【数学】2020届一轮复习北师大版 复数 课时作业 6页

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．已知a，b∈C，下列命题正确的是(　　)‎ A．3i＜5i B．a＝0⇔|a|＝0‎ C．若|a|＝|b|，则a＝±b D．a2≥0‎ 答案　B 解析　A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1＜0.‎ ‎2．i是虚数单位，则的虚部是(　　)‎ A.i B．－i C. D．－ 答案　C 解析　＝＝＝＋i.‎ ‎3.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 答案　D 解析　解法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.‎ 解法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，‎ ‎∴z＝1－i.‎ ‎4．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于(　　)‎ A．1 B．－1 C．i D．－i 答案　D 解析　∵z2＝＝－i，∴z4＝(－i)2＝－1，‎ ‎∴z100＋z50＋1＝(z4)25＋(z4)12·z2＋1‎ ‎＝－1＋(－i)＋1＝－i.‎ ‎5．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，‎ 又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1＞0，‎ ‎－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1＜0，‎ 所以复数对应的点在第四象限．故选D.‎ ‎6．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|＜2，那么实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－2，2) B．(－2,2)‎ C．(－1,1) D．(－，)‎ 答案　D 解析　因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝＜2，所以a2＋1＜4，所以a2＜3，即－＜a＜.‎ ‎7．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)‎ A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3‎ C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1‎ 答案　B 解析　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.‎ ‎8．已知复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－2，－1,1}．若a，b∈A∩B，则|z|等于(　　)‎ A．1 B. C．2 D．4‎ 答案　B 解析　因为A∩B＝{－1,1}，所以a，b∈{－1,1}，所以|z|＝＝，故选B.‎ ‎9．已知i为虚数单位，复数z＝2i(2－i)的实部为a，虚部为b，则logab等于(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　z＝2i(2－i)＝2＋4i，∴a＝2，b＝4，∴logab＝log24＝2.‎ ‎10．复数z满足|3z＋1|＝|z－i|，则复数z对应点的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．正方形 C．圆 D．椭圆 答案　C 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|3x＋3yi＋1|＝|x＋yi－i|.‎ ‎∴(3x＋1)2＋9y2＝x2＋(y－1)2，‎ 即4x2＋4y2＋3x＋y＝0.‎ ‎∴复数z对应点Z的轨迹为圆．故选C.‎ ‎11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因为z＝＝＝＝－＋i，所以对应点在第二象限，故选B.‎ ‎12．对于任意的复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，下列结论正确的是(　　)‎ A．z－＝2a B．z·＝|z|2‎ C.＝1 D．z2≥0‎ 答案　B 解析　因为z＝a＋bi，所以＝a－bi，于是z－＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，A错误；z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，B正确；若＝1，则z＝，即a＋bi＝a－bi，所以b＝0，于是z为实数，与已知矛盾，C错误；又z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，若ab≠0，则z2为虚数，不能与0比较大小，D错误，故选B.‎ 第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．‎ 答案　－i 解析　由图知z＝2＋i，则＝＝‎ ＝i，其共轭复数是－i.‎ ‎14．已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________.‎ 答案　 解析　－＝－ ‎＝－＝，由已知得＝，则m＝.‎ ‎15．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．‎ 答案　 解析　|z－2|＝＝，‎ ‎∴(x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知max＝.‎ ‎16．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ 答案　1‎ 解析　由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)．根据＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以 解得所以λ＋μ＝1.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.‎ 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.‎ 根据复数相等的定义，得 解之得或∴z＝－1或z＝－1＋3i.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．‎ 解　∵复数的模为1，‎ ‎∴z在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆，而|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1,2)的距离，如图：‎ ‎∴|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝－1，‎ ‎|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝＋1.‎ ‎19．(本小题满分12分)设z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，m∈R，当m为何值时，z分别是：(1)实数；(2)纯虚数．‎ 解　(1)要使z∈R，‎ 则⇔m＝－1或m＝－2，所以当m＝－1或m＝－2时，z为实数．‎ ‎(2)要使z为纯虚数，‎ 则 即 所以 所以m＝3.所以当m＝3时，z为纯虚数．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．‎ 解　因为z1＝＝2＋3i，‎ z2＝a－2－i，＝a－2＋i，‎ 所以|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|‎ ‎＝|4－a＋2i|＝，‎ 又因为|z1|＝，|z1－|＜|z1|，‎ 所以＜，‎ 所以a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.‎ 所以a的取值范围是(1,7)．‎ ‎21．(本小题满分12分)设为复数z的共轭复数，满足|z－|＝2.‎ ‎(1)若z为纯虚数，求z；‎ ‎(2)若z－2为实数，求|z|.‎ 解　(1)设z＝bi(b∈R且b≠0)，则＝－bi，‎ 因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，‎ 即|b|＝，‎ 所以b＝±，所以z＝±i.‎ ‎(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，‎ 因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，即|b|＝，z－2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.‎ 因为z－2为实数，所以b＋2ab＝0，‎ 因为|b|＝，所以a＝－，‎ 所以|z|＝＝.‎ ‎22．(本小题满分12分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.‎ ‎(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；‎ ‎(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．‎ 解　(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.‎ 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.‎ 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.‎ ‎(2)证明：ω＝＝＝＝－i.‎ 因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．‎