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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业:1

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www.ks5u.com 课时分层作业(八) ‎ ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )‎ A.  B.  C.  D. D [以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设AB=1.‎ 则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),=(0,1,-2),=(-1,0,2),‎ cos〈,〉===-,‎ ‎∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]‎ ‎2.在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为(  )‎ A. B. C. D.1‎ B [过点B作BE垂直A1C,垂足为E,设点E的坐标为(x,y,z),则A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),=(1,2,-3),=(x,y,z-3),=(x-1,y,z).‎ 因为,‎ 所以,‎ 解得,所以=,‎ 所以点B到直线A1C的距离||=.]‎ ‎3.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,E为线段AB上一点,且AE=AB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D. A [以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则C(0,3,0),E(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,3,1),D(0,0,0),=(0,3,1),=(1,1,-1),=(0,3,-1),设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z),则可得平面D1EC的一个法向量为n=(2,1,3),‎ 所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为 sin θ=cos〈,n〉===.]‎ ‎4.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为(  )‎ A. B. C. D. C [以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:‎ 则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0)‎ ‎∵E为AB的中点,‎ ‎∴=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1)‎ 设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),‎ 则,即,‎ 可得 可取n=(2,1,2)‎ ‎∴点E到面ACD1的距离为d===.]‎ ‎5.如图所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角CBFD的正切值为(  )‎ A. B. C. D. D [如图所示,设AC与BD交于点O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 设PA=AD=AC=1,则BD=,所以O(0,0,0),B,F,C,=,易知为平面BDF的一个法向量,由=,=,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,,).所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=,所以tan〈n,〉=.故二面角CBFD的正切值为.]‎ 二、填空题 ‎6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为________.‎  [由题意,得直线l与平面α所成角的正弦值为==.]‎ ‎7.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=‎ ,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于________.‎  [作出正四棱锥PA′B′C′D′,如图,‎ 以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则A′(1,1,0),B′(-1,1,0),P(0,0,2),设平面PA′B′的方程为Ax+By+Cz+D=0,将以上3个坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D,所以平面PA′B′的方程为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d==.]‎ ‎8.如图,已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________.‎  [以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 则A(1,0,0),E,D1(0,0,1),‎ ‎∴=(-1,0,1),=.‎ 设平面AEFD1的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则⇒∴x=2y=z.‎ 取y=1,则n=(2,1,2).‎ 又平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),‎ ‎∴cos〈n,u〉=,∴sin〈n,u〉=.]‎ 三、解答题 ‎9.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面C1DE;‎ ‎(2)求面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值.‎ ‎[解] (1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.‎ 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.‎ ‎(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,DE为y轴正方向,DD1为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,,-2),=(-1,0,-2),=(0,-,0).‎ 设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则 所以可取m=(,1,0).‎ 设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则 所以可取n=(2,0,-1).‎ 于是cos〈m,n〉===,所以面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值为.‎ ‎10.如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,∠ACB=90°.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面PAC;‎ ‎(2)若二面角DPCA的余弦值为,求点A到平面PBC的距离.‎ ‎[解] (1)证明:∵PA⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,‎ ‎∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)设AP=h,取CD的中点E,则AE⊥CD,∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AE,PA⊥AB,故建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,h),C,‎ D,B(0,2,0),‎ =,=(0,1,0),‎ 设平面PDC的法向量n1=(x1,y1,z1),‎ 则 即 取x1=h,‎ ‎∴n1=.‎ 由(1)知平面PAC的一个法向量为=,‎ ‎∴|cos〈n1,〉|==,‎ 解得h=,‎ 同理可求得平面PBC的一个法向量n2=(3,,2),‎ 所以,点A到平面PBC的距离为 d===.‎ ‎11.(多选题)如图,ABCDA1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是(  )‎ A.BD∥平面CB1D1‎ B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1‎ D.异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ABC [以D为坐标原点,分别以,,所在方向为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则可以证明AC1⊥面CB1D1,‎ ‎∴可以作为面CB1D1的法向量,∴C正确.∵=(-1,-1,0),=(-1,1,1),∴·=1-1=0,‎ ‎∴BD∥面CB1D1即AB正确.又∵=(-1,0,0),=(1,0,1),‎ ‎∴cos〈,〉==-,∴AD与CB1所成的角为45°,‎ ‎∴D错,故应选ABC.]‎ ‎12.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(  )‎ A. B. C. D. C [建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2).设点P的坐标为(0,λ,2λ),λ∈[0,1],点Q的坐标为(1-μ,μ,0),μ∈[0,1],‎ ‎|PQ|= ‎= ‎=,‎ 当且仅当λ=,μ=时,‎ 线段PQ的长度取得最小值,为.]‎ ‎13.(一题两空)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD且PD=AD=1,AB=2,点E是线段AB上一点,当面PEC与面ABCD的夹角为时,AE=________,这时,点D到面PEC的距离为________.‎ ‎2-  [设AE=a(0≤a≤2),以点D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略),则D(0,0,0),E(1,a,0),C(0,2,0),P(0,0,1),则=(1,a,-1),=(0,2,-1),设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),则,即,令y=1,可得x=2-a,z=2,则m=(2-a,1,2),易知平面DEC的一个法向量为=(0,0,1),则|cos〈m,〉|==,解得a=2-或2+(舍去),所以AE=2-.这时,平面PEC的法向量可以取(,1,2),又因=(0,0,1).∴点D到平面PEC的距离为d===.]‎ ‎14.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=________.‎  [平面xOy的法向量为n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),‎ 则 即3x=4y=az,‎ 取z=1,则u=.‎ 而cos〈n,u〉==,‎ 又∵a>0,∴a=.]‎ ‎15.如图,在三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.‎ ‎(1)求证:BD∥平面FGH;‎ ‎(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.‎ ‎[解] (1)法一:连接GD,CD,设CD∩GF=O,连接OH.‎ 在三棱台DEFABC中,‎ AB=2DE,G为AC的中点,‎ 可得DF∥GC,DF=GC,‎ 所以四边形DFCG为平行四边形,‎ 则O为CD的中点,‎ 又H为BC的中点,‎ 所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,‎ BD⊄平面FGH,‎ 所以BD∥平面FGH.‎ 法二:在三棱台DEFABC中,‎ 由BC=2EF,H为BC的中点,‎ 可得 BH∥EF,BH=EF,‎ 所以四边形BHFE为平行四边形,‎ 可得BE∥HF,‎ 在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,‎ 所以GH∥AB,‎ 又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED,‎ 因为 BD⊂平面ABED,‎ 所以 BD∥平面FGH.‎ ‎(2)设AB=2,则CF=1,‎ 在三棱台DEFABC中,‎ G为AC的中点,‎ 由DF=AC=GC,‎ 可得 四边形DGCF为平行四边形,‎ 因此DG∥FC,‎ 又FC⊥平面ABC,‎ 所以DG⊥平面ABC,‎ 在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,‎ 所以AB=BC,GB⊥GC,‎ 因此GB,GC,GD两两垂直,‎ 以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz,‎ 所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).‎ 可得H,F(0,,1).‎ 故=,=(0,,1),‎ 设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则 由可得 可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,),‎ 因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0)‎ 所以cos〈,n〉===.‎ 所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.‎