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- 2021-06-16 发布
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第
1
课时 两角差的余弦公式
必备知识
·
自主学习
导思
1.
两角差的余弦公式是怎样推导出来的?
2.
利用两角差的余弦公式能解决哪些问题?
两角差的余弦公式
(1)
公式:
cos(α-β)=__________________________.
①
简记符号:
C
(α-β)
.
②
适用条件:公式中的角
α
,
β
都是
_______.
(2)
本质:两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算
.
(3)
应用:①化简,②求值
.
cos αcos β+sin αsin β
任意角
【
思考
】
公式的结构特征是怎样的?
提示:
差角的余弦简记:余余正正,符号反
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)cos(80°-30°)=cos 80°-cos 30°. (
)
(2)
对于任意
α
,
β
,
cos(α-β)=cos α-cos β
都不成立
. (
)
(3)
对任意
α
,
β∈R
,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
都成立
.
(
)
(4)cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=1. (
)
提示:
(1)
×
.cos(80
°
-30
°
)=cos 50
°
≠cos 80
°
-cos 30
°
.
(2)
×
.
当
α
=-45
°
,
β
=45
°
时,
cos(
α
-
β
)=cos(-45
°
-45
°
)=cos(-90
°
)=0
,
cos
α
-cos
β
=
cos(-45
°
)-cos 45
°
=0
,此时
cos(
α
-
β
)=cos
α
-cos
β
.
(3)√.
结论为两角差的余弦公式
.
(4)
×
.cos 30
°
cos 60
°
+sin 30
°
sin 60
°
=cos(60
°
-30
°
)=cos 30
°
= .
2.cos 20°= (
)
A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30°
D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10°
【
解析
】
选
B.cos 20
°
=cos(30
°
-10
°
)=cos 30
°
cos 10
°
+
sin 30
°
sin 10
°
.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
已知
,
sin
β
=
,则
cos
=_______.
【
解析
】
因为
,
sin
β
=
,所以
cos
β
=
,所以
cos
=cos
β
cos +sin
β
sin =
答案:
关键能力
·
合作学习
类型一 给角求值问题
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.cos 165°
的值是
(
)
2.cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°
的结果是
(
)
A.1 B.
3.
化简
cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α=_______.
【
解析
】
1.
选
D.cos 165
°
=cos(180
°
-15
°
)
=-cos 15
°
=-cos(45
°
-30
°
)
=-cos 45
°
cos 30
°
-sin 45
°
sin 30
°
=-
2.
选
B.
原式
=cos 70
°
cos(360
°
-25
°
)+sin(180
°
-70
°
)sin 25
°
=cos 70
°
cos 25
°
+sin 70
°
sin 25
°
=cos(70
°
-25
°
)=cos 45
°
= .
3.cos(
α
+45
°
)cos
α
+sin(
α
+45
°
)sin
α
=cos(
α
+45
°
-
α
)= .
答案:
【
解题策略
】
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)
把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解
.
(2)
在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值
.
【
补偿训练
】
求下列各式的值:
(1)cos 105°
;
(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°.
【
解析
】
(1)
原式
=cos(150
°
-45
°
)
=cos 150
°
cos 45
°
+sin 150
°
sin 45
°
(2)
原式
=cos(46
°
-16
°
)=cos 30
°
= .
类型二 给值求值问题
(
数学运算
)
角度
1
“逆用”求值
【
典例
】
(2020·
泰安高一检测
)
已知
sin
,则
cos α+ sin α
的值为
(
)
A.- B. C.2 D.-1
【
思路导引
】
对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可
.
【
解析
】
选
B.cos
α
+ sin
α
=2 =2cos =2sin
=2sin =2
×
角度
2
“拼凑角”求值
【
典例
】
(1)
已知
sin
,
α∈
,求
cos α
的值
.
(2)α
,
β
为锐角,
cos(α+β)=
,
cos(2α+β)=
,求
cos α
的值
.
【
思路导引
】
对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角
如何“拼凑”成结论中的角
.
【
解析
】
(1)
因为
α
∈
,所以
所以
所以
cos
α
=cos
(2)
因为
α
,
β
为锐角,所以
0<
α
+
β
<
π
.
又因为
cos(
α
+
β
)= >0
,
所以
0<
α
+
β
<
,
又因为
cos(2
α
+
β
)=
,
所以
0<2
α
+
β
<
,
所以
sin(
α
+
β
)=
,
sin(2
α
+
β
)=
,
所以
cos
α
=
=cos(2
α
+
β
)·cos(
α
+
β
)+sin(2
α
+
β
)·sin(
α
+
β
)
【
变式探究
】
1.
将本例
(1)
的条件改为“
sin
,且 ”,如何解答?
【
解析
】
因为
sin
,且 ,
所以
<
α
+ <
π
,
所以
cos
所以
cos
α
=cos
2.
将本例
(1)
的条件改为“
sin
,
α∈ ”
,求
cos
的值
.
【
解析
】
因为
<
α
<
,所以
-
又因为
sin <0
,所以
- -
α
<0
,
所以
cos
所以
cos
【
解题策略
】
解决三角函数的求值问题的关键点
(1)
当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)
当“已知角”有一个时通常有两种思路:
①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;
②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式
.
【
题组训练
】
1.
已知
α
为锐角,
β
为第三象限角,且
cos α=
,
sin β=-
,则
cos(α-
β)
的值为
(
)
【
解析
】
选
A.
因为
α
为锐角,且
cos
α
=
,所以
sin
α
= .
因为
β
为第三象限角,且
sin
β
=-
,所以
cos
β
=
,所以
cos(
α
-
β
)=cos
α
cos
β
+sin
α
sin
β
=
2.
已知
cos
,则
cos α+sin α
的值为
_______.
【
解析
】
因为
cos
所以
cos
α
+sin
α
=
答案:
【
补偿训练
】
若
sin
α
-sin
β
=
,
cos
α
-cos
β
=
,则
cos(
α
-
β
)
的值
为
(
)
【
解析
】
选
A.
由
sin
α
-sin
β
=
,
cos
α
-cos
β
=
,得
sin
2
α
+sin
2
β
-
2sin
α
sin
β
=
,
①
cos
2
α
+cos
2
β
-2cos
α
cos
β
=
,
②
①
+
②
得
2-2(sin
α
sin
β
+cos
α
cos
β
)=1.
所以
sin
α
sin
β
+cos
α
cos
β
= .
所以
cos(
α
-
β
)= .
类型三 给值求角问题
(
数学运算
)
【
典例
】
已知
0<α<
,
- <β<0
,且
α
,
β
满足
sin α=
,
cos β=
,
求
α-β.
【
解题策略
】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)
界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;
(2)
求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;
(3)
求角:结合三角函数值及角的范围求角
.
【
跟踪训练
】
已知
cos α=
,
cos(α+β)=-
,
α
,
β∈
,则
β=_______.
【
解析
】
因为
α
,
β
∈
,所以
α
+
β
∈(0
,
π
).
因为
cos
α
=
,
cos(
α
+
β
)=-
,
所以
sin
α
=
,
sin(
α
+
β
)=
,
所以
cos
β
=cos =cos(
α
+
β
)cos
α
+sin(
α
+
β
)·sin
α
=
因为
0<
β
<
,所以
β
= .
答案:
课堂检测
·
素养达标
1.
计算
cos
的值是
(
)
A.0 B.
【
解析
】
选
C.
2.(
教材二次开发:练习改编
)
设
α∈
,若
sin α=
,则 等于
( )
【
解析
】
选
A.
因为
α
∈
,
sin
α
=
,所以
cos
α
= .
所以
3.
已知
sin
,
,则
cos
α
的值是
(
)
【
解析
】
选
A.
因为
,所以
<
α
+ <
π
且
sin
,所以
cos
所以
cos
α
=
4.cos =_______.
【
解析
】
答案:
5.
已知
cos =cos
α
,则
tan
α
=_______.
【
解析
】
因为
cos =cos
α
cos +sin
α
sin
= cos
α
+ sin
α
=cos
α
,
所以
sin
α
= cos
α
.
所以
,即
tan
α
= .
答案:
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