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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修4-5练习:第一讲1-1-1-1-2基本不等式word版含解析

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第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知 a,b∈R,且 ab ≠0,则下列结论恒成立的是( ) A.a+b≥2 ab B.a b +b a ≥2 C.|a b +b a|≥2 D.a2+b2>2ab 解析:当 a,b 都是负数时,A 不成立; 当 a,b 一正一负时,B 不成立; 当 a=b 时,D 不成立,因此只有 C 是正确的. 答案:C 2.下列各式中,最小值等于 2 的是( ) A.x y +y x B. x2+5 x2+4 C.tan θ+ 1 tan θ D.2x+2-x 解析:因为 2x>0,2-x>0, 所以 2x+2-x≥2 2x2-x=2. 当且仅当 2x=2-x,即 x=0 时,等号成立. 答案:D 3.设 x,y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值是( ) A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3 解析:3x+3y≥2 3x·3y=2 3x+y=2 35=18 3, 当且仅当 x=y=5 2 时,等号成立. 答案:D 4.设 x,y 为正数,则(x+y) 1 x +4 y 的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 解析:x,y 为正数,(x+y) 1 x +4 y =1+4+y x +4x y ≥9,当且仅当y x = 4x y ,即 y=2x 时,等号成立,选 B. 答案:B 5.(2015·福建卷)若直线x a +y b =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为直线x a +y b =1 过点(1,1),所以1 a +1 b =1. 又 a,b 均大于 0, 所以 a+b=(a+b) 1 a +1 b =1+1+b a +a b ≥2+2 b a ·a b =2+2= 4,当且仅当 a=b 时,等号成立. 答案:C 二、填空题 6.设 x>0,则函数 y=3-3x-1 x 的最大值是________. 解析:y=3- 3x+1 x ≤3-2 3, 当且仅当 3x=1 x ,即 x= 3 3 时,等号成立. 所以 ymax=3-2 3. 答案:3-2 3 7.已知函数 f(x)=2x,点 P(a,b)在函数 y=1 x(x>0)的图象上,那 么 f(a)·f(b)的最小值是________. 解析:点 P(a,b)在函数 y=1 x(x>0)的图象上,所以有 ab=1. 因为 a>0,b>0,所以 f(a)·f(b)=2a·2b=2a+b≥22 ab=4, 当且仅当 a=b=1 时,等号成立. 答案:4 8.当 x>0 时,f(x)= 2x x2+1 的值域是________. 解析:因为 x>0,所以 x+1 x ≥2,所以 0< 1 x+1 x ≤1 2. 所以 0< 2 x+1 x ≤1. 又因为 f(x)= 2x x2+1 = 2 x+1 x , 所以 0<f(x)≤1,当且仅当 x=1 时,等号成立.故 f(x)的值域是(0, 1]. 答案:(0,1] 三、解答题 9.已知 x<0,求 2x+1 x 的最大值. 解:由 x<0,得-x>0, 得-2x+ 1 -x ≥2 (-2x) 1 -x =2 2, 所以 2x+1 x ≤-2 2, 当且仅当-2x= 1 -x , 即 x=- 2 2 时等号成立. 故 2x+1 x 取得最大值-2 2. 10.若 a,b,c>0,且 a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)·(1-b)(1 -c). 证明:因为 a+b+c=1, 所以 1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0. 所以(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c). 因为 a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0,a+c≥2 ac>0, 三式相乘,得(a+b)(b+c)(a+c)≥2 ab·2 bc·2 ca=8abc, 当且仅当 a=b=c=1 3 时,等号成立. 所以 8abc≤(1-a)(1-b)(1-c). B 级 能力提升 1.已知不等式(x+y) 1 x +a y ≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正 实数 a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:不等式(x+y) 1 x +a y ≥9 对任意正实数 x,y 恒成立, 则 1+a+y x +ax y ≥a+2 a+1≥9, 所以 a≥2 或 a≤-4(舍去). 所以正实数 a 的最小值为 4. 答案:B 2.(2015·山东卷)定义运算“⊗”:x⊗y=x2-y2 xy (x,y∈R,xy≠0), 当 x>0,y>0 时,x⊗y+(2y)⊗x 的最小值为________. 解析:因为 x⊗y=x2-y2 xy , 所以 x⊗y+(2y)⊗x=x2-y2 xy +(2y)2-x2 2yx =x2+2y2 2xy ≥2 x2·2y2 2xy = 2 2xy 2xy = 2. 其中 x>0,y>0,当且仅当 x2=2y2,即 x= 2y 时等号成立. 答案: 2 3.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2016 年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆 品的年销售量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例 的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件.已知 2016 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件 化妆品需要投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生 产成本的 150%与平均每个促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正 好能销完. (1)若计划 2016 年生产的化妆品正好能销售完,试将 2016 年的利 润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数; (2)该企业 2016 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? 解:(1)由题意可设 3-x= k t+1 ,将 t=0,x=1 代入,得 k=2. 所以 x=3- 2 t+1. 当年生产 x 万件时,年生产成本为 32x+3=32× 3- 2 t+1 +3, 当销售 x 万件时,年销售收入为 150%× 32× 3- 2 t+1 +3 +1 2t. 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完, 得年利润 y=-t2+98t+35 2(t+1) (t≥0). (2)y=-t2+98t+35 2(t+1) =50- t+1 2 + 32 t+1 ≤ 50-2 t+1 2 · 32 t+1 =50-2 16=42, 当且仅当t+1 2 = 32 t+1 ,即 t=7 时,等号成立,ymax=42, 所以当促销费定在 7 万元时,年利润最大.