2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第1讲蝗制与任意角的三角函数课件 43页

第三章　三角函数与解三角形 第 1 讲　弧度制与任意角的三角函数 课标要求 考情风向标 1. 了解任意角的概念和弧度制， 能进行弧度与角度的互化 . 2. 借助单位圆理解任意角三角 函数 ( 正弦、余弦、正切 ) 的定义 从近几年的高考试题看，三角 函数定义及符号判定是高考的 热点 . 这部分的高考试题大多 为教材例题，习题的变形与创 新，因此学 习中要立足基础， 抓好对教材知识的学习 1. 任意角的概念 顺时针 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形 . 正角是按逆时针方向旋转形成的；负角是 按 ________ 方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们 称它为零角 . 2. 终边相同的角 终边与角 α 相同的角，可写成 S ＝ { β | β ＝ α ＋ k ·360° ， k ∈ Z }. 3. 弧度制 (1) 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 . (2) 用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 . (3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧 度数为零 . 角 α 的弧度数的绝对值 | α | ＝ ______( 其中 l 是以角 α 作为 圆心角时所对圆弧的长， r 是圆的半径 ). (4) 弧度与角度的换算： 180° ＝ π rad ； 5. 任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角，角 α 的终边上任意一点 P ( x ， y ) ，它与原 点的距离是 r ( r ＞ 0) ，那么 6. 三角函数值在各象限的符号 三角 函数线 余弦线 → OM 正弦线 → MP 正切线 → AT 7. 三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与 单位圆相交于点 P ，过点 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M ，则点 M 是 点 P 在 x 轴上的正射影 . ) C 1. 下列各命题正确的是 ( A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限角 D. 小于 90 度的角都是锐角 2.sin 2·cos 3·tan 4 的值 ( ) A A. 小于 0 C. 等于 0 B. 大于 0 D. 不存在 tan 4 ＞ 0.∴sin 2·cos 3·tan 4 ＜ 0. 故选 A. ) 3.(2016 年江西模拟 ) 下列说法中，正确的是 ( B. 第一象限的角不可能是负角 C. 终边相同的两个角的差是 360° 的整数倍 D. 若 α 是第一象限角，则 2 α 是第二象限角 答案： C D 考点 1 角的概 念 例 1 ： (1) ① 写出与－ 1840° 终边相同的角的集合 M ； ② 把－ 1840° 的角写成 k ·360° ＋ α (0°≤ α ＜ 360°) 的形式； ③ 若角 α ∈ M ，且 α ∈[ － 360° ， 360°] ，求角 α . (2) 给出下列四个命题： 四象限角；④－ 315° 是第一象限角 . 其中正确命题的个数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 三象限角，故②正确 . － 400° ＝－ 360° － 40° ，故③正确 . － 315° ＝－ 360° ＋ 45° ，从而④正确 . 故选 C. 答案： C 【 规律方法 】 在 0° 到 360° 范围内找与任意一个角终边 相 同的角时，可根据实数的带余除法进行 . 因为任意一个角 α 均可写 成 k ·360° ＋ α 1 (0° ≤ α 1 ＜ 360° ， k ∈ Z ) 的形式，所以与角 α 终边相同的角的集合也可写成 { β | β ＝ k ·360° ＋ α 1 ， k ∈ Z }. 如本例 (1) ③ 中 M ＝ { β | β ＝ k ·360° ＋ 320° ， k ∈ Z }. 由此确定 [ － 360° ， 360°] 范围内的角时，只需令 k ＝－ 1 和 0 即可 . 考点 2 三角函数的概念 例 2 ： (1) 已知角 α 终边经过点 P (3 t, 4 t ) ， t ≠0 ，求角 α 的正弦、 余弦和正切 . 答案： C (3) (2018 年东北三省四校模拟 ) 已知角 α 的终边经过点 P (4 a, 3 a )( a <0) ，则 25sin α － 7tan 2 α 的值为 ________. 答案： － 39 【 规律方法 】 任意角的三角函数值，只与角的终边位置有 关，而与角的终边上点的位置无关 . 当角 α 的终边上的点的坐标 以参数形式给出时，由于参数 t 的符号不确定，故用分类讨论 的思想，将 t 分为 t ＞ 0 和 t ＜ 0 两种情况，这是解决本题的关键 . 考点 3 三角函数的符号 解： ∵ α 是第二象限角， ∴90° ＋ k ·360° ＜ α ＜ 180° ＋ k ·360°( k ∈ Z ). ①∵180° ＋ 2 k ·360° ＜ 2 α ＜ 360° ＋ 2 k ·360°( k ∈ Z ) ， 故 2 α 是第三或第四象限角，或 2 α 的终边在 y 轴的非正半 轴上 . ① 画出区域：将坐标系每个象限二等分，得 8 个区域； ② 标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区 域依次标上一， 二，三，四 ( 如图 3-1-1) ； 图 3-1-1 ③ 确定区域：找出与角 α 所在象限标号一致的区 域，即为 所求 . ① 画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到 12 个区域； ② 标号：自 x 轴正向逆时针方向把每个区 域依次标上一， 二，三，四 ( 如图 3-1-2) ： 图 3-1-2 ③ 确定区域：找出与角 α 所在象限标号一致的区 域，即为所 求 . 【 跟踪训练 】 1.( 多选 ) 下列各式中，计算结果为负数的是 ( ) 答案： ABD A. 第一或第二或第三象限角 B. 第一或第三或第四象限角 C. 第二或第三或第四象限角 D. 第一或第二或第四象限角 答案： A 考点 4 弧度制的应用 例 4 ： (1) 如图 3-1-3 ，一扇形的半径为 r ，扇形的周长为 4. 当圆心角 α 为多少弧度时，扇形的面积 S 取得最大值？ (2) 若一扇形面积为 4 ，则当它的中心角为何值时，扇形周 长 C 最小？ 图 3-1-3 【 规律方法 】 (1) 自变量是线 ( 线段或曲线 ) 的长度时，求函 数的定义域的基本方法 是所有的线的长度均为正数 . 应用扇形 【 跟踪训练 】 3. 已知扇形的周长是 6 ，面积是 2 ，则扇形的圆心角的弧度 数是 ( ) C A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 解析： 设此扇形的半径为 r ，弧长为 l ， 难点突破 ⊙ 三角函数线的应用 图 3-1-4 解析： 方法一，当 α 为锐角时，显然有 tan α >sin α ，故 A ， B 错误； 当 α 在第三象限时，显然有 tan α >0 ， cos α <0 ， sin α <0 ，故 D 错误 . 故选 C. 3-1-5 ， 图 3-1-5 AT ＝ tan α ， OM ＝ cos α ， MP ＝ sin α . 显然选 C. 答案： C 【 跟踪训练 】 4.(2014 年新课标 Ⅰ ) 如图 3-1-6 ， 圆 O 的半径为 1 ， A 是圆 上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线， 垂足为 M . 将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f ( x ) ，则 y ＝ f ( x ) 在 [0 ， π] 的图象大致为 ( ) 图 3-1-6 A B C D 答案： B 1. 任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关，而与角 α 终边上点 P 的位置无关 . 若角 α 已经给出，则无论点 P 选择在角 α 终边上的什么位置，角 α 的三角函数值都是确定的 . 如有可能则 取终边与单位圆的交点 . 其中 | OP | ＝ r 一定是正值 . 2. 三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借 助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 . 另外已知三角函数 值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 . 3. 注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90° 的角是 概念不同的三类角 . 第一类是象限角，第二、第三类是区间角 . 4. 角度制与弧度制可利用 180° ＝ π rad 进行互化，在同一个 式子中，采用的度量制度 必须一致，不可混用 . 例如 α ＝ 2 k π ＋