意义，易知 错误!x3dx＜错误!x2dx<错误!x1 3 dx，a＞b＞c，故选 B. 10．设 f(x)是连续函数，若 错误!f(x)dx＝1，错误!f(x)dx＝－1，则 错误!f(x)dx＝________. 答案 －2 解析 因为 错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx， 所以 错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx＝－2. 11．已知∫ π 2 0sin xdx＝错误!sin xdx＝1，∫ π 2 0x2dx＝ π3 24 ，求下列定积分： (1)错误!sin xdx；(2)∫π 2 0(sin x＋3x2)dx. 解 (1)错误!sin xdx＝∫ π 2 0sin xdx＋错误!sin xdx＝2. (2)∫π 2 0(sin x＋3x2)dx＝∫ π 2 0sin xdx＋3∫π 2 0x2dx＝1＋π3 8 . 12．已知函数 f(x)＝ x3，x∈[－2，2 2x，x∈[2，π cos x，x∈[π，2π] ，求 f(x)在区间[－2,2π]上的定积分． 解 由定积分的几何意义知 错误!－2x3dx＝0，错误!2xdx＝π－22π＋4 2 ＝π2－4， ∫2ππ cos xdx＝0， 由定积分的性质得 错误!f(x)dx＝错误!－2x3dx＋错误!2xdx＋∫2ππ cos xdx ＝π2－4. 三、探究与创新 13．利用定积分的定义计算错误!(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么． 解 令 f(x)＝－x2＋2x. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1个分点，把区间[1,2]等分为 n个小区间 1＋i－1 n ，1＋ i n (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝ i n － i－1 n ＝ 1 n . (2)近似代替、作和 取ξi＝1＋ i n (i＝1,2，…，n)，则 Sn＝错误! 1＋ i n ·Δx ＝错误! － 1＋ i n 2＋2 1＋ i n ·1 n ＝－ 1 n3 [n＋12＋n＋22＋n＋32＋…＋2n2]＋ 2 n2 [(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n] ＝－ 1 n3 2n2n＋14n＋1 6 － nn＋12n＋1 6 ＋ 2 n2 ·nn＋1＋2n 2 ＝－ 1 3 2＋1 n 4＋1 n ＋ 1 6 1＋1 n 2＋1 n ＋3＋1 n ， (3)取极限 错误!(－x2＋2x)dx＝li m n→∞ Sn＝li m n→∞ － 1 3 2＋1 n 4＋1 n ＋ 1 6 1＋1 n 2＋1 n ＋3＋1 n ＝ 2 3 ， 错误!(－x2＋2x)dx＝2 3 的几何意义为由直线 x＝1，x＝2，y＝0与曲线 f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积. 1.6 微积分基本定理 [学习目标] 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接] 1．导数与定积分有怎样的联系？ 答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为 逆运算． 2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？ 答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中 S＝错误!f(x)dx， 图(2)中 S＝－错误!f(x)dx， 图(3)中 S＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx. [预习导引] 1．微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 错误!f(x)dx＝F(b)－F(a)． 2．函数 f(x)与其一个原函数的关系 (1)若 f(x)＝c(c为常数)，则 F(x)＝cx； (2)若 f(x)＝xn(n≠－1)，则 F(x)＝ 1 n＋1 ·xn＋1； (3)若 f(x)＝1 x ，则 F(x)＝ln_x(x>0)； (4)若 f(x)＝ex，则 F(x)＝ex； (5)若 f(x)＝ax，则 F(x)＝ ax ln a (a>0且 a≠1)； (6)若 f(x)＝sin x，则 F(x)＝－cos_x； (7)若 f(x)＝cos x，则 F(x)＝sin_x. 要点一 求简单函数的定积分 例 1 计算下列定积分 (1)错误!3dx； (2)错误!(2x＋3)dx； (3)错误!－1(4x－x2)dx； (4)错误!(x－1)5dx. 解 (1)因为(3x)′＝3， 所以 错误!3dx＝(3x)|2 1 ＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3， 所以错误!(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|2 0 ＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为 2x2－x3 3 ′＝4x－x2， 所以错误!－1(4x－x2)dx＝ 2x2－x3 3 |3 －1 ＝ 2×32－33 3 － 2×－12－－13 3 ＝ 20 3 . (4)因为 1 6 x－16 ′＝(x－1)5， 所以 错误!1(x－1)5dx ＝ 1 6 (x－1)6|2 1 ＝ 1 6 (2－1)6－1 6 (1－1)6 ＝ 1 6 . 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如 F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数 c. 跟踪演练 1 求下列定积分： (1)∫π 2 0(3x＋sin x)dx； (2)错误!1 ex－1 x dx. 解 (1)∵ 3 2 x2－cos x ′＝3x＋sin x， ∴∫ π 2 0(3x＋sin x)dx＝ 3 2 x2－cos x |π2 0 ＝ 3 2 × π 2 2－cos π 2 － 3 2 ×0－cos 0 ＝ 3π2 8 ＋1； (2)∵(ex－ln x)′＝ex－1 x ， ∴错误!1(ex－1 x )dx＝(ex－ln x)|2 1 ＝(e2－ln 2)－(e－0) ＝e2－e－ln 2. 要点二 求较复杂函数的定积分 例 2 求下列定积分： (1)错误!1 x(1－ x)dx； (2)∫π 2 02cos2 x 2 dx； (3)错误!1(2x＋ 1 x )dx. 解 (1)∵ x(1－ x)＝ x－x， 又∵ 2 3 x3 2 － 1 2 x2 ′＝ x－x. ∴错误!1 x(1－ x)dx＝ 2 3 x3 2 － 1 2 x2 |4 1 ＝ 2 3 ×43 2 － 1 2 ×42 － 2 3 － 1 2 ＝－ 17 6 . (2)∵2cos2x 2 ＝1＋cos x，(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∴原式＝∫ π 2 0(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|π2 0 ＝ π 2 ＋1. (3)∵ 2x ln 2 ＋2 x ′＝2x＋ 1 x ， ∴错误!1(2x＋ 1 x )dx＝ 2x ln 2 ＋2 x |4 1 ＝ 24 ln 2 ＋2 4 － 2 ln 2 ＋2 ＝ 14 ln 2 ＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法 是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练 2 计算下列定积分： (1)∫π 3 0(sin x－sin 2x)dx； (2)错误!ex(1＋ex)dx. 解 (1)sin x－sin 2x的一个原函数是－cos x＋ 1 2 cos 2x，所以∫ π 3 0(sin x－sin 2x)dx ＝ －cos x＋1 2 cos 2x |π3 0 ＝ － 1 2 － 1 4 － －1＋1 2 ＝－ 1 4 . (2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x， ∴ ex＋1 2 e2x ′＝ex＋e2x， ∴错误!ex(1＋ex)dx＝错误!(ex＋e2x)dx ＝ ex＋1 2 e2x |ln 2 0 ＝eln 2＋1 2 e2ln 2－e0－1 2 e0 ＝2＋1 2 ×4－1－1 2 ＝ 5 2 . 要点三 定积分的简单应用 例 3 已知 f(a)＝错误!0(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值． 解 ∵ 2 3 ax3－1 2 a2x2 ′＝2ax2－a2x， ∴错误!0(2ax2－a2x)dx＝ 2 3 ax3－1 2 a2x2 |1 0 ＝ 2 3 a－1 2 a2， 即 f(a)＝2 3 a－1 2 a2＝－ 1 2 a2－4 3 a＋4 9 ＋ 2 9 ＝－ 1 2 a－2 3 2＋ 2 9 ， ∴当 a＝2 3 时，f(a)有最大值 2 9 . 规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过 程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练 3 已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，错误!0f(x)dx＝－2，求 a、b、c的值． 解 由 f(－1)＝2，得 a－b＋c＝2. ① 又 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0， ② 而 错误!0f(x)dx＝错误!0(ax2＋bx＋c)dx＝ 1 3 ax3＋1 2 bx2＋cx |1 0 ＝ 1 3 a＋1 2 b＋c， ∴ 1 3 a＋1 2 b＋c＝－2， ③ 由①②③式得 a＝6，b＝0，c＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例 4 计算下列定积分： (1)若 f(x)＝ x2 x≤0 cos x－1 x>0 ，求∫ π 2－1f(x)dx； (2)错误!0|x2－4|dx. 解 (1)∫π 2－1f(x)dx＝错误!－1x2dx＋∫ π 2 0(cos x－1)dx， 又∵ 1 3 x3 ′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1 ∴原式＝ 1 3 x3| 0 －1 ＋(sin x－x)|π2 0 ＝ 0＋1 3 ＋ sinπ 2 － π 2 －(sin 0－0) ＝ 4 3 － π 2 . (2)∵|x2－4|＝ x2－4 x≥2或 x≤－2， 4－x2 －23 2 ， ∴错误!－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx ＝∫－ 3 2－3(－4x)dx＋∫ 3 2 － 3 2 6dx＋∫33 2 4xdx ＝－2x2|－3 2 －3 ＋6x| 3 2 － 3 2 ＋2x2| 3 3 2 ＝45. 1．∫ π 2 － π 2 (1＋cos x)dx等于( ) A．π B．2 C．π－2 D．π＋2 答案 D 解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x， ∴ ∫ π 2 － π 2 1＋cos xdx＝x＋sin x|π 2 － π 2 ＝ π 2 ＋sinπ 2 － － π 2 ＋sin － π 2 ＝π＋2. 2．若 错误! 2x＋1 x dx＝3＋ln 2，则 a的值是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 D 解析 错误! 2x＋1 x dx＝错误!2xdx＋错误!1 x dx＝x2|a1＋ ln x| a 1 ＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，解得 a＝2. 3．错误! x2－2 3 x dx＝________. 答案 4 3 解析 错误! x2－2 3 x dx＝错误!x2dx－错误!2 3 xdx ＝ x3 3 |20－x2 3 |20＝8 3 － 4 3 ＝ 4 3 . 4．已知 f(x)＝ 4x－2π，0≤x≤π 2 ， cos x，π 2 0，所以 f(1)＝lg 1＝0.又 x≤0时，f(x)＝x＋错误!3t2dt＝x＋t3|a0＝x＋a3， 所以 f(0)＝a3.因为 f[f(1)]＝1，所以 a3＝1，解得 a＝1. 11．设 f(x)是一次函数，且 错误!f(x)dx＝5，错误!xf(x)dx＝17 6 ，求 f(x)的解析式． 解 ∵f(x)是一次函数，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 错误!f(x)dx＝错误!(ax＋b)dx＝错误!axdx＋错误!bdx ＝ 1 2 a＋b＝5， 错误!xf(x)dx＝错误!x(ax＋b)dx＝错误!(ax2)dx＋错误!bxdx ＝ 1 3 a＋1 2 b＝17 6 . 由 1 2 a＋b＝5 1 3 a＋1 2 b＝17 6 ，得 a＝4 b＝3 .即 f(x)＝4x＋3. 12．若函数 f(x)＝ x3，x∈[0，1]， x，x∈1，2]， 2x，x∈2，3]. 求 错误!f(x)dx的值． 解 由积分的性质，知： 错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx ＝错误!x3dx＋错误! xdx＋错误!2xdx ＝ x4 4 |10＋2 3 x3 2|21 ＋ 2x ln 2|32 ＝ 1 4 ＋ 4 3 2－2 3 ＋ 8 ln 2 － 4 ln 2 ＝－ 5 12 ＋ 4 3 2＋ 4 ln 2 . 三、探究与创新 13．求定积分错误!－4|x＋a|dx. 解 (1)当－a≤－4即 a≥4时， 原式＝错误!－4(x＋a)dx＝ x2 2 ＋ax |3 －4＝7a－7 2 . (2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时， 原式＝错误![－(x＋a)]dx＋错误!－a(x＋a)dx ＝ － x2 2 －ax |－a －4 ＋ x2 2 ＋ax |3 －a ＝ a2 2 －4a＋8＋ a2 2 ＋3a＋9 2 ＝a2－a＋25 2 . (3)当－a≥3即 a≤－3时， 原式＝错误!－4[－(x＋a)]dx＝ － x2 2 －ax |3 －4＝ －7a＋7 2 . 综上，得错误!－4|x＋a|dx＝ 7a－7 2 a≥4， a2－a＋25 2 －3＜a＜4， －7a＋7 2 a≤－3. 1．7 定积分的简单应用 1．7.1 定积分在几何中的应用 [学习目标] 1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接] 1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 2．当 f(x)<0时，f(x)与 x轴所围图形的面积怎样表示？ 答 如图，因为曲边梯形上边界函数为 g(x)＝0，下边界函数为 f(x)，所以 S＝错误!(0－f(x))dx＝－错误!f(x)dx. [预习导引] 曲边梯形面积的表达式 (1)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 S＝错误!f(x)dx. (2)当 x∈[a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠ b)，y＝0和曲线 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积 S＝－错误!f(x)dx. (3)(如图)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>g(x)>0时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝错误![f(x)－g(x)]dx. 要点一 不分割型图形面积的求解 例 1 求由抛物线 y＝x2－4与直线 y＝－x＋2所围成图形的面积． 解 由 y＝x2－4， y＝－x＋2， 得 x＝－3， y＝5 或 x＝2， y＝0， 所以直线 y＝－x＋2与抛物线 y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得 S＝错误!－3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝错误!－3(－x2－x＋6)dx ＝ － 1 3 x3－1 2 x2＋6x |2 －3 ＝ 22 3 － － 27 2 ＝ 125 6 . 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积． 跟踪演练 1 求由曲线 y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成的图形的面积． 解 由 y＝2x－x2， y＝2x2－4x， 得 x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为 S＝错误![(2x－x2)－(2x2－4x)]dx ＝错误!(－3x2＋6x)dx ＝(－x3＋3x2)|2 0 ＝4. 要点二 分割型图形面积的求解 例 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－ 1 3 x所围成图形的面积． 解 法一 画出草图，如图所示． 解方程组 y＝ x， x＋y＝2， y＝ x， y＝－ 1 3 x， 及 x＋y＝2， y＝－ 1 3 x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以 S＝ 错误! x－ － 1 3 x dx＋错误! 2－x－ － 1 3 x dx ＝错误! x＋1 3 x dx＋错误! 2－2 3 x dx ＝ 2 3 x3 2 ＋ 1 6 x2 |1 0 ＋ 2x－1 3 x2 |3 1 ＝ 5 6 ＋6－1 3 ×9－2＋1 3 ＝ 13 6 . 法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为 x＝y2，x＝2－y，x＝－3y. 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以 S＝错误!－1[(2－y)－(－3y)]dy＋错误!0[(2－y)－y2]dy ＝错误!－1(2＋2y)dy＋错误!0(2－y－y2)dy ＝(2y＋y2)| 0 －1 ＋ 2y－1 2 y2－1 3 y3 |1 0 ＝－(－2＋1)＋2－1 2 － 1 3 ＝ 13 6 . 规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线 的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下； 若积分变量选取 x运算较为复杂，可以选 y为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练 2 计算由曲线 y2＝x，y＝x3所围成图形的面积 S. 解 作出曲线 y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组 y2＝x， y＝x3， 得交点横坐标为 x＝0及 x＝1. 因此，所求图形的面积为 S＝错误! xdx－错误!x3dx＝2 3 x3 2| 1 0 － 1 4 x4|1 0 ＝ 2 3 － 1 4 ＝ 5 12 . 要点三 定积分的综合应用 例 3 设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x＋2. (1)求 y＝f(x)的表达式； (2)求 y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c＝0，即 c＝1.故 f(x)＝x2＋2x＋1. (2)画函数 y＝f(x)的图象如图． 由图象知所求面积为 S＝错误!－1(x2＋2x＋1)dx ＝ 1 3 x3＋x2＋x |0 －1 ＝ 1 3 . 规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相 关知识进行融合． 跟踪演练 3 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A处作一切线使之与曲线以及 x轴所围成图形的面积为 1 12 ，试求切点 A的坐标及过切点 A的切线方程． 解 设切点 A(x0，x20)， 切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝2x0. ∴切线方程为 y－x20＝2x0(x－x0)． 令 y＝0，得 x＝x0 2 ， ∴S＝∫ x0 2 0x2dx＋∫x0 x0 2 [x2－(2x0x－x20)]dx＝ 1 12 x30. ∴ 1 12 x30＝ 1 12 ，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1. 1．在下面所给图形的面积 S及相应表达式中，正确的有( ) S＝错误![f(x)－g(x)]dx S＝错误!(2 2x－2x＋8)dx ① ② S＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx S＝错误![g(x)－f(x)]dx＋错误![f(x)－g(x)]dx ③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 答案 D 解析 ①应是 S＝错误![f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝错误!2 2xdx－错误!(2x－8)dx，③和④正确．故选 D. 2．曲线 y＝cos x(0≤x≤3 2 π)与坐标轴所围图形的面积是( ) A．2 B．3 C．5 2 D．4 答案 B 解析 S＝∫ π 2 0cos xdx－∫ 3π 2 π 2 cos xdx＝sin x| π 2 0－sin x|3π 2 π 2 ＝sin π 2 －sin 0－ sin 3π 2 ＋sin π 2 ＝1－0＋1＋1＝3. 3．由曲线 y＝x2与直线 y＝2x所围成的平面图形的面积为________． 答案 4 3 解析 解方程组 y＝2x， y＝x2 ，得 x＝0， y＝0， x＝2， y＝4. ∴曲线 y＝x2与直线 y＝2x交点为(2,4)，(0,0)． ∴S＝错误!(2x－x2)dx＝ x2－1 3 x3 |20＝ 4－8 3 －0＝4 3 . 4．由曲线 y＝x2＋4与直线 y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________． 答案 19 3 解析 由图形可得 S＝错误!(x2＋4－5x)dx＋错误!(5x－x2－4)dx ＝ 1 3 x3＋4x－5 2 x2 |10＋ 5 2 x2－1 3 x3－4x |41 ＝ 1 3 ＋4－5 2 ＋ 5 2 ×42－1 3 ×43－4×4－5 2 ＋ 1 3 ＋4＝19 3 . 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负 或为零；而平面图形的面积总是非负的. 一、基础达标 1． 用 S表示图中阴影部分的面积，则 S的值是( ) A.错误!f(x)dx B.错误! C． 错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx D.错误!f(x)dx－错误!f(x)dx 答案 D 解析 ∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0， ∴阴影部分的面积 S＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx. 2．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( ) A.错误![f(x)－g(x)]dx B．错误![g(x)－f(x)]dx C．错误!|f(x)－g(x)|dx D．错误! 答案 C 解析 当 f(x)＞g(x)时，所求面积为错误![f(x)－g(x)]dx；当 f(x)≤g(x)时，所求面积为错误![g(x)－f(x)]dx.综上，所求面积为错误!|f(x)－g(x)|dx. 3．由曲线 y＝x2－1、直线 x＝0、x＝2和 x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.错误!(x2－1)dx B.错误! C．错误!|x2－1|dx D.错误!(x2－1)dx＋错误!(x2－1)dx 答案 C 解析 y＝|x2－1|将 x 轴下方阴影反折到 x轴上方， 其定积分为正，故应选 C. 4．(2013·北京卷)直线 l过抛物线 C：x2＝4y的焦点且与 y轴垂直，则 l与 C所围成的图形的面积等于( ) A.4 3 B．2 C．8 3 D．16 2 3 答案 C 解析 抛物线 x2＝4y的焦点坐标为(0,1)，因为直线 l过抛物线 C：x2＝4y的焦点且与 y轴垂直，所以直线 l的方程为 y＝1， 由 y＝1 x2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2. 所以直线 l与抛物线围成的封闭图形面积为 错误!－2 1－x2 4 dx＝ x－ 1 12 x3 |2 －2＝ 8 3 .故选 C. 5．由曲线 y＝ x与 y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 错误!( x－x3)dx 解析 画出 y＝ x和 y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积， 解方程组 y＝ x y＝x3 得交点的横坐标为 x＝0及 x＝1.因此，所求图形的面积为 S＝错误!( x－x3)dx. 6．由两条曲线 y＝x2，y＝1 4 x2与直线 y＝1围成平面区域的面积是________． 答案 4 3 解析 如图，y＝1与 y＝x2交点 A(1,1)， y＝1与 y＝x2 4 交点 B(2,1)，由对称性可知面积 S＝2错误!＝4 3 . 7．求曲线 y＝6－x和 y＝ 8x，x＝0围成图形的面积． 解 作出直线 y＝6－x，曲线 y＝ 8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组 y＝6－x y＝ 8x 得直线 y＝6－x与曲线 y＝ 8x交点的坐标为(2,4)，直线 y＝6－x与 x轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S＝S1＋S2＝错误! 8xdx＋错误!(6－x)dx＝ 8×2 3 x3 2 |20 ＋6x－1 2 x2|62＝ 16 3 ＋ 6×6－1 2 ×62 － 6×2－1 2 ×22 ＝ 16 3 ＋8＝40 3 . 二、能力提升 8．(2013·江西改编)设 f(x)＝ x2，x∈[0，1]， 2－x，x∈1，2]， 则 错误!f(x)dx等于( ) A.3 4 B．4 5 C．5 6 D．不存在 答案 C 解析 数形结合，如图，错误!f(x)dx＝错误!x2dx＋错误!(2－x)dx＝ 1 3 x3|10＋ 2x－1 2 x2 |21 ＝ 1 3 ＋ 4－2－2＋1 2 ＝ 5 6 . 9．若两曲线 y＝x2与 y＝cx3(c>0)围成图形的面积是 2 3 ，则 c等于( ) A.1 3 B．1 2 C．1 D．2 3 答案 B 解析 由 y＝x2 y＝cx3 得 x＝0或 x＝1 c . ∵0cx3， ∴S＝∫ 1 c 0(x2－cx3)dx ＝ 1 3 x3－1 4 cx4 |1 c 0 ＝ 1 3c3 － 1 4c3 ＝ 1 12c3 ＝ 2 3 . ∴c3＝1 8 .∴c＝1 2 . 10．从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M取自阴影部分的概率为________． 答案 1 3 解析 根据题意得：S 阴＝错误!3x2dx＝ x3| 1 0 ＝1，则点 M取自阴影部分的概率为 S 阴 S 矩 ＝ 1 3×1 ＝ 1 3 . 11．求抛物线 y＝－x2＋4x－3及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由 y′＝－2x＋4得在点 A、B处切线的斜率分别为 2和－2，则两直线方程分别为 y＝2x－2和 y＝－2x＋6， 由 y＝2x－2， y＝－2x＋6， 得两直线交点坐标为 C(2,2)， ∴S＝S△ABC－错误!f(－x2＋4x－3)dx ＝ 1 2 ×2×2－ － 1 3 x3＋2x2－3x |31＝2－4 3 ＝ 2 3 . 12．设点 P在曲线 y＝x2上，从原点向 A(2,4)移动，如果直线 OP，曲线 y＝x2及直线 x＝2所围成的面积分别记为 S1、S2. (1)当 S1＝S2时，求点 P的坐标； (2)当 S1＋S2有最小值时，求点 P的坐标和最小值． 解 (1)设点 P的横坐标为 t(00. 所以，当 t＝ 2时，S1＋S2有最小值 8 3 － 4 2 3 ，此时点 P的坐标为( 2，2)． 三、探究与创新 13．已知抛物线 y＝x2－2x及直线 x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为 4 3 ，求 a的值． 解 作出 y＝x2－2x的图象如图． (1)当 a<0时， S＝错误!(x2－2x)dx＝ 1 3 x3－x2 |0a＝－ a3 3 ＋a2＝4 3 ， ∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1. (2)当 a>0时，①若 00，∴a＝2.②当 a>2时，不合题意． 综上 a＝－1，或 a＝2. 1.7.2 定积分在物理中的应用 [学习目标] 1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题． 2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． [知识链接] 下列判断正确的是________． (1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 错误!v(t)dt； (3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子 错误!v(t)dt. 答案 (1)(3) 解析 (1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当 v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用 错误!v(t)dt求解；当 v(t)<0时，求某一时间 段内的位移用 错误!v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 －错误!v(t)dt.所以(2)错(3)正确． [预习导引] 1．在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻 t＝a到时刻 t＝b 所经过的路程 s和位移 s′分别为： (1)若 v(t)≥0，则 s＝错误!v(t)dt，s′＝错误!v(t)dt. (2)若 v(t)≤0，则 s＝－错误!v(t)dt，s′＝错误!v(t)dt. (3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上 v(t)<0， 则 s＝错误!v(t)dt－错误!v(t)dt；s′＝错误!v(t)dt. 2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝错误!v(t)dt. (2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F相同的方向移动了 s(单位：m)，则力 F所作的功为 W＝Fs；而若是变力 所做的功 W，等于其力函数 F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即 W＝错误!F(x)dx. 要点一 求变速直线运动的路程、位移 例 1 有一动点 P沿 x轴运动，在时间 t时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x轴正方向一致)．求 (1)P从原点出发，当 t＝6时，求点 P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间 t后又返回原点时的 t值． 解 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4时，P点向 x轴正方向运动，当 t>4时，P点向 x轴负方向运动． 故 t＝6时，点 P离开原点的路程 s1＝错误!(8t－2t2)dt－错误!(8t－2t2)dt ＝ 4t2－2 3 t3 |4 0 － 4t2－2 3 t3 |6 4 ＝ 128 3 . 当 t＝6时，点 P的位移为 错误!(8t－2t2)dt＝ 4t2－2 3 t3 |6 0 ＝0. (2)依题意错误!(8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－2 3 t3＝0， 解得 t＝0或 t＝6， t＝0对应于 P点刚开始从原点出发的情况， t＝6是所求的值． 规律方法 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计 算，否则会出现计算失误． 跟踪演练 1 变速直线运动的物体的速度为 v(t)＝1－t2，初始位置为 x0＝1，求它在前 2秒内所走的路程及 2秒末所在的位置． 解 当 0≤t≤1时，v(t)≥0，当 1≤t≤2时，v(t)<0. 所以前 2秒钟内所走的路程 s＝错误!v(t)dt＋错误![－v(t)]dt ＝错误!(1－t2)dt＋错误!(t2－1)dt ＝ t－1 3 t3 |1 0 ＋ 1 3 t3－t |2 1 ＝2. 2秒末所在的位置 x1＝x0＋错误!v(t)dt＝1＋错误!(1－t2)dt ＝1＋ t－t3 3 |2 0 ＝1＋2－8 3 ＝ 1 3 . 它在前 2秒内所走的路程为 2， 2秒末所在的位置为 x1＝1 3 . 要点二 求变力所作的功 例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为 S)从点 a处推到 b处， 计算在移动过程中，气体压力所做的功． 解 由物理学知识易得，压强 p与体积 V的乘积是常数 k，即 pV＝k. ∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝k V ＝ k xS . ∴作用在活塞上的力 F＝p·S＝ k xS ·S＝k x . ∴所做的功 W＝错误!k x dx＝k·ln x| b a ＝klnb a . 规律方法 解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题． 跟踪演练 2 设有一长为 25 cm的弹簧，若加以 100 N的力，则弹簧伸长到 30 cm，求使弹簧伸长到 40 cm所做的功． 解 设以 x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则 F(x)＝kx. 依题意，使弹簧伸长 5 cm，需力 100 N，即 100＝5k，所以 k＝20，于是 F(x)＝20x. 所以弹簧伸长到 40 cm所做的功即计算由 x＝0到 x＝15所做的功：W＝∫150 20xdx＝10x2|15 0 ＝2 250(N·cm)． 1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为 v＝gt(g为常数)，则电视塔 高为( ) A.5 2 g B．7 2 g C．3 2 g D．2g 答案 C 解析 h＝错误!gtdt＝1 2 gt2| 2 1 ＝ 3 2 g. 2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车 ( ) A．405 B．540 C．810 D．945 答案 A 解析 停车时 v(t)＝0，由 27－0.9t＝0，得 t＝30， ∴s＝∫300 v(t)dt＝∫300 (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)| 30 0 ＝405. 3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋ 25 1＋t (t的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止．在 此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln11 3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 答案 C 解析 由 v(t)＝7－3t＋ 25 1＋t ＝0，解得 t＝4(t＝－ 8 3 舍去)，所以所求的路程为 错误! 7－3t＋ 25 1＋t dt＝ 7t－3 2 t2＋25 ln1＋t |40＝4＋25ln 5，选 C. 4．一个弹簧压缩 x cm可产生 4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的功． 解 设 F(x)＝kx，因为弹簧压缩 x cm可产生 4x N的力，∴k＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为 W＝4错误!xdx＝4× 1 2 x2 |50＝50(N·cm)＝0.5(J)． 1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过 程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能 正负抵消． 2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单 位：m. 一、基础达标 1．一物体沿直线以 v＝2t＋1 (t的单位：s，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在 1～2 s间行进的路程为( ) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m 答案 D 解析 s＝错误!21＝4(m)． 2．一物体从 A处向 B处运动，速度为 1.4t m/s(t为运动的时间)，到 B处时的速度为 35 m/s，则 AB间的距离为( ) A．120 m B．437.5 m C．360 m D．480 m 答案 B 解析 从 A处到 B处所用时间为 25 s．所以|AB|＝ ∫250 1.4tdt＝0.7t2|250 ＝437.5 (m)． 3．以初速度 40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度 v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.160 3 m B．80 3 m C．40 3 m D．20 3 m 答案 A 解析 v＝0时物体达到最高， 此时 40－10t2＝0，则 t＝2 s. 又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s. ∴h＝错误!(40－10t2)dt＝ 40t－10 3 t3 |20＝160 3 (m)． 4．如果 1 N的力使弹簧伸长 1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为( ) A．0.5 J B．1 J C．50 J D．100 J 答案 A 解析 由于弹簧所受的拉力 F(x)与伸长量 x成正比，依题意，得 F(x)＝x，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为 W＝∫100 F(x)dx＝∫100 xdx＝ 1 2 x2|100 ＝50 (N·cm)＝0.5 (J)． 5．汽车以每小时 32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度 a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为 ________． 答案 21.95 m 解析 t＝0时，v0＝32 km/h＝32×1 000 3 600 m/s＝80 9 m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝80 9 －1.8t.停止时，v(t)＝0，则 80 9 －1.8t＝0，得 t＝400 81 s， 所以汽车所走的距离 s＝∫ 400 81 0v(t)dt＝ 80 9 t－1 2 t2×1.8 |400 81 0≈21.95(m)． 6．有一横截面的面积为 4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后 t秒末的流速为 v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则 t＝0到 t＝6这段时间内 流出的水量为________． 答案 144 cm3 解析 由题意可得 t＝0到 t＝6这段时间内流出的水量V＝错误!4(6t－t2)dt＝4错误!60＝144 (cm3)．故 t＝0到 t＝6这段时间内流出的水量为 144 cm3. 7．一物体做变速直线运动，其 v－t曲线如图所示，求该物体在 1 2 s～6 s间的运动路程． 解 由题意，得 v(t)＝ 2t0≤t≤1， 21≤t≤3， 1 3 t＋13≤t≤6， 由变速直线运动的路程公式，可得： s＝错误!v(t)dt＝错误!2tdt＋错误!2dt＋错误! 1 3 t＋1 dt ＝t2| 1 1 2 ＋2t|31＋ 1 6 t2＋t |63＝49 4 (m)． 所以该物体在 1 2 s～6 s间的运动路程是 49 4 m. 二、能力提升 8．一物体在力 F(x)＝ 100≤x≤2 3x＋4x>2 (单位：N)的作用下沿与力 F相同的方向，从 x＝0处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为( ) A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J 答案 B 解析 W＝错误!F(x)dx＝错误!10dx＋错误!(3x＋4)dx＝ 10x|20＋ 3 2 x2＋4x |42＝46(J)． 9．做直线运动的质点在任意位置 x处，所受的力 F(x)＝1＋ex，则质点沿着与 F(x)相同的方向，从点 x1＝0处运动到点 x2＝1处，力 F(x)所做的 功是( ) A．1＋e B．e C．1 e D．e－1 答案 B 解析 W＝错误!F(x)dx＝错误!10＝(1＋e)－1＝e. 10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m处，则克服弹簧力所做的功为________． 答案 1 2 kl2(J) 解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即 F(x)＝kx，其中 k为比例系数．由变力做功公式得 W＝错误!l0 ＝ 1 2 kl2(J)． 11．一物体按规律 x＝bt3作直线运动，其中 x为时间 t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由 x＝0运动到 x＝a时，阻力 所做的功． 解 物体的速度 v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力 F 阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中 k为比例常数，k>0)．当 x＝0 时，t＝0；当 x＝a时，t ＝ a b 1 3 . 所以阻力所做的功为 W 阻＝错误!F 阻dx＝∫ a b 1 3 0kv2·vdt ＝∫ a b 1 3 09kb2t4·3bt2dt＝∫ a b 1 3 027kb3t6dt ＝ 27 7 kb3t7| ab 1 3 0＝ 27 7 kb2 3 ·a7 3 . 12．物体 A以速度 vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体 B也以速度 vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体 A同方向运动，问多长时间物 体 A比 B多运动 5米，此时，物体 A，B运动的距离各是多少？ 解 依题意知物体 A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设 a秒后物体 A比 B多运动 5米，则 A从开始到 a秒 末所走的路程为 sA＝错误!vAdt＝错误!(3t2＋1)dt＝a3＋a； B从开始到 a秒末所走的路程为 sB＝错误!vBdt＝错误!10tdt＝5a2. 由题意得 sA＝sB＋5，即 a3＋a＝5a2＋5，得 a＝5. 此时 sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)． 故 5秒后物体 A比 B多运动 5米，此时，物体 A，B运动的距离分别是 130米和 125米． 三、探究与创新 13．A、B两站相距 7.2 km，一辆电车从 A站开往 B站，电车开出 t s后到达途中 C点，这一段的速度为 1.2t m/s，到 C点的速度为 24 m/s，从 C点到 B站前的 D点以等速行驶，从 D点开始刹车，经 t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在 B站恰好停车，试求： (1)A，C间的距离； (2)B，D间的距离． 解 (1)设 A到 C的时间为 t1 s，则 1.2 t1＝24，解得 t1＝20，则 AC＝∫200 1.2tdt＝0.6t2| 20 0 ＝240m ， 即 A，C间的距离为 240 m. (2)设 D到 B的时间为 t2 s，则 24－1.2t2＝0， 解得 t2＝20，则 BD＝∫200 (24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)| 20 0 ＝240(m)． 即 B、D 间的距离为 240 m． 章末复习 1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比 Δy Δx 的极限，即 lim Δx→0 Δy Δx ＝ lim Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . 函数 y＝f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P的切线方程时应注意： (1)判断 P点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y轴(此时导数不存在)，可得方程为 x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为 f′(x0)． 3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因 此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键． 4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断 函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件． 5．利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的． (2)连续函数 f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也 不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条 件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号． 6．求函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数 f(x)不一定有 最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)． (2)求函数最值的步骤 一般地，求函数 y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点 x0，使 f′(x0)＝0，则 f(x0)是函数的最值. 题型一 应用导数解决与切线相关的问题 根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题． 例 1 (2013·福建)已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)当 a＝2时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值． 解 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x . (1)当 a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2 x (x＞0)， ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1， ∴y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. (2)由 f′(x)＝1－a x ＝ x－a x ，x＞0. ①当 a≤0时，f′(x)＞0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； ②当 a＞0时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a； ∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0 ∴f(x)在 x＝a处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上当 a≤0时，函数 f(x)无极值；当 a＞0时，函数 f(x)在 x＝a处取得极小值 a－aln a，无极大值． 跟踪演练 1 已知曲线 C的方程是 y＝x3－3x2＋2x. (1)求曲线在 x＝1处的切线方程； (2)若 l2：y＝kx，且直线 l2与曲线 C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线 l2的方程及切点坐标． 解 (1)∵y′＝3x2－6x＋2， ∴y′|x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1. ∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)． ∴直线 l1的方程为 y＝－(x－1)， 即 l1的方程为 x＋y－1＝0. (2)直线 l2过原点，则 k＝y0 x0 (x0≠0)， 由点(x0，y0)在曲线 C上，得 y0＝x30－3x20＋2x0， ∴ y0 x0 ＝x20－3x0＋2. ∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x20－6x0＋2. 又 k＝y0 x0 ，∴3x20－6x0＋2＝y0 x0 ＝x20－3x0＋2， 整理得 2x20－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝ 3 2 ， 此时 y0＝－ 3 8 ，k＝－ 1 4 ， 因此直线 l2的方程为 y＝－ 1 4 x，切点坐标为 3 2 ，－ 3 8 . 题型二 利用导数求函数的单调区间 在区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内单 调递减． 例 2 已知函数 f(x)＝x－2 x ＋a(2－ln x)，a＞0.讨论 f(x)的单调性． 解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝1＋2 x2 － a x ＝ x2－ax＋2 x2 . 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ＜0即 0＜a＜2 2时，对一切 x＞0都有 f′(x)＞0.此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2，有 f′(x)＝0，对其余的 x＞0都有 f′(x)＞0.此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当Δ＞0即 a＞2 2时，方程 g(x)＝0有两个不同的实根 x1＝ a－ a2－8 2 ，x2＝ a＋ a2－8 2 ，0＜x1＜x2. 当 x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 此时 f(x)在 0，a－ a2－8 2 上单调递增， 在 a－ a2－8 2 ， a＋ a2－8 2 上单调递减， 在 a＋ a2－8 2 ，＋∞ 上单调递增． 跟踪演练 2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)； (2)f(x)＝x(x－a)2. 解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令 f′(x)＞0，解得 x＞2，又 x∈(0，＋∞)， 所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)． (2)函数 f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为 R， 由 f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得 x1＝a 3 ，x2＝a. ①当 a>0时，x1x2， ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，a)， a 3 ，＋∞ ， 单调递减区间为 a，a 3 . ③当 a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数 f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即 f(x)在 R上是递增的． 综上，a>0时，函数 f(x)的单调递增区间为 －∞， a 3 ，(a，＋∞)，单调递减区间为 a 3 ，a . a<0时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，a)， a 3 ，＋∞ ，单调递减区间为 a，a 3 . a＝0时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝0的根； (3)检验 f′(x)＝0的根的两侧 f′(x)的符号． 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是 f(x)的极值点． 2．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与 f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当 f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当 f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处 f(x)有极大(或 极小)值，则可以断定 f(x)在该点处取得最大(最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例 3 已知函数 f(x)＝1 2 x2－aln x(a∈R), (1)若 f(x)在 x＝2时取得极值，求 a的值； (2)求 f(x)的单调区间； (3)求证：当 x＞1时， 1 2 x2＋ln x＜2 3 x3. (1)解 f′(x)＝x－a x ，因为 x＝2是一个极值点，所以 2－a 2 ＝0，则 a＝4.此时 f′(x)＝x－4 x ＝ x＋2x－2 x ，因为 f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以 当 x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当 x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当 a＝4时，x＝2是一个极小值点，故 a＝4. (2)解 因为 f′(x)＝x－a x ＝ x2－a x ，所以当 a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 当 a＞0时，f′(x)＝x－a x ＝ x2－a x ＝ x＋ ax－ a x ，所以函数 f(x)的单调递增区间( a，＋∞)；递减区间为(0， a)． (3)证明 设 g(x)＝2 3 x3－1 2 x2－ln x，则 g′(x)＝2x2－x－1 x ，因为当 x＞1时，g′(x)＝x－12x2＋x＋1 x ＞0，所以 g(x)在 x∈(1，＋∞)上是增函数， 所以 g(x)＞g(1)＝1 6 ＞0，所以当 x＞1时， 1 2 x2＋ln x＜2 3 x3. 跟踪演练 3 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点 P(1,0)，且在点 P处的切线与直线 3x＋y＝0平行． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在区间[0，t](00.要使 g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则 g1≥0， g2<0， g3≥0， 解得－20， f3≤0， 即 － 1 3 ＋b≤0， b>0， －1＋b≤0， 解得 00，且 2 Sn＝an＋1. 解 (1)由已知可得 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想 an＝2n＋1－1，n∈N*. (2)由已知可得 a1＝a， a2＝ 1 2－a1 ＝ 1 2－a ，a3＝ 1 2－a2 ＝ 2－a 3－2a ， a4＝ 1 2－a3 ＝ 3－2a 4－3a . 猜想 an＝ n－1－n－2a n－n－1a (n∈N*)． (3)∵2 Sn＝an＋1，∴2 S1＝a1＋1，即 2 a1＝a1＋1， ∴a1＝1.又 2 S2＝a2＋1， ∴2 a1＋a2＝a2＋1，∴a22－2a2－3＝0. ∵对一切的 n∈N*，an>0， ∴a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7， 猜想出 an＝2n－1(n∈N*)． 要点二 类比推理的应用 例 2 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c分别为角 A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间 四面体性质的猜想． 解 如右图所示，在四面体 P－ABC中，设 S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面 PAB，面 PBC， 面 PCA与底面 ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平 面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论． (2)平面图形与空间图形类比 平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形 四面体 跟踪演练 2 已知 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上的一点，过 P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在 y2＝2px两边同时对 x求导，得 2yy′＝2p，则 y′＝ p y ，所以过 P的切线的斜率 k＝p y0 .类比上述方法求出双曲线 x2－y2 2 ＝1在 P( 2， 2)处的切线方程为________． 答案 2x－y－ 2＝0 解析 将双曲线方程化为 y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对 x求导得 2yy′＝4x，则 y′＝ 2x y ，即过 P的切线的斜率 k＝2x0 y0 ，由于 P( 2， 2)，故切线斜率 k＝2 2 2 ＝2，因此切线方程为 y－ 2＝2(x－ 2)，整理得 2x－y－ 2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例 3 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这 个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表： 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 解 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边 四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于 第四个面的面积的 1 4 ，且平行于第四个面 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的 球心 规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题 的重要方法． 跟踪演练 3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的 正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A．① B．①② C．①②③ D． ③ 答案 C 解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均 符合推理结论，故均正确． 1．下列说法正确的是( ) A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B 解析 根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论． 2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36颗珠子应是什么颜色( ) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 答案 A 解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余 1.∴第 36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …………………… 按照以上排列的规律，第 n行(n≥3)从左向右的第 3个数为________． 答案 n2－n＋6 2 解析 前 n－1行共有正整数 1＋2＋…＋(n－1)个， 即 n2－n 2 个， 因此第 n行第 3个数是全体正整数中第 n2－n 2 ＋3个，即为 n2－n＋6 2 . 4．观察下列各式 9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…. 这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n表示正整数，用关于 n的等式表示为________． 答案 (n＋2)2－n2＝4n＋4 解析 由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4. 1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之 前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为： 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 . 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理， 或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似 特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推 理. 一、基础达标 1．数列 5,9,17,33，x，…中的 x等于( ) A．47 B．65 C．63 D．128 答案 B 解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65. 2．根据给出的数塔猜测 123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 … A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 答案 B 解析 由数塔猜测应是各位都是 1的七位数，即 1 111 111. 3．设 0<θ<π 2 ，已知 a1＝2cos θ，an＋1＝ 2＋an，猜想 an＝( ) A．2cos θ 2n B．2cos θ 2n－1 C．2cos θ 2n＋1 D．2 sin θ 2n 答案 B 解析 法一 ∵a1＝2cos θ， a2＝ 2＋2cos θ＝2 1＋cos θ 2 ＝2cos θ 2 ， a3＝ 2＋a2＝2 1＋cos θ 2 2 ＝2cos θ 4 ，…， 猜想 an＝2cos θ 2n－1 . 法二 验 n＝1时，排除 A、C、D，故选 B. 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( ) A．一条中线上的点，但不是中心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心 答案 D 解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心． 5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或 152) 解析 观察前 3个等式发现等式左边分别是从 1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第 四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 … 照此规律，第 n个等式为________． 答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 7．在△ABC中，若∠C＝90°，则 cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想． 解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥 P－ABC中，三个侧面 PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”． 证明 设 P在平面 ABC的射影为 O，延长 CO交 AB于 M，记 PO＝h， 由 PC⊥PA，PC⊥PB得 PC⊥面 PAB，从而 PC⊥PM，又∠PMC＝α， cos α＝sin∠PCO＝ h PC ，cos β＝ h PA ，cos γ＝ h PB ∵VP－ABC＝ 1 6 PA·PB·PC＝1 3 1 2 PA·PBcos α＋ 1 2 PB· PCcos β＋1 2 PC·PAcos γ ·h， ∴ cos α PC ＋ cos β PA ＋ cos γ PB h＝1 即 cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1. 二、能力提升 8．设△ABC的三边长分别为 a、b、c，△ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r＝ 2S a＋b＋c ，类比这个结论可知：四面体 S－ABC的四个面的 面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径为 r，四面体 S－ABC的体积为 V，则 r＝( ) A. V S1＋S2＋S3＋S4 B． 2V S1＋S2＋S3＋S4 C． 3V S1＋S2＋S3＋S4 D． 4V S1＋S2＋S3＋S4 答案 C 解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O为顶点，分别以四个面为底面的 4个三棱锥体积 的和．则四面体的体积为 V 四面体 A－BCD＝ 1 3 (S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝ 3V S1＋S2＋S3＋S4 . 9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1,3,6,10，…，第 n个三角形数为 nn＋1 2 ＝ 1 2 n2＋1 2 n.记第 n个 k边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k边形数中第 n个数的表达式： 三角形数 N(n,3)＝1 2 n2＋1 2 n 正方形数 N(n,4)＝n2 五边形数 N(n,5)＝3 2 n2－1 2 n 六边形数 N(n,6)＝2n2－n …… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝________. 答案 1 000 解析 由归纳推理可知：n2和 n前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以 N(n，k)＝k－2 2 n2－1 2 n(k－4)， 所以 N(10,24)＝24－2 2 ×102－1 2 ×10(24－4)＝1 100－100＝1 000. 10．(2013·陕西)观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 … 照此规律， 第 n个等式可为________． 答案 12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝－1n＋1 2 n(n＋1) 解析 分 n为奇数、偶数两种情况． 当 n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－ nn＋1 2 . 当 n为奇数时，第 n个等式＝－ nn－1 2 ＋n2＝nn＋1 2 . 综上，第 n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝－1n＋1 2 n(n＋1)． 11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－1 2 sin 30°＝1－1 4 ＝ 3 4 . (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4 . 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋3 4 cos2α＋ 3 2 sin αcos α＋1 4 sin2α－ 3 2 sin αcos α－1 2 sin2α＝3 4 sin2α＋3 4 cos2α＝3 4 . 12．(1)椭圆 C：x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)与 x轴交于 A、B两点，点 P是椭圆 C上异于 A、B的任意一点，直线 PA、PB分别与 y轴交于点 M、N，求 证：AN→ ·BM→为定值 b2－a2. (2)类比(1)可得如下真命题：双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)与 x轴交于 A、B两点，点 P是双曲线 C上异于 A、B的任意一点，直线 PA、PB分别 与 y轴交于点 M、N，求证AN→ ·BM→为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点 P(x0，y0)，(x0≠±a) 依题意，得 A(－a,0)，B(a,0)， 所以直线 PA的方程为 y＝ y0 x0＋a (x＋a)． 令 x＝0，得 yM＝ ay0 x0＋a ， 同理得 yN＝－ ay0 x0－a ，所以 yMyN＝ a2y20 a2－x20 . 又点 P(x0，y0)在椭圆上，所以 x20 a2 ＋ y20 b2 ＝1， 因此 y20＝b2 a2 (a2－x20)，所以 yMyN＝ a2y20 a2－x20 ＝b2. 因为AN→＝(a，yN)，BM→＝(－a，yM)， 所以AN→ ·BM→＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)． 三、探究与创新 13. 如图，在长方形 ABCD中，对角线 AC与两邻边所成的角分别为α、β，则 cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想． 解 在长方形 ABCD中，cos2α＋cos2β＝ a c 2＋ b c 2＝ a2＋b2 c2 ＝ c2 c2 ＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ m l 2＋ n l 2＋ g l 2＝ m2＋n2＋g2 l2 ＝ l2 l2 ＝1. 2.1.2 演绎推理 [学习目标] 1．理解演绎推理的意义． 2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系． [知识链接] 1．演绎推理的结论一定正确吗？ 答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确． 2．如何分清大前提、小前提和结论？ 答 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时 我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一 般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义． 3．演绎推理一般是怎样的模式？ 答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原 理，对特殊情况做出的判断． [预习导引] 1．演绎推理 含义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理 特点 由一般到特殊的推理 2.三段论 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是 P 小前提 所研究的特殊情况 S是 M 结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S是 P 要点一 用三段论的形式表示演绎推理 例 1 把下列演绎推理写成三段论的形式． (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到 100℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被 2整除，2100＋1是奇数，所以 2100＋1不能被 2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此 y＝tan α是周期函数． 解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100℃，大前提 在一个标准大气压下把水加热到 100℃，小前提 水会沸腾．结论 (2)一切奇数都不能被 2整除，大前提 2100＋1是奇数，小前提 2100＋1不能被 2整除．结论 (3)三角函数都是周期函数，大前提 y＝tan α是三角函数，小前提 y＝tan α是周期函数．结论 规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个 命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一 个使结论成立的充分条件作为大前提． 跟踪演练 1 试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行； (2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热； (3)一次函数是单调函数，函数 y＝2x－1是一次函数，所以 y＝2x－1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式 an＝pn＋q(p，q是常数)，数列 1,2,3，…，n是等差数列，所以数列 1,2,3，…，n的通项具有 an＝pn＋q的形 式． 解 (1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行； 小前提：海王星是太阳系里的大行星； 结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行． (2)大前提：所有导体通电时发热； 小前提：铁是导体； 结论：铁通电时发热． (3)大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数 y＝2x－1是一次函数； 结论：y＝2x－1是单调函数． (4)大前提：等差数列的通项公式具有形式 an＝pn＋q； 小前提：数列 1,2,3，…，n是等差数列； 结论：数列 1,2,3，…，n的通项具有 an＝pn＋q的形式． 要点二 演绎推理的应用 例 2 正三棱柱 ABC－A1B1C1的棱长均为 a，D、E分别为 C1C与 AB的中点，A1B交 AB1于点 G. (1)求证：A1B⊥AD； (2)求证：CE∥平面 AB1D. 证明 (1)连接 BD. ∵三棱柱 ABC－A1B1C1是棱长均为 a的正三棱柱， ∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1. ∵D是 C1C的中点， ∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G为 A1B的中点，∴A1B⊥DG， 又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面 AB1D. 又∵AD⊂平面 AB1D，∴A1B⊥AD. (2)连接 GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC，∴GE∥DC， ∵GE＝DC＝1 2 a，∴四边形 GECD为平行四边形，∴CE∥GD. 又∵CE⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D， ∴CE∥平面 AB1D. 规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略． (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论 会作为下一个三段论的前提． 跟踪演练 2 求证：函数 y＝2x－1 2x＋1 是奇函数，且在定义域上是增函数． 证明 y＝2x＋1－2 2x＋1 ＝1－ 2 2x＋1 ， 所以 f(x)的定义域为 R. f(－x)＋f(x)＝ 1－ 2 2－x＋1 ＋ 1－ 2 2x＋1 ＝2－ 2 2x＋1 ＋ 2 2－x＋1 ＝2－ 2 2x＋1 ＋ 2·2x 2x＋1 ＝2－22x＋1 2x＋1 ＝2－2＝0. 即 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数． 任取 x1，x2∈R，且 x10，则数列 bn＝ n a1a2…an(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差 数列的一个什么性质？并证明你的结论． 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列 bn＝ a1＋a2＋…＋an n 也是等差数列． 证明如下： 设等差数列{an}的公差为 d，则 bn＝ a1＋a2＋…＋an n ＝ na1＋ nn－1d 2 n ＝a1＋d 2 (n－1)， 所以数列{bn}是以 a1为首项， d 2 为公差的等差数列． 1．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° B．某校高三 1班有 55人，2班有 54人，3班有 52人，由此得高三所有班人数超过 50人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝ 1 2 an－1＋ 1 an－1 (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 答案 A 解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理． 2．“因为对数函数 y＝logax是增函数(大前提)，又 y＝log1 3 x是对数函数(小前提)，所以 y＝log 1 3 x是增函数(结论)．”下列说法正确的是( ) A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A 解析 y＝logax是增函数错误．故大前提错． 3．把“函数 y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y＝x2＋x＋1是二次函数 函数 y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线 4． “如图，在△ABC中，AC>BC，CD是 AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”． 证明：在△ABC中 ， 因为 CD⊥AB，AC>BC， ① 所以 AD>BD， ② 于是∠ACD>∠BCD. ③ 则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 答案 ③ 解析 由 AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而 AD与 BD不在同一三 角形中，故③错误． 1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确． 2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提. 一、基础达标 1．下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 答案 D 解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确． 2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手 足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 答案 C 解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( ) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 答案 C 解析 由于函数 f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确． 4．“∵四边形 ABCD是矩形，∴四边形 ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 利用三段论分析： 大前提：矩形都是对角线相等的四边形； 小前提：四边形 ABCD是矩形； 结论：四边形 ABCD的对角线相等． 5．三段论：“①小宏在 2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在 2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在 2013 年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)． 答案 ③ 解析 在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论． 6．在求函数 y＝ log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当 a有意义时，a≥0；小前提是 log2x－2有意义；结论是________． 答案 y＝ log2x－2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知 log2x－2≥0，解得 x≥4. 7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90°. 证明 因为任意三角形内角之和为 180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为 180°(结论)． 设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小 前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)． 二、能力提升 8．“所有 9的倍数(M)都是 3的倍数(P)，某奇数(S)是 9的倍数(M)，故某奇数(S)是 3的倍数(P)．”上述推理是( ) A．小前提错 B．结论错 C．正确的 D．大前提错 答案 C 解析 由三段论推理概念知推理正确． 9．已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 l⊥α，m⊥β且 l∥m，则α∥β； ③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α. 其中正确的命题个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与 n相交时才成立，③错误；④正确．故选 B. 10．已知函数 f(x)满足：f(1)＝1 4 ，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则 f(2 010)＝________. 答案 1 2 解析 令 y＝1得 4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1) 即 f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ① 令 x取 x＋1则 f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ② 由①②得 f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)， 即 f(x－1)＝－f(x＋2)， ∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)， ∴f(x)＝f(x＋6)， 即 f(x)周期为 6， ∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0) 对 4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令 x＝1，y＝0，得 4f(1)f(0)＝2f(1)， ∴f(0)＝1 2 ，即 f(2 010)＝1 2 . 11．用演绎推理证明函数 f(x)＝|sin x|是周期函数． 证明 大前提：若函数 y＝f(x)对于定义域内的任意一个 x值满足 f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期． 小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)． 结论：函数 f(x)＝|sin x|是周期函数． 12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC.求证：AB⊥BC. 证明 如图，作 AE⊥SB于 E. ∵平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝SB.AE⊂平面 SAB. ∴AE⊥平面 SBC， 又 BC⊂平面 SBC. ∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面 ABC， ∴SA⊥BC. ∵SA∩AE＝A，SA⊂平面 SAB，AE⊂平面 SAB， ∴BC⊥平面 SAB. ∵AB⊂平面 SAB.∴AB⊥BC. 三、探究与创新 13．设 f(x)＝ax＋a－x 2 ，g(x)＝ax－a－x 2 (其中 a＞0且 a≠1)． (1)5＝2＋3请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由 f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝a3＋a－3 2 a2－a－2 2 ＋ a3－a－3 2 a2＋a－2 2 ＝ a5－a－5 2 ， 又 g(5)＝a5－a－5 2 因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)． (2)由 g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即 g(2＋3)＝ f(3)g(2)＋g(3)f(2)， 于是推测 g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)． 证明 因 f(x)＝ax＋a－x 2 ，g(x)＝ax－a－x 2 (大前提)， 所以 g(x＋y)＝ax＋y－a－x＋y 2 ，g(y)＝ay－a－y 2 ，f(y)＝ay＋a－y 2 (小前提及结论)， 所以 f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝ax＋a－x 2 ·a y－a－y 2 ＋ ax－a－x 2 ay＋a－y 2 ＝ ax＋y－a－x＋y 2 ＝g(x＋y). 2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法 [学习目标] 1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法． 2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接] 1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不 同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式 a＋b 2 ≥ ab(a>0，b>0)是怎样证明的？ 答 要证 a＋b 2 ≥ ab， 只需证 a＋b≥2 ab， 只需证 a＋b－2 ab≥0， 只需证( a－ b)2≥0， 因为( a－ b)2≥0显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止． 要点一 综合法的应用 例 1 在△ABC中，三个内角 A、B、C对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形． 证明 由 A、B、C成等差数列，有 2B＝A＋C. ① 因为 A、B、C为△ABC的内角，所以 A＋B＋C＝π. ② 由①②，得 B＝π 3 . ③ 由 a、b、c成等比数列，有 b2＝ac.④ 由余弦定理及③， 可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④，得 a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此 a＝c， 从而有 A＝C.⑤ 由②③⑤，得 A＝B＝C＝π 3 .所以△ABC为等边三角形． 规律方法 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论， 确定恰当的解题方法． (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的 逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 跟踪演练 1 已知 a，b是正数，且 a＋b＝1，求证： 1 a ＋ 1 b ≥4. 证明 法一 ∵a，b是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤1 2 ，∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b ab ＝ 1 ab ≥4. 法二 ∵a，b是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1 a ＋ 1 b ≥2 1 ab >0， ∴(a＋b) 1 a ＋ 1 b ≥4. 又 a＋b＝1，∴ 1 a ＋ 1 b ≥4. 法三 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b a ＋ a＋b b ＝1＋b a ＋ a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当 a＝b时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用 例 2 设 a，b为实数，求证： a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)． 证明 当 a＋b≤0时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)成立． 当 a＋b>0时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥ 2 2 a＋b 2， 即证 a2＋b2≥1 2 (a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语． 跟踪演练 2 已知 a，b是正实数，求证： a b ＋ b a ≥ a＋ b. 证明 要证 a b ＋ b a ≥ a＋ b， 只要证 a a＋b b≥ ab·( a＋ b)． 即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)， 因为 a，b是正实数， 即证 a＋b－ ab≥ ab， 也就是要证 a＋b≥2 ab， 即( a－ b)2≥0. 该式显然成立，所以 a b ＋ b a ≥ a＋ b. 要点三 综合法和分析法的综合应用 例 3 已知 a、b、c是不全相等的正数，且 0abc. 由公式 a＋b 2 ≥ ab>0，b＋c 2 ≥ bc>0，a＋c 2 ≥ ac>0， 又∵a，b，c是不全相等的正数， ∴ a＋b 2 ·b＋c 2 ·a＋c 2 > a2b2c2＝abc. 即 a＋b 2 ·b＋c 2 ·a＋c 2 >abc成立． ∴logx a＋b 2 ＋logx b＋c 2 ＋logx a＋c 2 x>0，且 x＋y＝1，那么( ) A．xx>0，且 x＋y＝1，∴设 y＝3 4 ，x＝1 4 ， 则 x＋y 2 ＝ 1 2 ，2xy＝3 8 ，∴x<2xyb>0时，才有 a2>b2， ∴只需证： 2＋ 7< 6＋ 3， 只需证：( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2. 3．求证： 1 log519 ＋ 2 log319 ＋ 3 log219 <2. 证明 因为 1 logba ＝logab，所以左边 ＝log195＋2log193＋3log192 ＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360b，则 ac2>bc2 B．若 a c >b c ，则 a>b C．若 a3>b3且 ab<0，则 1 a >1 b D．若 a2>b2且 ab>0，则 1 a <1 b 答案 C 解析 对于 A：若 c＝0，则 A不成立，故 A错；对于 B：若 c<0，则 B不成立，B错；对于 C：若 a3>b3且 ab<0，则 a>0 b<0 ，所以 1 a >1 b ，故 C 对；对于 D：若 a<0 b<0 ，则 D不成立． 2．A、B为△ABC的内角，A>B是 sin A>sin B的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 答案 C 解析 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，又 A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B. 3．已知直线 l，m，平面α，β，且 l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则 l⊥m；②若 l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则 l⊥m；④若 l∥m， 则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 若 l⊥α，m⊂β，α∥β，则 l⊥β，所以 l⊥m，①正确； 若 l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若 l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与 m可能平行或异面，③不正确； 若 l⊥α，m⊂β，l∥m，则 m⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设 a，b∈R＋，且 a≠b，a＋b＝2，则必有( ) A．1≤ab≤a2＋b2 2 B．ab<1ab. 又因为 a＋b＝2>2 ab， 故 ab<1，a2＋b2 2 ＝ a＋b2－2ab 2 ＝2－ab>1，即 a2＋b2 2 >1>ab. 5．要证明 3＋ 7<2 5，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法 6．设 a＝ 2，b＝ 7－ 3，c＝ 6－ 2，则 a，b，c的大小关系为________． 答案 a>c>b 解析 ∵a2－c2＝2－(8－4 3)＝4 3－6＝ 48－ 36>0，∴a>c.∵c b ＝ 6－ 2 7－ 3 ＝ 7＋ 3 6＋ 2 ＞1，∴c＞b. 7．设 a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明 法一 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)． 因为 a≥b>0，所以 a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0， 所以 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 法二 要证 3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证 3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0， 只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升 8．设 0 2x＝a，∴a0 B．ab<0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0 答案 C 解析 ∵ a b 与 b a 同号，由 a b ＋ b a ≤－2，知 a b <0，b a <0， 即 ab<0.又若 ab<0，则 a b <0，b a <0. ∴ a b ＋ b a ＝－ － a b ＋ － b a ≤ －2 － a b · － b a ＝－2， 综上，ab<0是a b ＋ b a ≤－2成立的充要条件， ∴a>0，b<0是a b ＋ b a ≤－2成立的一个充分而不必要条件． 10． 如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件________时，有 A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可， 不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直 解析 本题答案不唯一，要证 A1C⊥B1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1⊥CC1，故只需证 B1D1⊥A1C1即可． 11．已知 a＞0，b＞0，1 b － 1 a ＞1.求证： 1＋a＞ 1 1－b . 证明 要证 1＋a＞ 1 1－b 成立， 只需证 1＋a＞ 1 1－b ， 只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即 1－b＋a－ab＞1， ∴a－b＞ab，只需证： a－b ab ＞1，即 1 b － 1 a ＞1. 由已知 a＞0，1 b － 1 a ＞1成立， ∴ 1＋a＞ 1 1－b 成立． 12．求证抛物线 y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x＝－ p 2 相切． 证明 如图，作 AA′、BB′垂直准线，取 AB的中点 M，作 MM′垂直准线．要证明以 AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝1 2 |AB|， 由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝1 2 (|AA′|＋|BB′|) 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x＝－ p 2 相切． 三、探究与创新 13．(2013·广东)设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a1＝1，2Sn n ＝an＋1－ 1 3 n2－n－2 3 ，n∈N*. (1)求 a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an ＜ 7 4 . (1)解 当 n＝1时， 2S1 1 ＝2a1＝a2－ 1 3 －1－2 3 ＝2，解得 a2＝4. (2)解 2Sn＝nan＋1－ 1 3 n3－n2－2 3 n ① 当 n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1 3 (n－1)3－(n－1)2－2 3 (n－1) ② ①－②得 2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n 整理得 nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即 an＋1 n＋1 ＝ an n ＋1， an＋1 n＋1 － an n ＝1，当 n＝1时， a2 2 － a1 1 ＝2－1＝1. 所以数列 an n 是以 1为首项，1为公差的等差数列． 所以 an n ＝n，即 an＝n2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*. (3)证明 因为 1 an ＝ 1 n2 ＜ 1 n－1n ＝ 1 n－1 － 1 n (n≥2)， 所以 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an ＝ 1 12 ＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2 ＜1＋1 4 ＋ 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 n－1 － 1 n ＝1＋1 4 ＋ 1 2 － 1 n ＝ 7 4 － 1 n ＜ 7 4 . 2.2.2 反证法 [学习目标] 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． [知识链接] 1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定 与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对． 2．反证法主要适用于什么情形？ 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． [预习导引] 1．反证法定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例 1 已知 x，y>0，且 x＋y>2. 求证： 1＋x y ， 1＋y x 中至少有一个小于 2. 证明 假设 1＋x y ， 1＋y x 都不小于 2， 即 1＋x y ≥2，1＋y x ≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2与已知 x＋y>2矛盾． ∴ 1＋x y ， 1＋y x 中至少有一个小于 2. 规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论 的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误． 跟踪演练 1 已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明 假设 a，b，c，d都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 这与已知 ac＋bd>1矛盾， ∴a，b，c，d中至少有一个是负数． 要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题 例 2 求证对于直线 l：y＝kx＋1，不存在这样的实数 k，使得 l与双曲线 C：3x2－y2＝1的交点 A、B关于直线 y＝ax(a为常数)对称． 证明 假设存在实数 k，使得 A、B关于直线 y＝ax对称，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线 l：y＝kx＋1与直线 y＝ax垂直；(2)点 A、B在 直线 l：y＝kx＋1上；(3)线段 AB的中点 x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 在直线 y＝ax上，所以 ka＝－1 ① y1＋y2＝kx1＋x2＋2 ② y1＋y2 2 ＝ax1＋x2 2 ③ 由 y＝kx＋1， y2＝3x2－1， 得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④ 当 k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得 a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤ 由④知 x1＋x2＝ 2k 3－k2 ，代入⑤整理得： ak＝3，这与①矛盾． 所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B关于直线 y＝ax对称． 规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会 相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”) 证明，而用反证法有时比用同一法更方便． 跟踪演练 2 求证方程 2x＝3有且只有一个根． 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程 2x＝3有根．下面用反证法证明方程 2x＝3的根是唯一的： 假设方程 2x＝3至少有两个根 b1，b2(b1≠b2)， 则 2b1＝3,2b2＝3， 两式相除得 2b1－b2＝1. 若 b1－b2>0，则 2b1－b2>1，这与 2b1－b2＝1相矛盾． 若 b1－b2<0，则 2b1－b2<1，这也与 2b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则 b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证． 要点三 用反证法证明否定性命题 例 3 等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an与前 n项和 Sn； (2)设 bn＝Sn n (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解 设公差为 d，由已知得 a1＝ 2＋1， 3a1＋3d＝9＋3 2， ∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)． (2)证明 由(1)得 bn＝ Sn n ＝n＋ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则 b2q＝bpbr， 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴ q2－pr＝0， 2q－p－r＝0， ∴ p＋r 2 2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与 p≠r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直 线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进 行推理，就不是反证法． 跟踪演练 3 已知 f(x)＝ax＋x－2 x＋1 (a>1)，证明方程 f(x)＝0没有负数根． 证明 假设 x0是 f(x)＝0的负数根，则 x0<0且 x0≠－1且 ax0＝－ x0－2 x0＋1 ，由 0b C．a＝b D．a＝b或 a>b 答案 D 4．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( ) A．a不垂直于 c B．a，b都不垂直于 c C．a⊥b D．a与 b相交 答案 D 5．已知 a是整数，a2是偶数，求证 a也是偶数． 证明 (反证法)假设 a不是偶数，即 a是奇数． 设 a＝2n＋1(n∈Z)，则 a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶数， ∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知 a2是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a一定是偶数． 1．反证法证明的基本步骤 (1)假设命题结论的反面是正确的；(反设) (2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论) 2．用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾 必须是明显的. 一、基础达标 1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( ) ①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 答案 D 2．已知 a，b是异面直线，直线 c平行于直线 a，那么 c与 b的位置关系为( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案 C 解析 假设 c∥b，而由 c∥a，可得 a∥b，这与 a，b异面矛盾，故 c与 b不可能是平行直线．故应选 C. 3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或 x0，x1≠1且 xn＋1＝ xn·x2n＋3 3x2n＋1 (n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数 n都满足 xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A．对任意的正整数 n，有 xn＝xn＋1 B．存在正整数 n，使 xn＝xn＋1 C．存在正整数 n，使 xn≥xn＋1 D．存在正整数 n，使 xn≤xn＋1 答案 D 解析 “任意”的反语是“存在一个”． 9．设 a，b，c都是正数，则三个数 a＋1 b ，b＋1 c ，c＋1 a ( ) A．都大于 2 B．至少有一个大于 2 C．至少有一个不小于 2 D．至少有一个不大于 2 答案 C 解析 假设 a＋1 b <2，b＋1 c <2，c＋1 a <2， 则 a＋1 b ＋ b＋1 c ＋ c＋1 a <6. 又 a＋1 b ＋ b＋1 c ＋ c＋1 a ＝ a＋1 a ＋ b＋1 b ＋ c＋1 c ≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一 个不小于 2. 10．若下列两个方程 x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数 a的取值范围是________． 答案 a≤－2或 a≥－1 解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1 或 a>1 3 .Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证 a>0，b>0，c>0. 证明 用反证法： 假设 a，b，c不都是正数，由 abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设 a<0，b<0，c>0，则由 a＋b＋c>0， 可得 c>－(a＋b)， 又 a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b) ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即 ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2 ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即 ab＋bc＋ca<0， 这与已知 ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立． 因此 a>0，b>0，c>0成立． 12．已知 a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于 1 4 . 证明 假设三个式子同时大于 1 4 ， 即(1－a)b>1 4 ，(1－b)c>1 4 ，(1－c)a>1 4 ， 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c> 1 43 ， ① 又因为 0n 2 时，f(2k＋1)比 f(2k)多的项数是________． 答案 2k 解析 观察 f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数， f(2k)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2k ，而 f(2k＋1)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋2k . 因此 f(2k＋1)比 f(2k)多了 2k项． 规律方法 在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清 楚． 跟踪演练 1 设 f(n)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 3n－1 (n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于________． 答案 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 解析 ∵f(n)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ， ∴f(n＋1)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 ， ∴f(n＋1)－f(n)＝ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 . 要点二 证明与自然数 n有关的等式 例 2 已知 n∈N*，证明：1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n . 证明 (1)当 n＝1时，左边＝1－1 2 ＝ 1 2 ，右边＝ 1 2 ， 等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即： 1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k . 则当 n＝k＋1时， 左边＝1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＋ 1 2k＋1－1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 k＋1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋1＋1 ＋ 1 k＋1＋2 ＋…＋ 1 k＋1＋k ＋ 1 2k＋1 ＝右边； 所以当 n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切 n∈N*等式都成立． 规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范； (2)用数学归纳法证题时，要把 n＝k时的命题当作条件，在证 n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当 n＝k＋1时，等式两边的式子与 n＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练 2 用数学归纳法证明： 当 n≥2，n∈N*时， 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 ·…· 1－ 1 n2 ＝ n＋1 2n . 证明 (1)当 n＝2时，左边＝1－1 4 ＝ 3 4 ，右边＝ 2＋1 2×2 ＝ 3 4 ，∴n＝2时等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， 即 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－1 k2 ＝ k＋1 2k ， 那么当 n＝k＋1时， 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－1 k2 1－ 1 k＋12 ＝ k＋1 2k · 1－ 1 k＋12 ＝ k＋12－1 2kk＋1 ＝ k＋2 2k＋1 ＝ k＋1＋1 2k＋1 . ∴当 n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)知，对任意 n≥2，n∈N*，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题 例 3 某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n≥2，数列的前 n项之积为 n2. (1)写出这个数列的前五项； (2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知 a1＝1，由题意得 a1·a2＝22， ∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝32 22 . 同理可得 a4＝42 32 ，a5＝52 42 . 因此这个数列的前五项为 1,4，9 4 ， 16 9 ， 25 16 . (2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： an＝ 1 n＝1， n2 n－12 n≥2， 下面用数学归纳法证明当 n≥2时，an＝ n2 n－12 . ①当 n＝2时，a2＝ 22 2－12 ＝22， 所以等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立， 即 ak＝ k2 k－12 ， 则当 n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2， ∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2. ∴ak＋1＝ k＋12 a1·a2·…·ak－1·ak ＝ k＋12 k－12 · k－12 [k＋1－1]2 ＝ k＋12 [k＋1－1]2 ， 所以当 n＝k＋1时，结论也成立． 根据①②可知，当 n≥2时，这个数列的通项公式是 an＝ n2 n－12 ，∴an＝ 1 n＝1， n2 n－12 n≥2. 规律方法 (1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳 猜想出通项公式 an，并用数学归纳法加以证明． (2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要 灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练 3 数列{an}满足：a1＝ 1 6 ，前 n项和 Sn＝ nn＋1 2 an， (1)写出 a2，a3，a4； (2)猜出 an的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令 n＝2，得 S2＝ 2×2＋1 2 a2， 即 a1＋a2＝3a2，解得 a2＝ 1 12 . 令 n＝3，得 S3＝ 3×3＋1 2 a3， 即 a1＋a2＋a3＝6a3，解得 a3＝ 1 20 . 令 n＝4，得 S4＝ 4×4＋1 2 a4， 即 a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得 a4＝ 1 30 . (2)由(1)的结果猜想 an＝ 1 n＋1n＋2 ，下面用数学归纳法给予证明： ①当 n＝1时，a1＝1 6 ＝ 1 1＋11＋2 ，结论成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即 ak＝ 1 k＋1k＋2 ， 则当 n＝k＋1时，Sk＝ k·k＋1 2 ak， ① Sk＋1＝ k＋1k＋2 2 ak＋1， ② ②与①相减得 ak＋1＝ k＋1k＋2 2 ak＋1－ k·k＋1 2 ak， 整理得 ak＋1＝ k＋1 k＋3 ak＝ k＋1 k＋3 · 1 k＋1k＋2 ＝ 1 k＋2k＋3 ＝ 1 [k＋1＋1][k＋1＋2] ， 即当 n＝k＋1时结论也成立． 由①、②知对于 n∈N*，上述结论都成立． 1．若命题 A(n)(n∈N*)在 n＝k(k∈N*)时命题成立，则有 n＝k＋1时命题成立．现知命题对 n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( ) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立 C．命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案 C 解析 由已知得 n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有 n＝n0＋1时命题成立；在 n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得 n＝(n0＋1)＋1时命题也成 立，依此类推，可知选 C. 2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝ 1－a2n＋2 1－a (a≠1)”．在验证 n＝1时，左端计算所得项为( ) A．1＋a B．1＋a＋a2 C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 答案 C 解析 将 n＝1代入 a2n＋1得 a3，故选 C. 3．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： (1)当 n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当 n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋1 1－2 ＝2k＋1－1.所以当 n＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何 n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由 n＝k成立，证 n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符． 4．当 n∈N*时，Sn＝1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n ，Tn＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n ， (1)求 S1，S2，T1，T2； (2)猜想 Sn与 Tn的关系，并用数学归纳法证明． 解 (1)∵当 n∈N*时，Sn＝1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n ，Tn＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n . ∴S1＝1－1 2 ＝ 1 2 ，S2＝1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＝ 7 12 ， T1＝ 1 1＋1 ＝ 1 2 ，T2＝ 1 2＋1 ＋ 1 2＋2 ＝ 7 12 . (2)猜想 Sn＝Tn(n∈N*)，即 1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n (n∈N*)． 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1时，已证 S1＝T1， ②假设 n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)， 即 1－1 2 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ， 则 Sk＋1＝Sk＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋1 ＝Tk＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 k＋1 － 1 2k＋1 ＝ 1 k＋1＋1 ＋ 1 k＋1＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋1 ＝Tk＋1. 由①，②可知，对任意 n∈N*，Sn＝Tn都成立． 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1； (2)递推是关键：正确分析由 n＝k到 n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 一、基础达标 1．某个命题与正整数有关，如果当 n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得 n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当 n＝5时，该命题成立， 那么可推导出( ) A．当 n＝6时命题不成立 B．当 n＝6时命题成立 C．当 n＝4时命题不成立 D．当 n＝4时命题成立 答案 B 2．一个与正整数 n有关的命题，当 n＝2时命题成立，且由 n＝k时命题成立可以推得 n＝k＋2时命题也成立，则( ) A．该命题对于 n>2的自然数 n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与 k取值无关 D．以上答案都不对 答案 B 解析 由 n＝k时命题成立可以推出 n＝k＋2时命题也成立．且 n＝2，故对所有的正偶数都成立． 3．在应用数学归纳法证明凸 n边形的对角线为 1 2 n(n－3)条时，第一步验证 n等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 答案 C 解析 因为是证凸 n边形，所以应先验证三角形，故选 C. 4．若 f(n)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 2n＋1 (n∈N*)，则 n＝1时 f(n)是( ) A．1 B．1 3 C．1＋1 2 ＋ 1 3 D．以上答案均不正确 答案 C 5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，则当 n＝k＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 解析 由 n＝k到 n＝k＋1等式的左边增加了一项． 6．已知 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n－1 (n∈N*)，则 f(k＋1)＝________. 答案 f(k)＋ 1 3k ＋ 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 － 1 k＋1 7．用数学归纳法证明 1－1 3 1－1 4 1－1 5 … 1－ 1 n＋2 ＝ 2 n＋2 (n∈N*)． 证明 (1)当 n＝1时，左边＝1－1 3 ＝ 2 3 ，右边＝ 2 1＋2 ＝ 2 3 ，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 1－1 3 1－1 4 1－1 5 … 1－ 1 k＋2 ＝ 2 k＋2 ， 当 n＝k＋1时， 1－1 3 1－1 4 1－1 5 … 1－ 1 k＋2 · 1－ 1 k＋3 ＝ 2 k＋2 1－ 1 k＋3 ＝ 2k＋2 k＋2k＋3 ＝ 2 k＋3 ＝ 2 k＋1＋2 ， 所以当 n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对于任意 n∈N*等式都成立． 二、能力提升 8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从 k到 k＋1左端需要增乘的代数式为( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C．2k＋1 k＋1 D．2k＋3 k＋1 答案 B 解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘 2(2k＋1)． 9．已知 f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有 n项，当 n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有 n＋1项，当 n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有 n2－n项，当 n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有 n2－n＋1项，当 n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 答案 D 解析 观察分母的首项为 n，最后一项为 n2，公差为 1， ∴项数为 n2－n＋1. 10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________． 证明：假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即 2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么 2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当 n＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何 n∈N*等式都成立． 答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·nn＋1 2 . 证明 (1)当 n＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×2 2 ＝1，结论成立． (2)假设当 n＝k时，结论成立． 即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·kk＋1 2 ， 那么当 n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·kk＋1 2 ＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k·(k＋1)－k＋2k＋2 2 ＝(－1)k·k＋1k＋2 2 ＝(－1)k＋1－1·k＋1[k＋1＋1] 2 . 即 n＝k＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n都有此结论成立． 12．已知数列{an}的第一项 a1＝5且 Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前 n项和． (1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an的表达式； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． (1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想 an＝ 5 n＝1 5×2n－2 n≥2，n∈N* . (2)证明 ①当 n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时成立， 即 ak＝5×2k－2， 当 n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2. ＝5＋51－2k－1 1－2 ＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2. 故 n＝k＋1时公式也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 5 n＝1 5×2n－2 n≥2，n∈N* . 三、探究与创新 13．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝1－nan(n∈N*)． (1)计算 a1，a2，a3，a4； (2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得 a1＝1 2 ；a2＝1 6 ；a3＝ 1 12 ；a4＝ 1 20 . (2)猜想 an＝ 1 nn＋1 .下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1时，猜想显然成立． ②假设 n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即 ak＝ 1 kk＋1 . 那么，当 n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 即 Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1. 又 Sk＝1－kak＝ k k＋1 ， 所以 k k＋1 ＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 从而 ak＋1＝ 1 k＋1k＋2 ＝ 1 k＋1[k＋1＋1] . 即 n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立. 2.3 数学归纳法(二) [学习目标] 1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题． 2．掌握证明 n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等． [知识链接] 1．数学归纳法的两个步骤有何关系？ 答案 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？ 答案 与正整数 n有关的命题 [预习导引] 1．归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进 行严格证明． 2．数学归纳法 (1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从 n＝k到 n＝k＋1必须用上归纳假设． 要点一 用数学归纳法证明不等式问题 例 1 用数学归纳法证明： 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋…＋ 1 n2 <1－1 n (n≥2，n∈N*)． 证明 (1)当 n＝2时，左式＝ 1 22 ＝ 1 4 ，右式＝1－1 2 ＝ 1 2 . 因为 1 4 <1 2 ，所以不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋…＋ 1 k2 <1－1 k ， 则当 n＝k＋1时， 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋…＋ 1 k2 ＋ 1 k＋12 <1－1 k ＋ 1 k＋12 ＝1－ k＋12－k kk＋12 ＝1－ k2＋k＋1 kk＋12 <1－ kk＋1 kk＋12 ＝1－ 1 k＋1 ， 所以当 n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意 n≥2的正整数，不等式都成立． 规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式． 跟踪演练 1 用数学归纳法证明：对一切大于 1的自然数 n，不等式 1＋1 3 1＋1 5 … 1＋ 1 2n－1 > 2n＋1 2 成立． 证明 (1)当 n＝2时，左＝1＋1 3 ＝ 4 3 ，右＝ 5 2 ，左>右， ∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2且 k∈N*)时，不等式成立，即 1＋1 3 1＋1 5 … 1＋ 1 2k－1 > 2k＋1 2 ， 那么当 n＝k＋1时， 1＋1 3 1＋1 5 … 1＋ 1 2k－1 1＋ 1 2k＋1－1 > 2k＋1 2 ·2k＋2 2k＋1 ＝ 2k＋2 2 2k＋1 ＝ 4k2＋8k＋4 2 2k＋1 > 4k2＋8k＋3 2 2k＋1 ＝ 2k＋3· 2k＋1 2· 2k＋1 ＝ 2k＋1＋1 2 ， ∴n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对一切大于 1的自然数 n，不等式都成立． 要点二 用数学归纳法证明整除性问题 例 2 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被 36整除． 证明 ①当 n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被 36整除． ②假设 n＝k(k∈N*)时，f(k)能被 36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被 36整除，则当 n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由归纳假设 3[(2k＋7)·3k＋9]能被 36整除， 而 3k－1－1是偶数，所以 18(3k－1－1)能被 36整除， 所以 f(k＋1)能被 36整除． 由①②可知，对任意的 n∈N*，f(n)能被 36整除． 规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即 将 n＝k时的项从 n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成 n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与 n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目 的． 跟踪演练 2 用数学归纳法证明 62n－1＋1(n∈N*)能被 7整除． 证明 (1)当 n＝1时，62－1＋1＝7能被 7整除． (2)假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时，62k－1＋1能被 7整除． 那么当 n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被 7整除，35也能被 7整除， ∴当 n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被 7整除． 由(1)，(2)知命题成立． 要点三 用数学归纳法证明几何问题 例 3 用数学归纳法证明凸 n边形的对角线有 1 2 n(n－3)条． 证明 ①当 n＝3时， 1 2 n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确， 即凸 k边形的对角线有 1 2 k(k－3)条， 当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1与不相邻顶点的连线再加 上原 k边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数为 k－2＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝1 2 k(k－3)＋k－1 ＝ 1 2 (k2－k－2) ＝ 1 2 (k＋1)(k－2) ＝ 1 2 (k＋1)[(k＋1)－3] 故当 n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)知，对任意 n≥3，n∈N*，命题成立． 规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由 n＝k到 n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域) 增加了几部分等，或先用 f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文 字说明． 跟踪演练 3 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)＝nn－1 2 . 证明 (1)当 n＝2时，两条直线的交点只有一个，又 f(2)＝1 2 ×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2时，命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何 k条直线的交点个数 f(k)＝1 2 k(k－1)， 那么，当 n＝k＋1时， 任取一条直线 l，除 l以外其他 k条直线的交点个数为 f(k)＝1 2 k(k－1)， l与其他 k条直线交点个数为 k， 从而 k＋1条直线共有 f(k)＋k个交点， 即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝1 2 k(k－1)＋k ＝ 1 2 k(k－1＋2)＝1 2 k(k＋1) ＝ 1 2 (k＋1)[(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1时，命题成立． 由(1)，(2)可知，对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立． 要点四 归纳—猜想—证明 例 4 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)． (1)求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； (2)证明： 1 a1＋b1 ＋ 1 a2＋b2 ＋…＋ 1 an＋bn ＜ 5 12 . (1)解 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1时，由上可得结论成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立． 即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当 n＝k＋1时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1) ＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]， bk＋1＝ a2k＋1 bk ＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2， 所以当 n＝k＋1时，结论也成立． 由①②，可知 an＝n(n＋1)， bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立． (2)证明 1 a1＋b1 ＝ 1 6 ＜ 5 12 . n≥2时，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故 1 a1＋b1 ＋ 1 a2＋b2 ＋…＋ 1 an＋bn ＜ 1 6 ＋ 1 2 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 nn＋1 ＝ 1 6 ＋ 1 2 1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝ 1 6 ＋ 1 2 1 2 － 1 n＋1 ＜ 1 6 ＋ 1 4 ＝ 5 12 . 综上，原不等式成立． 规律方法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索 出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作 用． 跟踪演练 4 已知数列 1 1×4 ， 1 4×7 ， 1 7×10 ，…， 1 3n－23n＋1 ，…，计算 S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进 行证明． 解 S1＝ 1 1×4 ＝ 1 4 ；S2＝1 4 ＋ 1 4×7 ＝ 2 7 ； S3＝2 7 ＋ 1 7×10 ＝ 3 10 ；S4＝ 3 10 ＋ 1 10×13 ＝ 4 13 . 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n一致，分母可用项数 n表示为 3n＋1.于是可以猜想 Sn＝ n 3n＋1 (n∈N*)． 下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当 n＝1时，左边＝S1＝1 4 ，右边＝ n 3n＋1 ＝ 1 3×1＋1 ＝ 1 4 ， 猜想成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 1 1×4 ＋ 1 4×7 ＋ 1 7×10 ＋…＋ 1 3k－23k＋1 ＝ k 3k＋1 ，那么， 1 1×4 ＋ 1 4×7 ＋ 1 7×10 ＋…＋ 1 3k－23k＋1 ＋ 1 [3k＋1－2][3k＋1＋1] ＝ k 3k＋1 ＋ 1 3k＋13k＋4 ＝ 3k2＋4k＋1 3k＋13k＋4 ＝ 3k＋1k＋1 3k＋13k＋4 ＝ k＋1 3k＋1＋1 ， 所以，当 n＝k＋1时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任何 n∈N*都成立． 1．某个命题与正整数 n有关，若 n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当 n＝k＋1时该命题也成立，现已知 n＝5时，该命题不成立，那么可以 推得( ) A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 答案 C 解析 ∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当 n＝k＋1时该命题成立．∴若 n＝5时，该命题不成立，则 n＝4时该命题不成立． 2．用数学归纳法证明“当 n为正奇数时，xn＋yn能被 x＋y整除”时，第一步验证 n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( ) A．假设 n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证 n＝2k＋3时命题正确 B．假设 n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证 n＝2k＋1时命题正确 C．假设 n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证 n＝k＋2时命题正确 D．假设 n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证 n＝k＋2时命题正确 答案 B 解析 因 n为正奇数，所以否定 C、D项；当 k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选 B. 3．用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________． 答案 n＝3时是否成立 解析 n的最小值为 3，所以第一步验证 n＝3时是否成立． 4．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________． 答案 (2k＋2)＋(2k＋3) 解析 当 n＝k时，左边是共有 2k＋1个连续自然数相加，即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当 n＝k＋1时，左边共有 2k＋3个连续自然数相加， 即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)． 1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等． 2．证明问题的初始值 n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定 n0. 3．从 n＝k到 n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设． 一、基础达标 1．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋4 2 (n∈N*)，验证 n＝1时，左边应取的项是( ) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案 D 解析 等式左边的数是从 1加到 n＋3. 当 n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从 1加到 4. 2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于 n≥n0的自然数 n都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( ) A．2 B．3 C．5 D．6 答案 C 解析 当 n取 1、2、3、4时 2n>n2＋1不成立，当 n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使 2n>n2＋1的 n值为 5，故选 C. 3．用数学归纳法证明不等式 1＋1 2 ＋ 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 ＞ 127 64 (n∈N*)成立，其初始值至少应取( ) A．7 B．8 C．9 D．10 答案 B 解析 左边＝1＋1 2 ＋ 1 4 ＋…＋ 1 2n－1 ＝ 1－ 1 2n 1－1 2 ＝2－ 1 2n－1 ，代入验证可知 n的最小值是 8. 4．用数学归纳法证明不等式 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n >11 24 (n∈N*)的过程中，由 n＝k递推到 n＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A．增加了一项 1 2k＋1 B．增加了两项 1 2k＋1 和 1 2k＋1 C．增加了 B中的两项，但又减少了一项 1 k＋1 D．增加了 A中的一项，但又减少了一项 1 k＋1 答案 C 解析 当 n＝k时，不等式左边为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ，当 n＝k＋1时，不等式左边为 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，故选 C. 5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被 9整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1时的情况，只需展开________． 答案 (k＋3)3 解析 假设当 n＝k时，原式能被 9整除，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被 9整除．当 n＝k＋1 时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳 假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现 k3即可． 6．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出 S1，S2，S3，S4后，可猜想 Sn的表达式为________． 答案 Sn＝ 2n n＋1 解析 S1＝1，S2＝ 4 3 ，S3＝ 3 2 ＝ 6 4 ，S4＝ 8 5 ，猜想 Sn＝ 2n n＋1 . 7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前 n项和为 Sn，且 2Sn＝an＋ 1 an ，用数学归纳法证明：an＝ n－ n－1. 证明 (1)当 n＝1时．a1＝S1＝ 1 2 a1＋ 1 a1 ， ∴a21＝1(an>0)，∴a1＝1，又 1－ 0＝1， ∴n＝1时，结论成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即 ak＝ k－ k－1. 当 n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝ 1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 － 1 2 ak＋1 ak ＝ 1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 － 1 2 k－ k－1＋ 1 k－ k－1 ＝ 1 2 ak＋1＋ 1 ak＋1 － k. ∴a2k＋1＋2 kak＋1－1＝0， 解得 ak＋1＝ k＋1－ k(an>0)， ∴n＝k＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对 n∈N*都有 an＝ n－ n－1. 二、能力提升 8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有 f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数 f(k＋1)为( ) A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 答案 A 解析 三棱柱有 0个对角面，四棱柱有 2 个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有 5 个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有 9个对角面[5＋4＝5 ＋(5－1)]；….猜想：若 k棱柱有 f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有 f(k)＋k－1个对角面． 9．对于不等式 n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当 n＝1时， 12＋1≤1＋1，不等式成立． ②假设 n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即 k2＋k≤k＋1，则 n＝k＋1时， k＋12＋k＋1＝ k2＋3k＋2< k2＋3k＋2＋k＋2＝ k＋22＝(k＋1) ＋1，所以当 n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( ) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从 n＝k到 n＝k＋1的推理不正确 答案 D 解析 从 n＝k到 n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 10．用数学归纳法证明 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n＋12 >1 2 － 1 n＋2 .假设 n＝k时，不等式成立．则当 n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． 答案 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 k2 ＋ 1 k＋12 ＋ 1 k＋22 >1 2 － 1 k＋3 解析 观察不等式中的分母变化知， 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 k2 ＋ 1 k＋12 ＋ 1 k＋22 >1 2 － 1 k＋3 . 11．求证： 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n >5 6 (n≥2，n∈N*)． 证明 (1)当 n＝2时，左边＝ 1 3 ＋ 1 4 ＋ 1 5 ＋ 1 6 >5 6 ，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 3k >5 6 . 则当 n＝k＋1时， 1 k＋1＋1 ＋ 1 k＋1＋2 ＋…＋ 1 3k ＋ 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 ＋ 1 3k＋1 ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 3k ＋ 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 ＋ 1 3k＋3 － 1 k＋1 ＞ 5 6 ＋ 1 3k＋1 ＋ 1 3k＋2 ＋ 1 3k＋3 － 1 k＋1 ＞ 5 6 ＋ 3× 1 3k＋3 － 1 k＋1 ＝ 5 6 ， 所以当 n＝k＋1时不等式也成立． 由(1)和(2)可知，原不等式对一切 n≥2，n∈N*均成立． 12．已知数列{an}中，a1＝－ 2 3 ，其前 n项和 Sn满足 an＝Sn＋ 1 Sn ＋2(n≥2)，计算 S1，S2，S3，S4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋ 1 Sn ＋2. ∴Sn＝－ 1 Sn－1＋2 (n≥2)． 则有：S1＝a1＝－ 2 3 ， S2＝－ 1 S1＋2 ＝－ 3 4 ， S3＝－ 1 S2＋2 ＝－ 4 5 ， S4＝－ 1 S3＋2 ＝－ 5 6 ， 由此猜想：Sn＝－ n＋1 n＋2 (n∈N*)． 用数学归纳法证明： (1)当 n＝1时，S1＝－ 2 3 ＝a1，猜想成立． (2)假设 n＝k(k∈N*)猜想成立， 即 Sk＝－ k＋1 k＋2 成立， 那么 n＝k＋1时，Sk＋1＝－ 1 Sk＋2 ＝－ 1 － k＋1 k＋2 ＋2 ＝－ k＋2 k＋3 ＝－ k＋1＋1 k＋1＋2 . 即 n＝k＋1时猜想成立． 由(1)(2)可知，对任意正整数 n，猜想结论均成立． 三、探究与创新 13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且 a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)若不等式 1－ 1 2a1 · 1－ 1 2a2 ·…· 1－ 1 2an ≤ m 2an＋1 对任意 n∈N*，试猜想出实数 m的最小值，并证明． 解 (1)设数列{an}公差为 d(d＞0)， 由题意可知 a1·a4＝a22，即 1(1＋3d)＝(1＋d)2， 解得 d＝1或 d＝0(舍去)． 所以，an＝1＋(n－1)·1＝n. (2)不等式等价于 1 2 ·3 4 ·5 6 ·…·2n－1 2n ≤ m 2n＋1 ， 当 n＝1时，m≥ 3 2 ；当 n＝2时，m≥3 5 8 ； 而 3 2 ＞ 3 5 8 ，所以猜想，m的最小值为 3 2 . 下面证不等式 1 2 ·3 4 ·5 6 ·…·2n－1 2n ≤ 3 2 2n＋1 对任意 n∈N*恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 ①当 n＝1时， 1 2 ≤ 3 2 3 ＝ 1 2 ，成立． ②假设当 n＝k时，不等式 1 2 ·3 4 ·5 6 ·…·2k－1 2k ≤ 3 2 2k＋1 成立， 当 n＝k＋1时， 1 2 ·3 4 ·5 6 ·…·2k－1 2k ·2k＋1 2k＋2 ≤ 3 2 2k＋1 ·2k＋1 2k＋2 ， 只要证 3 2 2k＋1 · 2k＋1 2k＋2 ≤ 3 2 2k＋3 ， 只要证 2k＋1 2k＋2 ≤ 1 2k＋3 ， 只要证 2k＋1 2k＋3≤2k＋2， 只要证 4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证 3≤4，显然成立．即 n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，对任意 n∈N*，不等式 1 2 ·3 4 ·5 6 ·…·2n－1 2n ≤ 3 2 2n＋1 恒成立． 章末复习 1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用 于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明． 2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情 推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性． 3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证 明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结 论反面成立出发，推出矛盾的证明方法． 4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归 纳递推)假设 n＝k时，结论成立，推得 n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限 的命题成立． 5．归纳、猜想、证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求 规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明. 题型一 归纳推理和类比推理 归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索 新知识方面有着极其重要的作用． 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问 题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证． 例 1 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10＋b10＝( ) A．28 B．76 C．123 D．199 答案 C 解析 记 an＋bn＝f(n)，则 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n ∈N*，n≥3)，则 f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以 a10＋b10＝123. 跟踪演练 1 自然数按下表的规律排列 则上起第 2 007行，左起第 2 008列的数为( ) A．2 0072 B．2 0082 C．2 006×2 007 D．2 007×2 008 答案 D 解析 经观察可得这个自然数表的排列特点： ①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第 n行的第 1个数为 n2； ②第一行第 n个数为(n－1)2＋1； ③第 n行从第 1个数至第 n个数依次递减 1； ④第 n列从第 1个数至第 n个数依次递增 1. 故上起第 2 007行，左起第 2 008列的数，应是第 2 008列的第 2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008. 题型二 直接证明 由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点． 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可 具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助 我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用． 例 2 已知 a>0，求证： a2＋ 1 a2 － 2≥a＋1 a －2. 证明 要证 a2＋ 1 a2 － 2≥a＋1 a －2， 只需证 a2＋ 1 a2 ＋2≥a＋1 a ＋ 2. ∵a>0，故只需证 a2＋ 1 a2 ＋2 2≥ a＋1 a ＋ 2 2， 即 a2＋ 1 a2 ＋4 a2＋ 1 a2 ＋4≥a2＋2＋ 1 a2 ＋ 2 2 a＋1 a ＋2， 从而只需证 2 a2＋ 1 a2 ≥ 2 a＋1 a ， 只要证 4 a2＋ 1 a2 ≥2 a2＋2＋ 1 a2 ， 即 a2＋ 1 a2 ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 跟踪演练 2 如图，在四面体 B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且 E，F分别是 AB，BD的中点，求证： (1)直线 EF∥平面 ACD； (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 证明 (1)要证直线 EF∥平面 ACD， 只需证 EF∥AD且 EF⊄平面 ACD. 因为 E，F分别是 AB，BD的中点， 所以 EF是△ABD的中位线， 所以 EF∥AD，所以直线 EF∥平面 ACD. (2)要证平面 EFC⊥平面 BCD， 只需证 BD⊥平面 EFC， 只需证 EF⊥BD， CF⊥BD， CF∩EF＝F. 因为 EF∥AD， AD⊥BD， 所以 EF⊥BD. 又因为 CB＝CD，F为 BD的中点， 所以 CF⊥BD.所以平面 EFC⊥平面 BCD. 题型三 反证法 如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立． 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解 决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题． 例 3 如图所示，已知两个正方形 ABCD和 DCEF不在同一平面内，M，N分别为 AB、DF的中点． (1)若平面 ABCD⊥平面 DCEF，求直线 MN与平面 DCEF所成角的正弦值； (2)用反证法证明：直线 ME与 BN是两条异面直线． (1)解 法一 图(1) 如图(1)所示，取 CD的中点 G，连接 MG，NG，设正方形 ABCD，DCEF的边长为 2， 则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2， ∵平面 ABCD⊥平面 DCEF， ∴MG⊥平面 DCEF， ∴∠MNG是 MN与平面 DCEF所成的角． ∵MN＝ 6，∴sin∠MNG＝ 6 3 ， ∴直线 MN与平面 DCEF所成角的正弦值为 6 3 . 图(2) 法二 设正方形 ABCD，DCEF的边长为 2，以 D为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA为 x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2) 所示． 则 M(1,0,2)，N(0,1,0)， ∴MN→ ＝(－1,1，－2)． 又DA→＝(0,0,2)为平面 DCEF的法向量， ∴cos〈MN→ ，DA→〉＝ MN→ ·DA→ |MN→ ||DA→ | ＝－ 6 3 ， ∴MN与平面 DCEF所成角的正弦值为 |cos〈MN→ ，DA→〉|＝ 6 3 . (2)证明 假设直线 ME与 BN共面，则 AB⊂平面 MBEN，且平面 MBEN与平面 DCEF交于 EN， ∵两正方形不共面， ∴AB⊄平面 DCEF. 又 AB∥CD，所以 AB∥平面 DCEF，而 EN为平面 MBEN与平面 DCEF的交线， ∴AB∥EN.又 AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF，这与 EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与 BN不共面，即它们是异面直线． 跟踪演练 3 若 a，b，c均为实数，且 a＝x2－2y＋π 2 ，b＝y2－2z＋π 3 ，c＝z2－2x＋π 6 .求证：a，b，c中至少有一个大于 0. 证明 假设 a，b，c都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， 则 a＋b＋c≤0，而 a＋b＋c＝x2－2y＋π 2 ＋y2－2z＋π 3 ＋z2－2x＋π 6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c＞0， 这与 a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，∴a，b，c中至少有一个大于 0. 题型四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明 递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解 题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明． 例 4 等比数列{an}的前 n项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0且 b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求 r的值； (2)当 b＝2时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)， 证明：对任意的 n∈N*，不等式 b1＋1 b1 ·b2＋1 b2 ·…·bn＋1 bn ＞ n＋1成立． (1)解 由题意：Sn＝bn＋r，当 n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r， 所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于 b＞0且 b≠1， 所以 n≥2时，{an}是以 b为公比的等比数列． 又 a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， a2 a1 ＝b，即 bb－1 b＋r ＝b，解得 r＝－1. (2)证明 当 b＝2时，由(1)知 an＝2n－1， 因此 bn＝2n(n∈N*)， 所证不等式为 2＋1 2 ·4＋1 4 ·…·2n＋1 2n ＞ n＋1. ①当 n＝1时，左式＝ 3 2 ，右式＝ 2. 左式＞右式，所以结论成立． ②假设 n＝k(k∈N*)时结论成立， 即 2＋1 2 ·4＋1 4 ·…·2k＋1 2k ＞ k＋1， 则当 n＝k＋1时， 2＋1 2 ·4＋1 4 ·…·2k＋1 2k · 2k＋3 2k＋1 ＞ k＋1· 2k＋3 2k＋1 ＝ 2k＋3 2 k＋1 . 要证当 n＝k＋1时结论成立， 只需证 2k＋3 2 k＋1 ＞ k＋2成立， 只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8成立，显然成立， ∴当 n＝k＋1时， 2＋1 2 ·4＋1 4 ·…·2k＋1 2k · 2k＋3 2k＋1 ＞ k＋1＋1成立，综合①②可知不等式 b1＋1 b1 ·b2＋1 b2 ·…·bn＋1 bn ＞ n＋1成立． 跟踪演练 4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ 1 2 an＋1. (1)写出 a2，a3，a4. (2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)因为 a1＝1，an＋1＝ 1 2 an＋1， 所以 a2＝1 2 a1＋1＝1 2 ＋1＝3 2 ， a3＝1 2 a2＋1＝1 2 ·3 2 ＋1＝7 4 ， a4＝ 1 2 a3＋1＝1 2 ·7 4 ＋1＝15 8 . (2)法一 猜想 an＝ 2n－1 2n－1 ，下面用数学归纳法证明． 证明 (1)当 n＝1时，a1＝ 21－1 21－1 ＝1，满足上式，显然成立； (2)假设当 n＝k时 ak＝ 2k－1 2k－1 ，那么当 n＝k＋1时， ak＋1＝ 1 2 ak＋1＝1 2 ·2 k－1 2k－1 ＋1＝2k－1 2k ＋1＝2k－1＋2k 2k ＝ 2k＋1－1 2k 满足上式，即当 n＝k＋1时猜想也成立． 由(1)(2)可知，对于 n∈N*都有 an＝ 2n－1 2n－1 . 法二 因为 an＋1＝ 1 2 an＋1，所以 an＋1－2＝1 2 an＋1－2，即 an＋1－2＝1 2 (an－2)， 设 bn＝an－2，则 bn＋1＝ 1 2 bn， 即{bn}是以－1为首项， 1 2 为公比的等比数列， 所以 bn＝b1·qn－1＝－ 1 2n－1 ，所以 an＝bn＋2＝2n－1 2n－1 . 1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理 (1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且 a，b，c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性． (2)类比推理的基本模式：A具有属性 a，b，c，d；B具有属性 a′，b′，c′；结论：B具有属性 d′.(a，b，c，d与 a′，b′，c′，d′相似 或相同) 2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下： 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x成立 存在某个 x不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x不成立 存在某个 x成立 至少有 n个 至多有 n－1个 p或 q 綈 p且綈 q 至多有 n个 至少有 n＋1个 p且 q 綈 p或綈 q 3.数学归纳法的应用必须注意以下两点： (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个数 n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中， 要把归纳假设用一次或几次． 章末检测 一、选择题 1．由 1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到 1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是( ) A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．特殊推理 答案 A 2．在△ABC中，E、F分别为 AB、AC的中点，则有 EF∥BC，这个问题的大前提为( ) A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半 C．EF为中位线 D．EF∥BC 答案 A 解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC. 3．对大于或等于 2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根据上述分解规律，若 m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是 21，则 m＋n＝( ) A．10 B．11 C．12 D．13 答案 B 解析 ∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋11 2 ×6＝36， ∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n3的分解中最小的数是 21， ∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11. 4．用反证法证明命题“ 2＋ 3是无理数”时，假设正确的是( ) A．假设 2是有理数 B．假设 3是有理数 C．假设 2或 3是有理数 D．假设 2＋ 3是有理数 答案 D 解析 应对结论进行否定，则 2＋ 3不是无理数，即 2＋ 3是有理数． 5．已知 f(x＋1)＝ 2fx fx＋2 ，f(1)＝1(x∈N*)，猜想 f(x)的表达式为( ) A. 4 2x＋2 B． 2 x＋1 C． 1 x＋1 D． 2 2x＋1 答案 B 解析 当 x＝1时，f(2)＝ 2f1 f1＋2 ＝ 2 3 ＝ 2 2＋1 ， 当 x＝2时，f(3)＝ 2f2 f2＋2 ＝ 2 4 ＝ 2 3＋1 ； 当 x＝3时，f(4)＝ 2f3 f3＋2 ＝ 2 5 ＝ 2 4＋1 ， 故可猜想 f(x)＝ 2 x＋1 ，故选 B. 6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b与 b＝c及 a＝c中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 B 解析 若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则 a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与 b＝c及 a＝c中最多只能有一 个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中， 一定属于相似体的有( ) ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案 C 解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{an}满足 a1＝1 2 ，an＋1＝1－ 1 an ，则 a2 013等于( ) A.1 2 B．－1 C．2 D．3 答案 C 解析 ∵a1＝ 1 2 ，an＋1＝1－ 1 an ， ∴a2＝1－ 1 a1 ＝－1，a3＝1－ 1 a2 ＝2，a4＝1－ 1 a3 ＝ 1 2 ， a5＝1－ 1 a4 ＝－1，a6＝1－ 1 a5 ＝2， ∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*) ∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2. 9．定义在 R上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x＋4)，且 f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知 x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则 f(x1)＋f(x2)的值( ) A．恒小于 0 B．恒大于 0 C．可能等于 0 D．可正也可负 答案 A 解析 不妨设 x1－2<0，x2－2>0， 则 x1<2，x2>2，∴2－f(4－x1)， 从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)， f(x1)＋f(x2)<0. 10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n个图案中有白色地面砖的块数是( ) A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3 答案 A 解 法一 (归纳猜想法) 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个， 因此第 n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6为首项，公差是 4的等差数列的第 n项”． 故第 n个图案中有白色地面砖的块数是 4n＋2. 法二 (特殊值代入排除法) 由图可知，当 n＝1时，a1＝6，可排除 B答案 当 n＝2时，a2＝10，可排除 C、D答案． 二、填空题 11．(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第 n个等式可为________． 答案 (n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1) 12．f(n)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 n (n∈N*)，经计算得 f(2)＝3 2 ，f(4)>2，f(8)>5 2 ，f(16)>3，f(32)>7 2 ，推测当 n≥2时，有________． 答案 f(2n)>2＋n 2 (n≥2) 解析 观测 f(n)中 n的规律为 2k(k＝1,2，…) 不等式右侧分别为 2＋k 2 ，k＝1,2，…， ∴f(2n)>2＋n 2 (n≥2)． 13．用数学归纳法证明：1＋ 1 1＋2 ＋ 1 1＋2＋3 ＋…＋ 1 1＋2＋3＋…＋n ＝ 2n n＋1 时，由 n＝k到 n＝k＋1左边需要添加的项是________． 答案 2 k＋1k＋2 解析 由 n＝k到 n＝k＋1时，左边需要添加的项是 1 1＋2＋3＋…＋k＋1 ＝ 2 k＋1k＋2 . 14．在平面几何中，△ABC的内角平分线 CE分 AB所成线段的比为 AE EB ＝ AC BC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥 A－BCD中(如图所示)，面 DEC 平分二面角 A－CD－B且与 AB相交于 E，则得到的类比的结论是________． 答案 AE EB ＝ S△ACD S△BCD 解析 CE平分∠ACB，而面 CDE平分二面角 A－CD－B.∴AC BC 可类比成 S△ACD S△BCD ，故结论为 AE EB ＝ S△ACD S△BCD . 三、解答题 15．已知 a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法： 假设三个方程中都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. ① 由题意 a、b、c互不相等，∴①式不能成立． ∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 16．设数列{an}是公比为 q的等比数列，Sn是它的前 n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与公比 q≠0矛盾， 所以数列{Sn}不是等比数列． (2)解 当 q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列； 当 q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则 2S2＝S1＋S3， 即 2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得 q＝0，这与公比 q≠0矛盾． 17．请你把不等式“若 a1，a2是正实数，则有 a21 a2 ＋ a22 a1 ≥a1＋a2”推广到一般情形，并证明你的结论． 解 推广的结论： 若 a1，a2，…，an都是正实数，则有 a21 a2 ＋ a22 a3 ＋…＋ a2n－1 an ＋ a2n a1 ≥a1＋a2＋…＋an. 证明：∵a1，a2，…an都是正实数， ∴ a21 a2 ＋a2≥2a1； a22 a3 ＋a3≥2a2；… a2n－1 an ＋an≥2an－1； a2n a1 ＋a1≥2an， a21 a2 ＋ a22 a3 ＋…＋ a2n an ＋ a2n－1 a1 ≥a1＋a2＋…＋an. 18．设 f(n)＝1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 n ，是否存在关于自然数 n的函数 g(n)，使等式 f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于 n≥2的一切自然数都成 立？并证明你的结论． 解 当 n＝2时，由 f(1)＝g(2)·[f(2)－1]， 得 g(2)＝ f1 f2－1 ＝ 1 1＋1 2 －1 ＝2， 当 n＝3时，由 f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]， 得 g(3)＝f1＋f2 f3－1 ＝ 1＋ 1＋1 2 1＋1 2 ＋ 1 3 －1 ＝3， 猜想 g(n)＝n(n≥2)． 下面用数学归纳法证明：当 n≥2时，等式 f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立． ①当 n＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设 n＝k(k∈N*且 k≥2)时，等式成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)成立， 那么当 n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1) fk＋1－ 1 k＋1 －k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对一切 n≥2的自然数 n等式都成立，故存在函数 g(n)＝n，使等式成立． 3．1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的概念 [学习目标] 1．了解引进虚数单位 i的必要性，了解数集的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． [知识链接] 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角 度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程 x2＝－1在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数 i，使 i是方程 x2＝－1的根，即 i·i＝－1，方程 x2＝－1有解，同时得到一些新数． [预习导引] 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi的数叫做复数，其中 a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． (2)复数的表示方法：复数通常用字母 z表示，即 z＝a＋bi. (3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母 C表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0 虚数b≠0 纯虚数a＝0 非纯虚数a≠0 (2)集合表示： 3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且 b＝d. 要点一 复数的概念 例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋1 2 i；③ 2＋i；④π；⑤－ 3i；⑥0. 解 ①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3，虚部为 1 2 ，是虚数；③的实部为 2，虚部为 1，是虚数；④的实部为π，虚部为 0，是 实数；⑤的实部为 0，虚部为－ 3，是纯虚数；⑥的实部为 0，虚部为 0，是实数． 规律方法 复数 a＋bi中，实数 a和 b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的 虚部． 跟踪演练 1 已知下列命题： ①复数 a＋bi不是实数； ②当 z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数 x＝±2； ④若复数 z＝a＋bi，则当且仅当 b≠0时，z为虚数； ⑤若 a、b、c、d∈C时，有 a＋bi＝c＋di，则 a＝c且 b＝d. 其中真命题的个数是________． 答案 0 解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当 a∈R且 b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当 z＝i时，则 z2＝－1<0， ③是假命题，因为由纯虚数的条件得 x2－4＝0， x2＋3x＋2≠0 ，解得 x＝2，当 x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调 a，b∈R.⑤是 假命题，只有当 a、b、c、d∈R时，结论才成立． 要点二 复数的分类 例 2 实数 m为何值时，复数 z＝mm＋2 m－1 ＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)要使 z是实数，m需满足 m2＋2m－3＝0，且 mm＋2 m－1 有意义即 m－1≠0，解得 m＝－3. (2)要使 z是虚数，m需满足 m2＋2m－3≠0，且 mm＋2 m－1 有意义即 m－1≠0，解得 m≠1且 m≠－3. (3)要使 z是纯虚数，m需满足 mm＋2 m－1 ＝0， 且 m2＋2m－3≠0， 解得 m＝0或 m＝－2. 规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数． 跟踪演练 2 实数 k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零． 解 由 z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当 k2－5k－6＝0时，z∈R，即 k＝6或 k＝－1. (2)当 k2－5k－6≠0时，z是虚数，即 k≠6且 k≠－1. (3)当 k2－3k－4＝0 k2－5k－6≠0 时，z是纯虚数，解得 k＝4. (4)当 k2－3k－4＝0 k2－5k－6＝0 时，z＝0，解得 k＝－1. 要点三 两个复数相等 例 3 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y的值． (2)关于 x的方程 3x2－a 2 x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数 a的值． 解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴ x2－y2＝0， 2xy＝2， 解得 x＝1， y＝1， 或 x＝－1， y＝－1. (2)设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为 3m2－ a 2 m－1＝(10－m－2m2)i， ∴ 3m2－ a 2 m－1＝0， 10－m－2m2＝0， 解得 a＝11或 a＝－ 71 5 . 规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数． 跟踪演练 3 已知 x，y均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求 x与 y. 解 由复数相等的充要条件得 x＋y＝2x＋3y且 y－1＝2y＋1，解得 x＝4，y＝－2. 1．已知复数 z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是 2和 3，则实数 a，b的值分别是( ) A. 2，1 B．2，5 C．± 2，5 D．± 2，1 答案 C 解析 令 a2＝2 －2＋b＝3 ，得 a＝± 2，b＝5. 2．下列复数中，满足方程 x2＋2＝0的是( ) A．±1 B．±i C．± 2i D．±2i 答案 C 3．下列命题正确的是( ) A．若 a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．若 a，b∈R且 a>b，则 a＋i>b＋i C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数 x＝±1 D．两个虚数不能比较大小 答案 D 解析 对于复数 a＋bi(a，b∈R)， 当 a＝0且 b≠0时为纯虚数． 在 A中，若 a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故 A错误； 在 B中，两个虚数不能比较大小，故 B错误； 在 C中，若 x＝－1，不成立，故 C错误；D正确． 4．在下列几个命题中，正确命题的个数为( ) ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于 0； ⑤－1的平方根只有一个，即为－i； ⑥i是方程 x4－1＝0的一个根； ⑦ 2i是一个无理数． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案 B 解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误． 1．对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制 a，b的值得到复数 z的不同情况． 2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断. 一、基础达标 1．如果 z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数 m的值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．－1或 1 答案 B 解析 由题意知 mm＋1＝0 m2－1≠0 ，∴m＝0. 2．(2013·青岛二中期中)设 a，b∈R.“a＝0”是“复数 a＋bi是纯虚数”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为 a，b∈R.“a＝0”时“复数 a＋bi不一定是纯虚数”．“复数 a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以 a，b∈R.“a＝0”是“复 数 a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件． 3．以－ 5＋2i的虚部为实部，以 5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ) A．2－2i B．－ 5＋ 5i C．2＋i D． 5＋ 5i 答案 A 解析 设所求新复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－ 5＋2i的虚部为 2；复数 5i＋2i2＝ 5i＋2×(－1)＝－2＋ 5i的实部为－2，则所 求的 z＝2－2i.故选 A. 4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则 2x＋y的值为( ) A.1 2 B．2 C．0 D．1 答案 D 解析 由复数相等的充要条件知， x＋y＝0， x－1＝0， 解得 x＝1， y＝－1， ∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1. 5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且 z1＝z2，则实数 m＝________，n＝________. 答案 2 ±2 解析 由 z1＝z2得 －3＝n2－3m－1 －4＝n2－m－6 ， 解得 m＝2 n＝±2 . 6．(2013·上海)设 m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中 i是虚数单位，则 m＝________. 答案 －2 解析 m2＋m－2＝0 m2－1≠0 ⇒m＝－2. 7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数 x，y的值． 解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0， ∴ 2x－y＋1＝0， y－2＝0. 解得 x＝1 2 ， y＝2. 所以实数 x，y的值分别为 1 2 ，2. 二、能力提升 8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数 x的值是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．－1或－2 答案 A 解析 由题意，得 x3－1＝0， x2＋3x＋2≠0. 解得 x＝1. 9．若 sin 2θ－1＋i( 2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A．2kπ－π 4 (k∈Z) B．2kπ＋π 4 (k∈Z) C．2kπ±π 4 (k∈Z) D．k 2 π＋π 4 (k∈Z) 答案 B 解析 由题意，得 sin 2θ－1＝0 2cos θ＋1≠0 ，解得 θ＝kπ＋π 4 θ≠2kπ±3π 4 (k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z. 10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________． ①若 x是实数，则 x可能不是复数； ②若 z是虚数，则 z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 答案 1 解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错． 11．实数 m分别为何值时，复数 z＝2m2＋m－3 m＋3 ＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为 0. 故若使 z为实数，则 m2－3m－18＝0 m＋3≠0 ， 解得 m＝6.所以当 m＝6时，z为实数． (2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为 0. 故若使 z为虚数，则 m2－3m－18≠0，且 m＋3≠0， 解得 m≠6且 m≠－3，所以当 m≠6且 m≠－3时，z为虚数． (3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为 0，虚部不为 0. 故若使 z为纯虚数，则 2m2＋m－3＝0 m＋3≠0 m2－3m－18≠0 ， 解得 m＝－ 3 2 或 m＝1. 所以当 m＝－ 3 2 或 m＝1时，z为纯虚数． 12．设 z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若 z1－1，如何求自然数 m，n的值？ 解 因为 log1 2 (m＋n)－(m2－3m)i>－1， 所以 log1 2 (m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有 m2－3m＝0， ① log1 2 m＋n>－1， ② 由①得 m＝0或 m＝3， 当 m＝0时，代入②得 n<2，又 m＋n>0，所以 n＝1； 当 m＝3时，代入②得 n<－1，与 n是自然数矛盾， 综上可得 m＝0，n＝1 3.1.2 复数的几何意义 [学习目标] 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． [知识链接] 1．下列命题中不正确的有________． (1)实数可以判定相等或不相等； (2)不相等的实数可以比较大小； (3)实数可以用数轴上的点表示； (4)实数可以进行四则运算； (5)负实数能进行开偶次方根运算； 答案 (5) 2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b) 一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 答案 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型． [预习导引] 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚 数． (2)复数与点、向量间的对应 ①复数 z＝a＋bi(a，b∈R)――→ 对应 复平面内的点 Z(a，b)； ②复数 z＝a＋bi(a，b∈R)――→ 对应 平面向量OZ→＝(a，b)． 2．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数 z的模，记作|z|，且|z|＝ a2＋b2. 要点一 复数与复平面内的点 例 1 在复平面内，若复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线 y＝x上，分 别求实数 m的取值范围． 解 复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为 m2－2m－8，虚部为 m2＋3m－10. (1)由题意得 m2－2m－8＝0. 解得 m＝－2或 m＝4. (2)由题意， m2－2m－8＜0 m2＋3m－10＞0 ，∴20，得 m<－3，或 m>5，所以当 m<－3，或 m>5时，复数 z对应的点在 x轴上方． (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0， 得 m＝1，或 m＝－ 5 2 ，所以当 m＝1，或 m＝－ 5 2 时， 复数 z对应的点在直线 x＋y＋4＝0上． 要点二 复数的模及其应用 例 2 已知复数 z＝3＋ai，且|z|<4，求实数 a的取值范围． 解 法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－ 7， 7)． 法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内(不包括边界)， 由 z＝3＋ai知 z对应的点在直线 x＝3上， 所以线段 AB(除去端点)为动点 Z的集合． 由图可知：－ 73 2 ，∴|z1|>|z2|. 要点三 复数的模的几何意义 例 3 设 z∈C，满足下列条件的点 Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2； (2)|z|≤3. 解 法一 (1)∵复数 z的模等于 2，这表明向量OZ→的长度等于 2，即点 Z到原点的距离等于 2，因此满足条件|z|＝2 的点 Z的集合是以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆． (2)满足条件|z|≤3的点 Z的集合是以原点 O为圆心，以 3为半径的圆及其内部． 法二 (1)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4， ∴点 Z的集合是以原点为圆心，以 2为半径的圆． (2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9. ∴点 Z的集合是以原点为圆心，以 3为半径的圆及其内部． 规律方法 例 3的法一是根据|z|表示点 Z和原点间的距离，直接判定图形形状． 法二是利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法． 跟踪演练 3 已知 a∈R，则复数 z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数 z所对应的点的轨迹是什么？ 解 ∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， －(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1， ∴z的实部为正数，虚部为负数， ∴复数 z所对应的点在第四象限． 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 x＝a2－2a＋4， y＝－a2－2a＋2， 消去 a2－2a，得 y＝－x＋2(x≥3)， ∴复数 z对应点的轨迹是一条射线， 其方程为 y＝－x＋2(x≥3)． 1．在复平面内，复数 z＝i＋2i2对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于 0，虚部大于 0，故复数 z对应的点位于第二象限． 2．当 00，－10，m－1<0.所以点 Z位于第四象限．故选 D. 3．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i对应的点分别为 A，B.若 C为线段 AB的中点，则点 C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 答案 C 解析 A(6,5)，B(－2,3)，∵C为 AB的中点，∴C(2,4)，∴点 C对应的复数为 2＋4i，故选 C. 4．已知复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，当 a＝0时，复平面内的点 z的轨迹是( ) A．实轴 B．虚轴 C．原点 D．原点和虚轴 答案 B 解析 a＝0时，z＝bi，复平面内的点 z的轨迹是虚轴． 5．已知复数 z＝a＋ 3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数 z等于________． 答案 －1＋ 3i 解析 因为 z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 a<0，由|z|＝2知， a2＋ 32＝2，解得 a＝±1， 故 a＝－1，所以 z＝－1＋ 3i. 6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则 k的取值范围是________． 答案 20.∴选 B. 9．设 A、B为锐角三角形的两个内角，则复数 z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析 因 A、B为锐角三角形的两个内角，所以 A＋B＞π 2 ，即 A＞π 2 －B，sin A＞cos B．cos B－tan A＝cos B－sin A cos A ＜cos B－sin A＜0，又 tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选 B. 10．复数 z＝log1 2 3＋ilog3 1 2 对应的点位于复平面内的第________象限． 答案 三 解析 log1 2 3<0，log3 1 2 <0， ∴z＝log1 2 3＋ilog3 1 2 对应的点位于复平面内的第三象限． 11．当实数 m为何值时，复数 z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于 x轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)． 解 (1)要使点位于第四象限，须 m2－8m＋15>0 m2＋3m－28<0， ∴ m<3或 m>5 －70 8a－2>0 ，解得 20 ，解得 31＋i； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若 z＝1 i ，则 z3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤ 解析 由 y∈∁CR，知 y是虚数，则 2x－1＝y 1＝－3－y 不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表 示实数 0，故③错误；实数的虚部为 0，故④错误；⑤中 z3＋1＝1 i3 ＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 14．下列是关于复数的类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2＝x2类比得到复数 z的性质|z|2＝z2； ③已知 a，b，∈R，若 a－b＞0，则 a＞b类比得已知 z1，z2∈C，若 z1－z2＞0，则 z1＞z2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中推理结论正确的是________． 答案 ①④ 三、解答题 15．设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当 m为何值时， (1)z是实数？(2)z是纯虚数？ 解 (1)要使复数 z为实数，需满足 m2－2m－2>0 m2＋3m＋2＝0 ，解得 m＝－2或－1.即当 m＝－2或－1时，z是实数． (2)要使复数 z为纯虚数，需满足 m2－2m－2＝1 m2＋3m＋2≠0 ， 解得 m＝3.即当 m＝3时，z是纯虚数． 16．设 f(n)＝ 1＋i 1－i n＋ 1－i 1＋i n(n∈N)，求集合{x|x＝f(n)}中元素的个数． 解 ∵ 1＋i 1－i ＝i，1－i 1＋i ＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n.设 k∈N. 当 n＝4k时，f(n)＝2， 当 n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0， 当 n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2， 当 n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k·(－i)3＝0， ∴{x|x＝f(n)}中有三个元素． 17．(2013·山东德州期中)已知 z＝1＋i，a，b为实数． (1)若ω＝z2＋3 z －4，求|ω|； (2)若z2＋az＋b z2－z＋1 ＝1－i，求 a，b的值． 解 (1)因为ω＝z2＋3 z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，|ω|＝ －12＋－12＝ 2. (2)由条件 z2＋az＋b z2－z＋1 ＝1－i，得 1＋i2＋a1＋i＋b 1＋i2－1＋i＋1 ＝ 1－i.即a＋b＋a＋2i i ＝1－i ∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴ a＋b＝1 a＋2＝1 ，解得 a＝－1 b＝2 . 18．设 z1是虚数，z2＝z1＋ 1 z1 是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z1 1＋z1 ，求证：ω为纯虚数． (1)解 设 z1＝a＋bi(a，b∈R且 b≠0)，则 z2＝z1＋ 1 z1 ＝a＋bi＋ 1 a＋bi ＝ a＋ a a2＋b2 ＋ b－ b a2＋b2 i. 因为 z2是实数，b≠0，于是有 a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得 z2＝2a. 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－ 1 2 ≤a≤1 2 ，即 z1的实部的取值范围是 － 1 2 ， 1 2 . (2)证明 ω＝1－z1 1＋z1 ＝ 1－a－bi 1＋a＋bi ＝ 1－a2－b2－2bi 1＋a2＋b2 ＝ － b a＋1 i.因为 a∈[－1 2 ， 1 2 ]，b≠0，所以ω为纯虚数． 模块检测模块检测 一、选择题 1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A．完全归纳推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．演绎推理 答案 B 解析 由特殊到一般的推理为归纳推理．故选 B. 2．(2013·浙江)已知 i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( ) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 答案 B 解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选 B. 3．设 f(x)＝10x＋lg x，则 f′(1)等于( ) A．10 B．10ln 10＋lg e C． 10 ln 10 ＋ln 10 D．11ln 10 答案 B 解析 ∵f′(x)＝10xln 10＋ 1 xln 10 ，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选 B. 4．若大前提：任何实数的平方都大于 0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．没有出错 答案 A 5．观察下列数表规律 则数 2 007的箭头方向是( ) A. 2 007→ ↑ B． ↓ 2 007→ C． ↑ →2007 D． →2 007 ↓ 答案 D 解析 因上行奇数是首项为 3，公差为 4的等差数列，若 2 007在上行，则 2 007＝3＋(n－1)·4⇒n＝502∈N*.故 2 007在上行，又因为在上行奇 数的箭头为→an，故选 D. 6．函数 f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在 x＝1处有极值 10，则 a，b的值为( ) A. a＝3 b＝－3 或 a＝－4 b＝11 B． a＝－4 b＝11 C． a＝－1 b＝5 D．以上都不对 答案 B 解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－b，∴ 3－2a－b＝0 1－a－b＋a2＝10 ，解得 a＝3 b＝－3 或 a＝－4 b＝11 .经检验 a＝3，b＝－3不合题意，应舍去． 7．给出下列命题： ①错误!dx＝错误!dt＝b－a(a，b为常数且 a0，且 a＋b＋c＝1，求证： (1)a2＋b2＋c2≥1 3 ；(2) a＋ b＋ c≤ 3. 证明 (1)∵a2＋1 9 ≥ 2 3 a，b2＋1 9 ≥ 2 3 b，c2＋1 9 ≥ 2 3 c， ∴ a2＋1 9 ＋ b2＋1 9 ＋ c2＋1 9 ≥ 2 3 a＋2 3 b＋2 3 c＝2 3 .∴a2＋b2＋c2≥1 3 . (2)∵ a·1 3 ≤ a＋1 3 2 ， b·1 3 ≤ b＋1 3 2 ， c·1 3 ≤ c＋1 3 2 ，三式相加得 a 3 ＋ b 3 ＋ c 3 ≤ 1 2 (a＋b＋c)＋1 2 ＝1，∴ a＋ b＋ c≤ 3. 17．是否存在常数 a，b，使等式 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ n2 2n－12n＋1 ＝ an2＋n bn＋2 对一切 n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳 法证明． 解 若存在常数 a，b使等式成立， 则将 n＝1，n＝2代入上式， 有 1 3 ＝ a＋1 b＋2 ， 1 3 ＋ 4 15 ＝ 4a＋2 2b＋2 . 得 a＝1，b＝4， 即有 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ n2 2n－12n＋1 ＝ n2＋n 4n＋2 对于一切 n∈N*都成立． 证明如下： (1)当 n＝1时，左边＝ 12 1×3 ＝ 1 3 ， 右边＝ 1＋1 4×1＋2 ＝ 1 3 ，所以等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ k2 2k－12k＋1 ＝ k2＋k 4k＋2 ， 当 n＝k＋1时， 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ k2 2k－12k＋1 ＋ k＋12 2k＋12k＋3 ＝ k2＋k 4k＋2 ＋ k＋12 2k＋12k＋3 ＝ k＋1 2k＋1 · k 2 ＋ k＋1 2k＋3 ＝ k＋1 2k＋1 ·2k 2＋5k＋2 22k＋3 ＝ k＋1 2k＋1 ·2k＋1k＋2 22k＋3 ＝ k＋1k＋2 4k＋6 ＝ k＋12＋k＋1 4k＋1＋2 ， 也就是说，当 n＝k＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何 n∈N*都成立． 18．(2013·广东)设函数 f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中 k∈R)． (1)当 k＝1时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 k∈ 1 2 ，1 时，求函数 f(x)在[0，k]上的最大值 M. 解 (1)当 k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)． 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln 2. 当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表 x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln (2k)， 令 g(k)＝ln(2k)－k，则 g′(k)＝1 k －1＝1－k k ＞0，所以 g(k)在 1 2 ，1 上递增， 所以 g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0， 从而 ln (2k)＜k，所以 ln(2k)∈[0，k]， 所以当 x∈(0，ln(2k))时，f′(x)＜0； 当 x∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)＞0； 所以 M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3} 令 h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则 h′(k)＝k(ek－3k)， 令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0， 所以φ(k)在 1 2 ，1 上递减， 而φ 1 2 ·φ(1)＝ e－3 2 (e－3)＜0， 所以存在 x0∈ 1 2 ，1 使得φ(x0)＝0， 且当 k∈ 1 2 ，x0 时，φ(k)＞0，当 k∈(x0,1)时φ(k)＜0， 所以 h(k)在 1 2 ，x0 上单调递增， 在(x0,1)上单调递减． 因为 h 1 2 ＝－ 1 2 e＋7 8 ＞0，h(1)＝0， 所以 h(k)≥0在 1 2 ，1 上恒成立， 当且仅当 k＝1时取得“＝”． 综上，函数 f(x)在[0，k]上的最大值 M＝(k－1)ek－k3.