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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习北师大版 参数方程 课时作业
1.(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
解:(1)由消去t得,y=2x,
把代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ,
所以直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.
(2)因为ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4.
圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=,
所以|AB|=2=.
2.(2018·石嘴山二模)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(其中t为参数).现以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若点P坐标为(-1,0),直线l交曲线C于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
解:(1)由消去参数t,得直线l的普通方程为x-y+1=0,
又由ρ=6cos θ得ρ2=6ρcos θ,
由得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x=0.
(2)将代入x2+y2-6x=0得t2-4t+7=0,
则t1+t2=4,t1t2=7>0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4.
3.若点P(3,b)在曲线(t为参数)上,则b的值为( ).
A.-5 B.3 C.5或-3 D.-5或3
解析:由点P在曲线上,得+1=3,所以t=±2.
当t=2时,y=b=-5;当t=-2时,y=b=3.
答案:D
4.曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是( ).
A.(1,4) B.
C.(1,-3) D.
解析:令y=0,得t=.
将t=代入x=1+t2,得x=.
所以曲线与x轴的交点坐标为.
答案:B
5.动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向上的分速度分别为3 m/s和4 m/s,直角坐标系的长度单位是1 m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是( ).
A.(t为参数,t≥0)
B.(t为参数,t≥0)
C.(t为参数,t≥0)
D.(t为参数,t≥0)
解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则(t为参数,t≥0).
答案:B
6.“由方程所确定的点P(x,y)都在曲线C上”是“方程是曲线C的参数方程”的 条件.
答案:必要不充分
7.曲线(t为参数)与圆x2+y2=4的交点坐标为 .
解析:由题意得12+(sin t+1)2=4,
∴(sin t+1)2=3,
∴sin t+1=±.
又sin t+1≥0,
∴sin t+1=,
∴交点坐标为(1,).
答案:(1,)
8.若点E(x,y)在曲线(θ为参数)上,则x2+y2的最大值与最小值分别为 .
解析:x2+y2=(1+5cos θ)2+(2+5sin θ)2=30+(10cos θ+20sin θ)=30+10sin(θ+α),其中tan α=,α为锐角,故x2+y2的最大值与最小值分别为30+10,30-10.
答案:30+10,30-10
9.已知曲线C的参数方程是(t为参数).
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.
解(1)把点M1的坐标(0,1)代入
解得t=0,所以点M1在曲线C上.
把点M2的坐标(5,4)代入这个方程组无解,所以点M2不在曲线C上.
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,
所以
解得t=2,a=9,所以a的值为9.
10.已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求点M的轨迹的参数方程;
(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过原点.
解(1)由题意得,P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
则M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),
∴点M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)点M到原点的距离d=(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.
★11.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求:
(1)x+y的最值;
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
解圆的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=1,如图所示,过圆心C分别作x轴、y轴的平行线a,b,直线a与圆C交于点A,
由于点P在圆上,连接CP,设∠PCA=θ,过点P分别作a,b的垂线可得点P的坐标为(3+cos θ,2+sin θ).
(1)x+y=3+cos θ+2+sin θ
=5+sin.
所以x+y的最大值为5+,最小值为5-.
(2)d=.
显然,当sin=1时,d取最大值1+2;
当sin=-1时,d取最小值2-1.
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