高中数学人教a版选修4-1学业分层测评3相似三角形的判定word版含解析 8页

学业分层测评(三) (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如图 1312，在正方形网格上有 6 个三角形：①△ABC，②△BCD，③ △BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是 ( ) 图 1312 A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 【解析】 由相似三角形判定定理知选 B. 【答案】 B 2．如图 1313，在△ABC 中，M 在 BC 上，N 在 AM 上，CM＝CN，且AM AN ＝ BM CN ，下列结论中正确的是( ) 图 1313 A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 【解析】 ∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM. ∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN， ∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC. 又AM AN ＝BM CN ， ∴△ANC∽△AM B. 【答案】 B 3．如图 1314，正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF⊥DE 于点 O，则AO DO 等于( ) 【导学号：07370013】 图 1314 A.2 5 5 B.1 3 C.2 3 D.1 2 【解析】 ∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA， ∴AO DO ＝AE DA ＝1 2. 【答案】 D 4．如图 1315，在等边三角形 ABC 中，E 为 AB 中点，点 D 在 AC 上，使 得AD AC ＝1 3 ，则有( ) 图 1315 A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 【解析】 因为∠A＝∠C，BC AE ＝CD AD ＝2，所以△AED∽△CBD. 【答案】 B 5.如图 1316 所示，已知点 E，F 分别是△ABC 中 AC，AB 边的中点，BE， CF 相交于点 G，FG＝2，则 CF 的长为( ) 图 1316 A．4 B．4.5 C．5 D．6 【解析】 ∵E，F 分别是△ABC 中 AC，AB 边的中点，∴FE∥BC，由相似 三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴FG GC ＝EF BC ＝1 2. 又 FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6. 【答案】 D 二、填空题 6．如图 1317，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则 DE＝ ________，CE＝________. 图 1317 【解析】 在 Rt△ACE 和 Rt△ADB 中，∠A 为公共角，∴△ACE∽△ADB， ∴AB AE ＝AD AC ， ∴AE＝AB·AC AD ＝ABAB＋BC AD ＝4×4＋2 3 ＝8，则 DE＝AE－AD＝5， 在 Rt△ACE 中，CE＝ AE2－AC2＝ 82－4＋22＝2 7. 【答案】 5 2 7 7．如图 1318，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC＝4， AD＝12，则 AE＝________. 图 1318 【解析】 由∠B＝∠D，AE⊥BC 及∠ACD＝90°可以推得： Rt△ABE∽Rt△ADC，故AE AC ＝AB AD ∴AE＝6×4 12 ＝2. 【答案】 2 8.如图 1319，在平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE∶EC＝1∶2， 则 BF∶BE＝________. 【导学号：07370014】 图 1319 【解析】 ∵DE∶EC＝1∶2， ∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2. ∵AB∥EC， ∴△ABF∽△CEF， ∴BF EF ＝AB EC ＝3 2 ，∴BF BE ＝3 5. 【答案】 3∶5 三、解答题 9．如图 1320，已知△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点， 过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于点 F. 求证：PB2＝PE·PF. 图 1320 【证明】 连接 PC. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵AD 是中线，∴AD 垂直平分 BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBD＝∠PCD， ∴∠ABP＝∠ACP. 又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP， 而∠CPE＝∠FPC. ∴△PCE∽△PFC， ∴PE PC ＝PC PF ，∴PC2＝PE·PF， 即 PB2＝PE·PF. 10.如图 1321，某市经济开发区建有 B，C，D 三个食品加工厂，这三个工 厂和开发区 A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相 通，且 AB＝CD＝900 米，AD＝BC＝1 700 米．自来水公司已经修好一条自来水 主管道 AN，B，C 两厂之间的公路与自来水主管道交于 E 处，EC＝500 米．若 自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价 800 元． 图 1321 (1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样 设计？并在图中画出该路线； (2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？ 【解】 (1)如图，过 B，C，D 分别作 AN 的垂线段 BH， CF，DG 交 AN 于 H，F，G，BH，CF，DG 即为所求的造价最 低的管道路线． (2)在 Rt△ABE 中，AB＝900 米， BE＝1 700－500＝1 200 米， ∴AE＝ 1 2002＋9002＝1 500(米)， 由△ABE∽△CFE，得到CF AB ＝CE AE ， 即CF 900 ＝ 500 1 500 ， 可得 CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE， 得BH CF ＝BE CE ， 即BH 300 ＝1 200 500 ，可得 BH＝720(米)． 由△ABE∽△DGA，得AB DG ＝AE AD ， 即900 DG ＝1 500 1 700 ， 可得 DG＝1020(米)． 所以，B，C，D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是 720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)． [能力提升] 1.如图 1322 所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( ) 图 1322 A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB 【解析】 ∠C＝∠C，只有AC CD ＝CB AC ，即 AC2＝CD·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA. 【答案】 C 2．如图 1323 所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确 的是( ) 图 1323 A．△DAB∽△OCA B．△OAB∽△ODA C．△BAC∽△BDA D．△OAC∽△ABD 【解析】 设 OA＝OB＝BC＝CD＝a， 则 AB＝ 2a，BD＝2a， ∴AB BD ＝ 2 2 ，BC AB ＝ a 2a ＝ 2 2 ， ∴AB BD ＝BC AB ，且∠ABC＝∠DBA， ∴△BAC∽△BDA. 【答案】 C 3．如图 1324 所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC ＝B.当 BD＝__________时，△ABC∽△CDB. 图 1324 【解析】 由AC BC ＝BC BD 即可得到． 【答案】 b2 a 4．如图 1325 所示，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EF⊥EC 交 AB 于 F，连接 FC(AB>AE)． 图 1325 (1)△AEF 与△ECF 是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理 由； (2)设AB BC ＝k，是否存在这样的 k 值 ，使得△AEF 与△BFC 相似，若存在， 证明你的结论，并求出 k 的值；若不存在，说明理由． 【解】 (1)相似．在矩形 ABCD 中，∠A＝∠D＝90°. ∵EF⊥EC，A，E，D 共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°. 又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE， ∴△AEF∽△DCE，∴EF EC ＝AF DE ， ∴AE＝DE，∴EF EC ＝AF AE. 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF. (2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC， ∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF. 由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°. ∴AB BC ＝CD BC ＝ CD 2DE ＝ 3 2 ，即 k＝ 3 2 . 反过来，在 k＝ 3 2 时，DE CD ＝ 1 3 ，∠DCE＝30°， ∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°， ∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF. ∴△AEF∽△BCF.