2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3 11页

www.ks5u.com ‎3.1　椭圆 ‎3.1.1　‎椭圆及其标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)‎ ‎2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)‎ ‎3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)‎ ‎1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养学生的数学运算素养.‎ ‎2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养.‎ ‎ ‎ ‎2008年9月25日‎21时10分，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人飞行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台阶．请问，“神舟七号”飞船的运行轨道是什么？‎ 下面请你固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？‎ ‎1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．‎ 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”‎ 的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？‎ ‎(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？‎ ‎[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2.‎ ‎(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．‎ ‎2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0)‎ ＋＝1(a＞b＞0)‎ 焦点 ‎(－c,0)与(c,0)‎ ‎(0，－c)与(0，c)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆． (　　)‎ ‎(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆． (　　)‎ ‎(3)方程＋＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)‎ A．4　　　 B．5‎ C．8 D．10‎ D　[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.]‎ ‎3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ C　[由条件知，焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，‎ 所以b2＝a2－c2＝36，‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.]‎ ‎4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－6，－2)∪(3，＋∞)　[由a2＞a＋6＞0得a＞3或－6＜a＜－2.]‎ 求椭圆的标准方程 ‎【例1】　求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；‎ ‎(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；‎ ‎(3)经过两点(2，－)，.‎ ‎[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.‎ 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．‎ 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 ‎(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．‎ ‎(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．‎ ‎(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．‎ ‎(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．‎ ‎[解]　法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.‎ 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　 ①.‎ 又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，‎ 即＋＝1　 ②.‎ 由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．‎ 故所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 椭圆中的焦点三角形 ‎【例2】　(1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)‎ A．3∶5　　　 B．3∶4‎ C．5∶3 D．4∶3‎ ‎(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．‎ ‎[思路探究]　(1)借助PF1的中点在y轴上，且O为F1F2的中点，所以PF2⊥x轴，再用定义和勾股定理解决．‎ ‎(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF1|，|PF2|的方程，通过解方程求解．‎ ‎(1)C　(2)　　[(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，‎ 从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3.‎ ‎(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.‎ 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　 ①‎ 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　 ②‎ 由①②联立可得|PF1|＝.‎ 所以S＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.]‎ 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧 ‎(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.‎ ‎(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．‎ ‎1．本例(2)中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．‎ ‎[解]　由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.‎ ‎∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.‎ 从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，‎ 则|PF1|＝，‎ 因此S＝·|F1F2|·|PF1|＝.‎ 故所求△PF1F2的面积为.‎ ‎2．本例(2)中方程改为＋＝1(a＞b＞0)，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值．‎ ‎[解]　由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，∴|PF1||PF2|＝4.根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，‎ ‎∴b2＝1，即b＝1.‎ 与椭圆有关的轨迹问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？‎ ‎[提示]　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.‎ ‎2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？‎ ‎[提示]　(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)．‎ ‎(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．‎ ‎【例3】　(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．‎ ‎(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．‎ ‎[思路探究]　(1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．‎ ‎(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．‎ ‎(1)x2＋＝1　[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，‎ 又＋＝1，‎ 所以＋＝1，‎ 即x2＋＝1.]‎ ‎(2)[解]　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，‎ ‎∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，‎ ‎∴|CM|＋|MA|＝5.‎ ‎∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝－1＝.‎ ‎∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，‎ 即＋＝1.‎ ‎1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．‎ ‎2．对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．‎ ‎3．代入法(相关点法)‎ 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．‎ ‎[解]　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．‎ 利用中点坐标公式，‎ 得∴ ‎∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.‎ 将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，‎ 得＋(2y)2＝1.‎ 故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.‎ ‎1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．‎ ‎2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)．‎ ‎(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标．‎ ‎(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程＋＝1，当m＞n＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．‎ ‎3．椭圆上的点P与两焦点F1，F2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F1PF2＝θ，如图．‎ ‎(1)当点P与B1或B2重合时，∠F1PF2最大．‎ ‎(2)焦点△PF1F2的周长为2(a＋c)．‎ ‎(3)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.‎ ‎(4)S＝|PF1||PF2|sin θ，且当P与B1或B2重合时，面积最大．‎ ‎4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．‎ ‎1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)‎ A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8‎ D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.]‎ ‎2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.]‎ ‎3．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．‎ 　[由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1.]‎ ‎4．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．‎ ＋＝1　[如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，‎ ‎∴×8b＝12，∴b＝3.‎ 又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.]‎ ‎5．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．‎ ‎[解]　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，‎ ‎∴2a＝4，a2＝4，‎ ‎∵点是椭圆上的一点，‎ ‎∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．‎