【数学】2020届一轮复习北师大版数系的扩充和复数的概念课时作业 4页

知识点一 复数的概念 ‎1.下列命题中正确的是(　　)‎ A．0是实数不是复数 B．实数集与复数集的交集是实数集 C．复数集与虚数集的交集是空集 D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应 答案　B 解析　A中，0是实数也是复数，所以A不正确．B中，实数集与复数集的交集是实数集，所以B正确．C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，所以C不正确．D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，所以D不正确．故选B.‎ ‎2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　)‎ A．1， B．1＋，0‎ C．0,1＋ D．0，(1＋)i 答案　C 解析　(1＋)i的实部为0，虚部为1＋.‎ ‎3．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　)‎ A．3－3i B．3＋i C．－＋i D.＋i 答案　A 解析　3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，‎ ‎∴所求复数为3－3i.‎ 知识点二 复数的分类 ‎4.下列命题中：‎ ‎①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；‎ ‎②若复数z＝－5i，则复数z的实部为0；‎ ‎③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；‎ ‎④若复数z＝3i2，则它的虚部是3.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．① B．② C．②③ D．②③④‎ 答案　B 解析　在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，而是实数，故①错误．‎ 在②中－5i为纯虚数，故②正确．‎ 在③中，若x＝－1，则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，故③错误．‎ 在④中z＝3i2＝－3，故它的虚部为0，故④错误，所以选B.‎ ‎5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．‎ ‎“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．‎ 所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.‎ 知识点三 复数相等 ‎6.已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　依题意，得解得所以a＋b＝－＋＝－1.‎ ‎7．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．‎ 解　∵M∪P＝P，∴M⊆P.‎ 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，‎ 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，‎ 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，‎ 得解得m＝1. ‎ 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，‎ 得解得m＝2.‎ ‎∴实数m的值为1或2.‎ 一、选择题 ‎1．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则 ‎2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　)‎ A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅‎ 答案　C 解析　根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．‎ 所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故A，B，D三项均错，只有C项正确．‎ ‎3．以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点(　　)‎ A．在圆x2＋y2＝2上 B．在圆x2＋y2＝2外 C．在圆x2＋y2＝2内 D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定 答案　B 解析　因为以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为.又＋x2＋2x＝(x＋1)2＋＞2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B.‎ ‎4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)‎ A．2kπ－ B．2kπ＋ C．2kπ± D.＋(以上k∈Z)‎ 答案　B 解析　由得(k∈Z)．‎ ‎∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为(　　)‎ A．0 B．－1 C．－ D. 答案　A 解析　由z1＞z2，得 即 二、填空题 ‎6．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isinπ，⑤4＋i；其中表示实数的有(填上序号)________．‎ 答案　②③④‎ 解析　②为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．‎ ‎7．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　把原式整理得：‎ ‎(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，‎ ‎∵m∈R，‎ ‎∴⇒m＝－2.‎ ‎8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．‎ 答案　{3}‎ 解析　由已知，得解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}．‎ 三、解答题 ‎9．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ ‎ 解　复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.‎ ‎(1)复数z是实数的充要条件是：‎ ⇔⇔m＝－2.‎ ‎∴当m＝－2时复数z为实数．‎ ‎(2)复数z是虚数的充要条件是：‎ 即m≠－3且m≠－2.‎ ‎∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．‎ ‎(3)复数z是纯虚数的充要条件是：‎ ⇔ ‎⇔m＝3.‎ ‎∴当m＝3时复数z为纯虚数．‎ ‎10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．‎ 解　x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.‎ 由复数相等的充要条件得 解得或 所以方程的实根为x0＝或x0＝－，‎ 相应的k值为－2或2.‎