2019版一轮复习理数通用版“解三角形”双基过关检测 5页

“解三角形”双基过关检测 一、选择题 1．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A．60° B．90° C．120° D．135° 解析：选 C ∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3， ∴a∶b∶c＝1∶1∶3，设 a＝m，则 b＝m，c＝ 3m. ∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ m2＋m2－3m2 2m2 ＝－ 1 2 ， ∴C＝120°. 2．在△ABC中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：选 C 由正弦定理得 b sin B ＝ c sin C ， ∴sin B＝bsin C c ＝ 40× 3 2 20 ＝ 3>1. ∴角 B不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝2a，b＝4，cos B＝1 4 . 则 c的值为( ) A．4 B．2 C．5 D．6 解析：选 A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝1 4 ， ∴由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 即 16＝1 4 c2＋c2－1 4 c2＝c2， 解得 c＝4. 4．已知△ABC中，内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，若 A＝π 3 ，b＝2acos B，c＝ 1，则△ABC的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 3 8 解析：选 B 由正弦定理得 sin B＝2sin Acos B， 故 tan B＝2sin A＝2sinπ 3 ＝ 3，又 B∈(0，π)，所以 B＝π 3 ， 又 A＝B＝π 3 ，则△ABC是正三角形， 所以 S△ABC＝ 1 2 bcsin A＝1 2 ×1×1× 3 2 ＝ 3 4 . 5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 (a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角 C的大小为( ) A.π 6 或 5π 6 B.π 3 或 2π 3 C.π 6 D.2π 3 解析：选 A 由题意知， a2＋b2－c2 2ab ＝ 1 2tan C ⇒cos C＝ cos C 2sin C ，sin C＝1 2 ， 又 C∈(0，π)，∴C＝π 6 或 5π 6 . 6．已知 A，B两地间的距离为 10 km，B，C两地间的距离为 20 km，现测得∠ABC＝ 120°，则 A，C两地间的距离为( ) A．10 km B．10 3 km C．10 5 km D．10 7 km 解析：选 D 如图所示， 由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC＝10 7(km)． 7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2＝ (a－b)2＋6，C＝π 3 ，则△ABC的面积是( ) A．3 B.9 3 2 C.3 3 2 D．3 3 解析：选 C ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝π 3 ，∴c2＝a2＋b2－2abcos π 3 ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即 ab＝6. ∴S△ABC＝ 1 2 absin C＝1 2 ×6× 3 2 ＝ 3 3 2 . 8．一艘海轮从 A处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C两点间的距离是( ) A．10 2 n mile B．10 3 n mile C．20 3 n mile D．20 2 n mile 解析：选 A 画出示意图如图所示， 易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ，解得 BC＝10 2. 故 B，C两点间的距离是 10 2 n mile. 二、填空题 9．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－ 1 4 ，3sin A ＝2sin B，则 c＝________. 解析：因为 3sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得 3a＝2b，则 b＝3， 由余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3× － 1 4 ＝16，则 c＝4. 答案：4 10．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若角 A，B，C成等差数列， 且边 a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________． 解析：∵在△ABC中，角 A，B，C成等差数列， ∴2B＝A＋C，由三角形内角和定理，可得 B＝π 3 ， 又∵边 a，b，c成等比数列，∴b2＝ac， 由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos B， ∴ac＝a2＋c2－ac，即 a2＋c2－2ac＝0， 故(a－c)2＝0，可得 a＝c， 所以△ABC的形状为等边三角形． 答案：等边三角形 11．已知△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a＝x，b＝2，B＝45°， 若三角形有两解，则 x的取值范围为________． 解析：由 AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与 AB有两个交点，当 A＝90°时，圆与 AB相切，只有一解；当 A＝45°时，交于 B点，也就 是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足 45°