人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1-1-1-1-2基本不等式word版含解析 6页

第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知 a，b∈R，且 ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A．a＋b≥2 ab B.a b ＋b a ≥2 C.|a b ＋b a|≥2 D．a2＋b2＞2ab 解析：当 a，b 都是负数时，A 不成立； 当 a，b 一正一负时，B 不成立； 当 a＝b 时，D 不成立，因此只有 C 是正确的． 答案：C 2．下列各式中，最小值等于 2 的是( ) A.x y ＋y x B. x2＋5 x2＋4 C．tan θ＋ 1 tan θ D．2x＋2－x 解析：因为 2x＞0，2－x＞0， 所以 2x＋2－x≥2 2x2－x＝2. 当且仅当 2x＝2－x，即 x＝0 时，等号成立． 答案：D 3．设 x，y∈R，且 x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值是( ) A．10 B．6 3 C．4 6 D．18 3 解析：3x＋3y≥2 3x·3y＝2 3x＋y＝2 35＝18 3， 当且仅当 x＝y＝5 2 时，等号成立． 答案：D 4．设 x，y 为正数，则(x＋y) 1 x ＋4 y 的最小值为( ) A．6 B．9 C．12 D．15 解析：x，y 为正数，(x＋y) 1 x ＋4 y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝ 4x y ，即 y＝2x 时，等号成立，选 B. 答案：B 5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则 a＋b 的最小值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：因为直线x a ＋y b ＝1 过点(1，1)，所以1 a ＋1 b ＝1. 又 a，b 均大于 0， 所以 a＋b＝(a＋b) 1 a ＋1 b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝2＋2＝ 4，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 答案：C 二、填空题 6．设 x＞0，则函数 y＝3－3x－1 x 的最大值是________． 解析：y＝3－ 3x＋1 x ≤3－2 3， 当且仅当 3x＝1 x ，即 x＝ 3 3 时，等号成立． 所以 ymax＝3－2 3. 答案：3－2 3 7．已知函数 f(x)＝2x，点 P(a，b)在函数 y＝1 x(x＞0)的图象上，那 么 f(a)·f(b)的最小值是________． 解析：点 P(a，b)在函数 y＝1 x(x＞0)的图象上，所以有 ab＝1. 因为 a＞0，b＞0，所以 f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22 ab＝4， 当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立． 答案：4 8．当 x＞0 时，f(x)＝ 2x x2＋1 的值域是________． 解析：因为 x＞0，所以 x＋1 x ≥2，所以 0＜ 1 x＋1 x ≤1 2. 所以 0＜ 2 x＋1 x ≤1. 又因为 f(x)＝ 2x x2＋1 ＝ 2 x＋1 x ， 所以 0＜f(x)≤1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的值域是(0， 1]． 答案：(0，1] 三、解答题 9．已知 x＜0，求 2x＋1 x 的最大值． 解：由 x＜0，得－x＞0， 得－2x＋ 1 －x ≥2 （－2x） 1 －x ＝2 2， 所以 2x＋1 x ≤－2 2， 当且仅当－2x＝ 1 －x ， 即 x＝－ 2 2 时等号成立． 故 2x＋1 x 取得最大值－2 2. 10．若 a，b，c＞0，且 a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1 －c)． 证明：因为 a＋b＋c＝1， 所以 1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0. 所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)． 因为 a＋b≥2 ab＞0，b＋c≥2 bc＞0，a＋c≥2 ac＞0， 三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2 ab·2 bc·2 ca＝8abc， 当且仅当 a＝b＝c＝1 3 时，等号成立． 所以 8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)． B 级 能力提升 1．已知不等式(x＋y) 1 x ＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正 实数 a 的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：不等式(x＋y) 1 x ＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 则 1＋a＋y x ＋ax y ≥a＋2 a＋1≥9， 所以 a≥2 或 a≤－4(舍去)． 所以正实数 a 的最小值为 4. 答案：B 2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2 xy (x，y∈R，xy≠0)， 当 x＞0，y＞0 时，x⊗y＋(2y)⊗x 的最小值为________． 解析：因为 x⊗y＝x2－y2 xy ， 所以 x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－y2 xy ＋（2y）2－x2 2yx ＝x2＋2y2 2xy ≥2 x2·2y2 2xy ＝ 2 2xy 2xy ＝ 2. 其中 x＞0，y＞0，当且仅当 x2＝2y2，即 x＝ 2y 时等号成立． 答案： 2 3．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2016 年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆 品的年销售量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3－x 与 t＋1 成反比例 的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万件．已知 2016 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件 化妆品需要投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生 产成本的 150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正 好能销完． (1)若计划 2016 年生产的化妆品正好能销售完，试将 2016 年的利 润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数； (2)该企业 2016 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 解：(1)由题意可设 3－x＝ k t＋1 ，将 t＝0，x＝1 代入，得 k＝2. 所以 x＝3－ 2 t＋1. 当年生产 x 万件时，年生产成本为 32x＋3＝32× 3－ 2 t＋1 ＋3， 当销售 x 万件时，年销售收入为 150%× 32× 3－ 2 t＋1 ＋3 ＋1 2t. 由题意，生产 x 万件化妆品正好销完， 得年利润 y＝－t2＋98t＋35 2（t＋1） (t≥0)． (2)y＝－t2＋98t＋35 2（t＋1） ＝50－ t＋1 2 ＋ 32 t＋1 ≤ 50－2 t＋1 2 · 32 t＋1 ＝50－2 16＝42， 当且仅当t＋1 2 ＝ 32 t＋1 ，即 t＝7 时，等号成立，ymax＝42， 所以当促销费定在 7 万元时，年利润最大．