【数学】2020届一轮复习北师大版坐标系与参数方程作业 4页

大题考法——坐标系与参数方程 A组 ‎1．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0．‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．‎ 解：(1)由消去t得，y＝2x，‎ 把代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，‎ 所以直线l的极坐标方程为sin θ＝2cos θ．‎ ‎(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，‎ 即x2＋(y＋1)2＝4．‎ 圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝，‎ 所以|AB|＝2＝．‎ ‎2．(2018·石嘴山二模)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(其中t为参数)．现以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P坐标为(－1,0)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ 解：(1)由消去参数t，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，‎ 又由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，‎ 由得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x＝0．‎ ‎(2)将代入x2＋y2－6x＝0得t2－4t＋7＝0，‎ 则t1＋t2＝4，t1t2＝7＞0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4．‎ ‎3．(2018·商丘二模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；‎ ‎(2)已知直线l1与曲线C交于O，M两点，直线l2与曲线C交于O，N两点，求△OMN的面积．‎ 解：(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，直线l2的直角坐标方程为y＝x．‎ 因为ρ＝4cos θ＋2sin θ，故ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，‎ 故x2＋y2＝4x＋2y，故(x－2)2＋(y－1)2＝5，‎ 故曲线C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(2)联立得到|OM|＝2＋1，‎ 同理|ON|＝2＋.又∠MON＝，‎ 所以S△MON＝|OM|·|ON|sin ∠MON＝，‎ 即△OMN的面积为．‎ ‎4．(2018·东莞二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点B在曲线C上，|OA||OB|＝2，求∠AOB的大小．‎ 解：(1)∵曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ．‎ ‎(2)∵|OA|＝2，|OB|＝ρ，‎ 且|OA||OB|＝2，‎ ‎∴cos θ＋sin θ＝，∴sin＝．‎ ‎∴θ＋＝或θ＋＝，θ＝ 或θ＝，‎ ‎∴∠AOB＝－＝或∠AOB＝－＝．‎ B组 ‎1．(2018·辽宁三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是．‎ ‎(1)求直线l的普通方程；‎ ‎(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标．‎ 解：(1)直线l的普通方程为3x－y－6＝0．‎ ‎(2)点M的直角坐标是(－1，－)，‎ 过点M作直线l的垂线，垂足为M′，则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点．‎ 直线MM′的方程是y＋＝－(x＋1)，‎ 即y＝－x－－．‎ 由解得 所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是．‎ ‎2．(2018·枣庄二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝1，求直线l被曲线C截得的线段的长度；‎ ‎(2)若a＝11，在曲线C上求一点M，使得点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．‎ 解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1．‎ 当a＝1时，直线l的普通方程为y＝2x．‎ 由解得或 直线l被曲线C截得的线段的长度为＝3．‎ ‎(2)方法一　a＝11时，直线l的普通方程为2x－y－10＝0．‎ 由点到直线的距离公式，椭圆上的点M(3cos θ，2sin θ)到直线l：2x－y－10＝0的距离为 d＝ ‎＝ ‎＝，‎ 其中θ0满足cos θ0＝，sin θ0＝．‎ 由三角函数性质知，当θ＋θ0＝0时，d取最小值2－2．‎ 此时，3cos θ＝3cos(－θ0)＝，2sin θ＝2sin(－θ0)＝－．‎ 因此，当点M位于时，点M到l的距离取最小值2－2．‎ 方法二　当a＝11时，直线l的普通方程为2x－y－10＝0．‎ 设与l平行，且与椭圆＋＝1相切的直线m的方程为2x－y＋t＝0.由消去y并整理得40x2＋36tx＋9t2－36＝0．‎ 由判别式Δ＝(36t)2－4×40×(9t2－36)＝0，解得t＝±2．‎ 所以，直线m的方程为2x－y＋2＝0，或2x－y－2＝0．‎ 要使两平行直线l与m间的距离最小，‎ 则直线m的方程为2x－y－2＝0．‎ 这时，l与m间的距离d＝＝2－2．‎ 此时点M的坐标为方程组的解 因此，当点M位于时，点M到直线l的距离取最小值2－2．‎